义务教育阶段数学基本思想理解与把握市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

义务教育阶段数学基本思想了解与把握东北师范大学史宁中.4第1页汇报目录汇报目录n n一、数学基本思想n n二、义务教育数学中抽象n n三、义务教育数学中推理n n四、义务教育数学中模型第2页一、数学基本思想一、数学基本思想1.1.1.1.课程目标：由双基到四基（课程目标：由双基到四基（课程目标：由双基到四基（课程目标：由双基到四基（实现教育理念转变实现教育理念转变实现教育理念转变实现教育理念转变）过去教育理念：以知识为本过去教育理念：以知识为本过去教育理念：以知识为本过去教育理念：以知识为本 教学纲领教学纲领教学纲领教学纲领 关心问题是关心问题是：应该教那些内容；应该教到什么程度应该教那些内容；应该教到什么程度应该教那些内容；应该教到什么程度应该教那些内容；应该教到什么程度 考评内容是考评内容是：要求内容是否教了；学生掌握是否到达要求要求内容是否教了；学生掌握是否到达要求要求内容是否教了；学生掌握是否到达要求要求内容是否教了；学生掌握是否到达要求 教学目标是：教学目标是：基础知识（概念记忆与命题了解）扎实（基础知识（概念记忆与命题了解）扎实（基础知识（概念记忆与命题了解）扎实（基础知识（概念记忆与命题了解）扎实（记忆记忆记忆记忆）基本技能（证实技能与运算技能）熟练（基本技能（证实技能与运算技能）熟练（基本技能（证实技能与运算技能）熟练（基本技能（证实技能与运算技能）熟练（训练训练训练训练）教学形式是教学形式是：课堂、教材、教师（凯洛夫三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫三中心论）课堂、教材、教师（凯洛夫三中心论）第3页当代教育理念：以人为本当代教育理念：以人为本当代教育理念：以人为本当代教育理念：以人为本 工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）以人为本：以学生发展为本，站在学生立场思索问题。以人为本：以学生发展为本，站在学生立场思索问题。人成功依赖：知识技能、把握机遇、人成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法思维方法思维方法思维方法数学教育数学教育数学教育数学教育：不但要让学生记住一些数学知识、掌握一些数学技能，不但要让学生记住一些数学知识、掌握一些数学技能，不但要让学生记住一些数学知识、掌握一些数学技能，不但要让学生记住一些数学知识、掌握一些数学技能，还要培养学生数学素养。还要培养学生数学素养。还要培养学生数学素养。还要培养学生数学素养。一堂好课：一堂好课：一堂好课：一堂好课：把握数学内容本质，创设合理教学情境，启发学生思把握数学内容本质，创设合理教学情境，启发学生思把握数学内容本质，创设合理教学情境，启发学生思把握数学内容本质，创设合理教学情境，启发学生思索，让学生在掌握知识技能同时，了解数学内容本质，感悟数学索，让学生在掌握知识技能同时，了解数学内容本质，感悟数学索，让学生在掌握知识技能同时，了解数学内容本质，感悟数学索，让学生在掌握知识技能同时，了解数学内容本质，感悟数学基本思想，积累思维经验。基本思想，积累思维经验。基本思想，积累思维经验。基本思想，积累思维经验。终极目标：终极目标：终极目标：终极目标：会用数学眼睛观察现实世界，会用数学思维分析现实会用数学眼睛观察现实世界，会用数学思维分析现实会用数学眼睛观察现实世界，会用数学思维分析现实会用数学眼睛观察现实世界，会用数学思维分析现实世界，会用数学语言表示现实世界。世界，会用数学语言表示现实世界。世界，会用数学语言表示现实世界。世界，会用数学语言表示现实世界。怎样实现？怎样实现？怎样实现？怎样实现？第4页义务教育数学课程总目标义务教育数学课程总目标 四基四基四基四基：基础知识、基本技能：基础知识、基本技能 +基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验 四能四能四能四能：发觉问题、提出问题发觉问题、提出问题发觉问题、提出问题发觉问题、提出问题 +分析问题、处理问题分析问题、处理问题 科学科学科学科学：勇于质疑、善于思索、实事求是、一丝不苟：勇于质疑、善于思索、实事求是、一丝不苟基本活动经验基本活动经验基本活动经验基本活动经验：思维经验，实践经验（过程性：思维经验，实践经验（过程性目标目标目标目标目标目标目标目标）会思索问题会思索问题会思索问题会思索问题、会做事情会做事情会做事情会做事情能力培养，依赖不是说教和了解，依能力培养，依赖不是说教和了解，依赖是学生参加其中活动，依赖是学生在这个过程中自己思索和感赖是学生参加其中活动，依赖是学生在这个过程中自己思索和感悟，这种能力悟，这种能力是经验积累是经验积累是经验积累是经验积累。第5页2.2.2.2.数学基本关键素养（关键词、关键概念）数学基本关键素养（关键词、关键概念）数学基本关键素养（关键词、关键概念）数学基本关键素养（关键词、关键概念）怎样了解数学：怎样了解数学：怎样了解数学：怎样了解数学：数学研究源于对现实世界抽象，经过基于抽象结构数学研究源于对现实世界抽象，经过基于抽象结构数学研究源于对现实世界抽象，经过基于抽象结构数学研究源于对现实世界抽象，经过基于抽象结构符号运算、形式推理、普通结论，了解和表示现实世界中事物本符号运算、形式推理、普通结论，了解和表示现实世界中事物本符号运算、形式推理、普通结论，了解和表示现实世界中事物本符号运算、形式推理、普通结论，了解和表示现实世界中事物本质、关系与规律。数学不但是计算和推理工具，数学还是表示与质、关系与规律。数学不但是计算和推理工具，数学还是表示与质、关系与规律。数学不但是计算和推理工具，数学还是表示与质、关系与规律。数学不但是计算和推理工具，数学还是表示与交流语言，数学承载着思想和文化。交流语言，数学承载着思想和文化。交流语言，数学承载着思想和文化。交流语言，数学承载着思想和文化。教学内容教学内容教学内容教学内容 关键素养关键素养关键素养关键素养 数学思想：数学思想：数学思想：数学思想：质量监测四个标准质量监测四个标准质量监测四个标准质量监测四个标准义务教育阶段（义务教育阶段（义务教育阶段（义务教育阶段（8 8 8 8个）个）个）个）关键词、关键概念关键词、关键概念关键词、关键概念关键词、关键概念 数感数感数感数感、符号意识符号意识符号意识符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想运算能力、推理能力、模型思想高中教育阶段（高中教育阶段（高中教育阶段（高中教育阶段（6 6 6 6个）个）个）个）数学数学数学数学抽象抽象抽象抽象、逻辑推理、数学建模、逻辑推理、数学建模、逻辑推理、数学建模、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析运算能力、直观想象、数据分析运算能力、直观想象、数据分析运算能力、直观想象、数据分析第6页3.3.3.3.什么是数学基本思想什么是数学基本思想什么是数学基本思想什么是数学基本思想 图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？图形结合、递归、换元、等量替换？确定确定数学基本思想标准：数学基本思想标准：数学基本思想标准：数学基本思想标准：数学产生与发展必须依赖思想数学产生与发展必须依赖思想数学产生与发展必须依赖思想数学产生与发展必须依赖思想 学习过数学与没有学习数学思维差异学习过数学与没有学习数学思维差异学习过数学与没有学习数学思维差异学习过数学与没有学习数学思维差异 抽象、推理、模型抽象、推理、模型抽象、推理、模型抽象、推理、模型 义务教育阶段数学教学责任：义务教育阶段数学教学责任：义务教育阶段数学教学责任：义务教育阶段数学教学责任：感悟抽象、知道推理感悟抽象、知道推理感悟抽象、知道推理感悟抽象、知道推理 第7页经过抽象：现实经过抽象：现实 数学数学 把研究对象、以及对象之间关系形成概念把研究对象、以及对象之间关系形成概念把研究对象、以及对象之间关系形成概念把研究对象、以及对象之间关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学含有普通性从现实世界到数学内部，数学含有普通性从现实世界到数学内部，数学含有普通性从现实世界到数学内部，数学含有普通性经过推理：数学经过推理：数学 数学数学 从假设前提出发，经过推理得到数学结果从假设前提出发，经过推理得到数学结果从假设前提出发，经过推理得到数学结果从假设前提出发，经过推理得到数学结果 数学内部发展，数学含有逻辑性数学内部发展，数学含有逻辑性数学内部发展，数学含有逻辑性数学内部发展，数学含有逻辑性经过模型：数学经过模型：数学 现实现实 处理现实世界中与数量和图形相关问题处理现实世界中与数量和图形相关问题处理现实世界中与数量和图形相关问题处理现实世界中与数量和图形相关问题 从数学内部到现实世界，数学含有应用性从数学内部到现实世界，数学含有应用性从数学内部到现实世界，数学含有应用性从数学内部到现实世界，数学含有应用性 得到数学基本特征：得到数学基本特征：普通性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用广泛性（模型）普通性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用广泛性（模型）第8页n n数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生了解n n 是创设情境让学生感悟n n教学关键点：感悟什么？（教师对数学内容把握）n n 怎样感悟？（情境创设、教师引导）n n参见著作：基本概念与运算法则-小学数学教学中关键问题，n n 高教社，n n经过抽象得到概念定义有两种方法：对应方法、内涵方法。n n提议：开始用对应方法（感悟），以后用内涵方法（了解）n n 数是什么？数本质是什么？表示数关键是什么？n n数是对数量抽象，本质是大小关系：从数量多少到数大小。n n 二、义务教育数学中抽象二、义务教育数学中抽象第9页开始用对应方法：开始用对应方法：开始用对应方法：开始用对应方法：三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡三个苹果、三只鸡 3 3 3 3（去掉物理属性去掉物理属性去掉物理属性去掉物理属性）对应方法对应方法对应方法对应方法 负数负数负数负数与自然数：数量相等、意义相反。与自然数：数量相等、意义相反。与自然数：数量相等、意义相反。与自然数：数量相等、意义相反。以后用内涵方法：以后用内涵方法：以后用内涵方法：以后用内涵方法：自然数是一个一个多起来（自然数是一个一个多起来（自然数是一个一个多起来（自然数是一个一个多起来（算数公理体系算数公理体系算数公理体系算数公理体系、后继数后继数后继数后继数）1=0+11=0+11=0+11=0+1，2=1+12=1+12=1+12=1+1，3=2+13=2+13=2+13=2+1，4=3+14=3+14=3+14=3+1，怎样认识怎样认识怎样认识怎样认识 10000?10000?10000?10000?10 10 10 10个个个个1000100010001000？10101010个千？个千？个千？个千？比比比比 9999 9999 9999 9999 多多多多 1 1 1 1（读法能够不一样，表示必须一致）（读法能够不一样，表示必须一致）（读法能够不一样，表示必须一致）（读法能够不一样，表示必须一致）第10页数符号表示：把握本质、表示简练、含有普通性数符号表示：把握本质、表示简练、含有普通性数符号表示：把握本质、表示简练、含有普通性数符号表示：把握本质、表示简练、含有普通性读数关键：十个符号读数关键：十个符号读数关键：十个符号读数关键：十个符号 +数位数位数位数位怎样读怎样读怎样读怎样读 ：符号：符号：符号：符号 0 0 0 0 很主要很主要很主要很主要 1 1 1 1 10101010 1 1 1 1 9+9+9+9+0 0 0 0、10101010 数位与数不一样数位与数不一样数位与数不一样数位与数不一样 数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大数位：从左到右、从小到大 个个个个(ones)(ones)(ones)(ones)、十、十、十、十(tens)(tens)(tens)(tens)，“十十十十”是十个是十个是十个是十个“个个个个”“万万万万”是十个是十个是十个是十个“千千千千”需要知道十进制需要知道十进制需要知道十进制需要知道十进制、不需要知道计数单位不需要知道计数单位不需要知道计数单位不需要知道计数单位 数：数：数：数：10=9+110=9+110=9+110=9+1，10000=9999+1 10000=9999+1 10000=9999+1 10000=9999+1 0 0 0 0 对于加法很主要：相反数；减法：自然数集合对于加法很主要：相反数；减法：自然数集合对于加法很主要：相反数；减法：自然数集合对于加法很主要：相反数；减法：自然数集合 整数集合整数集合整数集合整数集合1 1 1 1 对于乘法很主要：倒数；对于乘法很主要：倒数；对于乘法很主要：倒数；对于乘法很主要：倒数；除法：整数集合除法：整数集合除法：整数集合除法：整数集合 有理数集合有理数集合有理数集合有理数集合第11页数运算数运算 与数抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。与数抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。内涵内涵内涵内涵：3+1=4 3+1=4 3+1=4 3+1=4？4=3+1 4=3+1 4=3+1 4=3+1 3+1=43+1=43+1=43+1=4 对应：对应：对应：对应：哪边多哪边多哪边多哪边多 哪边多？哪边多？哪边多？哪边多？3+1=43+1=43+1=43+1=4 了解等号意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。了解等号意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。方程定义？方程与函数关系？方程定义？方程与函数关系？第12页怎样定义乘法？为何负负得正？怎样定义乘法？为何负负得正？怎样定义乘法？为何负负得正？怎样定义乘法？为何负负得正？乘法是加法乘法是加法乘法是加法乘法是加法简便运算简便运算简便运算简便运算：2+2+2=2 3=62+2+2=2 3=62+2+2=2 3=62+2+2=2 3=6 (-2)3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 (-2)3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 (-2)3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 (-2)3=(-2)+(-2)+(-2)=-6 2 (-3)=-6 2 (-3)=-6 2 (-3)=-6 2 (-3)=-6？在在在在自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合上，乘法是加法上，乘法是加法上，乘法是加法上，乘法是加法简便运算简便运算简便运算简便运算。在在在在整数集合整数集合整数集合整数集合上？上？上？上？乘法本质。两个性质：乘法本质。两个性质：乘法本质。两个性质：乘法本质。两个性质：0 a=00 a=00 a=00 a=0；1 a=a1 a=a1 a=a1 a=a 两个两个两个两个法则：法则：法则：法则：a b=b aa b=b aa b=b aa b=b a;(a+b)c=a c+b c(a+b)c=a c+b c(a+b)c=a c+b c(a+b)c=a c+b c连同性质和法则，把乘法由连同性质和法则，把乘法由连同性质和法则，把乘法由连同性质和法则，把乘法由自然数集合自然数集合自然数集合自然数集合扩张到扩张到扩张到扩张到整数集合整数集合整数集合整数集合。1 1=11 1=11 1=11 1=1，(-1)1=-1(-1)1=-1(-1)1=-1(-1)1=-1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1 1 (-1)=-1,(-1)(-1)=1第13页点、线、面抽象点、线、面抽象点、线、面抽象点、线、面抽象0 0 0 0 维是点、维是点、维是点、维是点、1 1 1 1 维是线、维是线、维是线、维是线、2 2 2 2 维是面、维是面、维是面、维是面、3 3 3 3 维是体。维是体。维是体。维是体。日常生活看到几何图形都是三维，点线面是抽象结果。日常生活看到几何图形都是三维，点线面是抽象结果。日常生活看到几何图形都是三维，点线面是抽象结果。日常生活看到几何图形都是三维，点线面是抽象结果。第14页角抽象角抽象角抽象角抽象 角是由有公共端点两条射线所组成图形。角是由有公共端点两条射线所组成图形。角是由有公共端点两条射线所组成图形。角是由有公共端点两条射线所组成图形。称下面图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线称下面图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线称下面图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线称下面图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段一个端点重合。称这两条线段为角边，角大小与边长无关。段一个端点重合。称这两条线段为角边，角大小与边长无关。段一个端点重合。称这两条线段为角边，角大小与边长无关。段一个端点重合。称这两条线段为角边，角大小与边长无关。（小学：画一样大小角）（初中：怎样判断直角）（小学：画一样大小角）（初中：怎样判断直角）（小学：画一样大小角）（初中：怎样判断直角）（小学：画一样大小角）（初中：怎样判断直角）几何作图（画角平分线）教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）教育价值：培养想象力。几何作图（画角平分线）教育价值：培养想象力。第15页抽象小结抽象小结抽象小结抽象小结抽象出数学研究对象、以及研究对象关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象关系和运算法则：抽象出数学研究对象、以及研究对象关系和运算法则：把外部世界数量和数量关系把外部世界数量和数量关系把外部世界数量和数量关系把外部世界数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部图形与图形关系抽象到数学内部图形与图形关系抽象到数学内部图形与图形关系抽象到数学内部。概念概念概念概念：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角：自然数、负数；点、线、面、体、角 关系关系关系关系：数大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面数大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面数大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面数大小关系；两点决定一条直线、三点决定一个平面 运算运算运算运算：加法：加法：加法：加法 、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积、减法、乘法、除法；距离、面积、体积小学数学主要研究三个关系：小学数学主要研究三个关系：小学数学主要研究三个关系：小学数学主要研究三个关系：数量关系、图形关系、随机关系数量关系、图形关系、随机关系数量关系、图形关系、随机关系数量关系、图形关系、随机关系抽象东西不存在：现实中没有抽象东西不存在：现实中没有抽象东西不存在：现实中没有抽象东西不存在：现实中没有 2 2 2 2，只有详细两匹马、两头牛，只有详细两匹马、两头牛，只有详细两匹马、两头牛，只有详细两匹马、两头牛抽象东西是理念存在抽象东西是理念存在抽象东西是理念存在抽象东西是理念存在 郑板桥：郑板桥：郑板桥：郑板桥：我画不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画不是我眼中之竹，而是我心中之竹。我画不是我眼中之竹，而是我心中之竹。第16页三、义务教育数学中推理三、义务教育数学中推理推理：推理：推理：推理：数学内部发展依赖是逻辑推理数学内部发展依赖是逻辑推理数学结论都是命题数学结论都是命题 数学命题：数学命题：可供可供正确或者错误正确或者错误判断陈说判断陈说 能够判断能够判断。下面陈说不是数学命题。下面陈说不是数学命题 这个三角形是美这个三角形是美 仅供判断仅供判断。下面两个陈说都是数学命题。下面两个陈说都是数学命题 三角形内角和三角形内角和180180度度 三角形内角和三角形内角和120120度度直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断直接推理：对命题直接判断普通推理：一个命题判断到另一个命题判断思维过程普通推理：一个命题判断到另一个命题判断思维过程普通推理：一个命题判断到另一个命题判断思维过程普通推理：一个命题判断到另一个命题判断思维过程第17页数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式数学命题主要有两种形式 性质命题：性质命题：性质命题：性质命题：A A A A 是是是是 B B B B。充分条件：。充分条件：。充分条件：。充分条件：A A A A B B B B 必要条件：必要条件：必要条件：必要条件：B B B B A A A A 充分无须要充分无须要充分无须要充分无须要：两个偶数和是偶数。两个偶数和是偶数。两个偶数和是偶数。两个偶数和是偶数。必要不充分必要不充分必要不充分必要不充分：数能够比较大小。数能够比较大小。数能够比较大小。数能够比较大小。充分且必要充分且必要充分且必要充分且必要：直角三角形是一条边长平方等于其它两条边直角三角形是一条边长平方等于其它两条边 长平方之和三角形。长平方之和三角形。数学定义必须充分必要数学定义必须充分必要数学定义必须充分必要数学定义必须充分必要：称含有未知数等式为方程。：称含有未知数等式为方程。：称含有未知数等式为方程。：称含有未知数等式为方程。？什么是数学推理？什么是有逻辑推理？什么是数学推理？什么是有逻辑推理？什么是数学推理？什么是有逻辑推理？什么是数学推理？什么是有逻辑推理？苹果是酸，酸是一个味道，所以苹果是一个味道。苹果是酸，酸是一个味道，所以苹果是一个味道。苹果是酸，酸是一个味道，所以苹果是一个味道。苹果是酸，酸是一个味道，所以苹果是一个味道。？三角形内角和是三角形内角和是三角形内角和是三角形内角和是180180180180度，度，度，度，180180180180度是平角，所以三角形是平角。度是平角，所以三角形是平角。度是平角，所以三角形是平角。度是平角，所以三角形是平角。？第18页逻辑推理：含有传递性推理。逻辑推理：含有传递性推理。逻辑推理：含有传递性推理。逻辑推理：含有传递性推理。在数学上有两种形式在数学上有两种形式在数学上有两种形式在数学上有两种形式演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理：从大范围内成立命题推断小范围内命题也成立。：从大范围内成立命题推断小范围内命题也成立。：从大范围内成立命题推断小范围内命题也成立。：从大范围内成立命题推断小范围内命题也成立。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。结果是结果是结果是结果是必定成立必定成立必定成立必定成立，用于，用于，用于，用于验证知识验证知识验证知识验证知识。是数学教学中推理。是数学教学中推理。是数学教学中推理。是数学教学中推理重点重点重点重点。归纳类比归纳类比归纳类比归纳类比：从小范围内成立命题推断更大范围类似命题成立。：从小范围内成立命题推断更大范围类似命题成立。：从小范围内成立命题推断更大范围类似命题成立。：从小范围内成立命题推断更大范围类似命题成立。苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图 有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。有死，所以凡人都有死。结果是结果是结果是结果是或然成立或然成立或然成立或然成立，用于，用于，用于，用于发觉知识发觉知识发觉知识发觉知识。是数学教学中推理。是数学教学中推理。是数学教学中推理。是数学教学中推理弱点弱点弱点弱点。苏格拉底不到苏格拉底不到苏格拉底不到苏格拉底不到80808080岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到岁死去，柏拉图不到80808080岁死去，所以岁死去，所以岁死去，所以岁死去，所以 凡人不到凡人不到凡人不到凡人不到80808080岁死去。岁死去。岁死去。岁死去。第19页演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提演绎推理需要前提：公理或者假设。基本前提 同一律：同一律：同一律：同一律：a=aa=aa=aa=a，（，（，（，（a a a a 属于属于属于属于 A A A A 或者或者或者或者 a a a a不属于不属于不属于不属于 A A A A ）。）。）。）。矛盾律：矛盾律：矛盾律：矛盾律：a a a a P P P P 和和和和 a a a a P P P Pc c c c 不能同时成立。不能同时成立。不能同时成立。不能同时成立。排中律排中律排中律排中律：a a a a P P P P 和和和和 a a a a P P P Pc c c c 必有一个成立。必有一个成立。必有一个成立。必有一个成立。命题命题命题命题 素数有没有数多个。（反证法）素数有没有数多个。（反证法）素数有没有数多个。（反证法）素数有没有数多个。（反证法）证实证实证实证实 假设素数有限个（假设素数有限个（归谬假设归谬假设）。）。比如只有比如只有n n个素数，表示为：个素数，表示为：p p1 1,p,pn n。令令 p=pp=p1 1.p.pn n+1+1。因为因为p p不能被不能被 p p1 1,p,pn n中任何一个素数整除，所以中任何一个素数整除，所以 p p 是与是与 上述上述n n个素数不一样素数，与只有个素数不一样素数，与只有n n个素数不符（个素数不符（矛盾律矛盾律）。）。假设错误。所以，有没有数多个素数（假设错误。所以，有没有数多个素数（排中律排中律）。）。第20页“数与代数数与代数数与代数数与代数”演绎推理前提（基本事实）演绎推理前提（基本事实）演绎推理前提（基本事实）演绎推理前提（基本事实）命题命题命题命题1 1 1 1 等式（不等式）关系含有传递性。等式（不等式）关系含有传递性。等式（不等式）关系含有传递性。等式（不等式）关系含有传递性。a=b(a a=b(a a=b(a a=b(a b b b b），），），），b=c(b b=c(b b=c(b b=c(b c c c c）a=c(a a=c(a a=c(a a=c(a c c c c）命题命题命题命题2 2 2 2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变。a=b(a a=b(a a=b(a a=b(a b b b b）a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c a+c=b+c(a+c b+c b+c b+c b+c）a-c=b-c(a-c a-c=b-c(a-c a-c=b-c(a-c a-c=b-c(a-c b-c b-c b-c b-c）第21页演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理有理数加法定义？有理数加法定义？有理数加法定义？有理数加法定义？加上一个正数比原来数大加上一个正数比原来数大加上一个正数比原来数大加上一个正数比原来数大。符号表示符号表示符号表示符号表示：对于任意数：对于任意数：对于任意数：对于任意数 a a a a 和正数和正数和正数和正数 b b b b，有，有，有，有 a+b a+b a+b a+b a a a a。因为因为因为因为 b b b b 为正数，所以为正数，所以为正数，所以为正数，所以 b b b b 0 0 0 0 在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上在上面不等式两边分别加上 a a a a，由命题，由命题，由命题，由命题 2 2 2 2 得到得到得到得到 a+b a+b a+b a+b a a a a 结论成立。结论成立。结论成立。结论成立。类似方法能够证实对称命题：类似方法能够证实对称命题：类似方法能够证实对称命题：类似方法能够证实对称命题：加上一个负数比原来数小加上一个负数比原来数小加上一个负数比原来数小加上一个负数比原来数小。第22页演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理 减去一个正数等于加上这个正数相反数减去一个正数等于加上这个正数相反数减去一个正数等于加上这个正数相反数减去一个正数等于加上这个正数相反数 减去一个正数比原来数小减去一个正数比原来数小减去一个正数比原来数小减去一个正数比原来数小用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题：b b b b 0 0 0 0，则，则，则，则 a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)证实证实证实证实：因为因为因为因为“减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算减法是加法逆运算”：a-b=x a=b+xa-b=x a=b+xa-b=x a=b+xa-b=x a=b+x 由命题由命题由命题由命题2 2 2 2，等式两边分别加上，等式两边分别加上，等式两边分别加上，等式两边分别加上（-b-b-b-b）等式不变：等式不变：等式不变：等式不变：a+(-b)=b+(-b)+xa+(-b)=b+(-b)+xa+(-b)=b+(-b)+xa+(-b)=b+(-b)+x。依据相反数定义：依据相反数定义：依据相反数定义：依据相反数定义：a+(-b)=xa+(-b)=xa+(-b)=xa+(-b)=x。由命题。由命题。由命题。由命题 1 1 1 1：a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)a-b=x=a+(-b)第23页演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理减去一个负数等于加上这个负数相反数减去一个负数等于加上这个负数相反数减去一个负数等于加上这个负数相反数减去一个负数等于加上这个负数相反数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数比原来数大减去一个负数比原来数大减去一个负数比原来数大减去一个负数比原来数大用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题 a-(-b)=a+ba-(-b)=a+b证实证实：令令 x=a+bx=a+b。等式两边加。等式两边加 b b 相反数相反数（-b-b），由命题，由命题2 2 x+(-b)=a+b+(-b)=ax+(-b)=a+b+(-b)=a 上面等式两边同时减去上面等式两边同时减去(-b)(-b)，再由命题，再由命题2 2：x+(-b)(-b)=a (-b)x+(-b)(-b)=a (-b)因为同数相减为因为同数相减为 0 0：x=a (-b)x=a (-b)。由命题。由命题1 1：a-(-b)=a+ba-(-b)=a+b 第24页图形运动（变换）：参考物图形运动（变换）：参考物平移：参考物是一条射线平移：参考物是一条射线旋转：参考物是一条射线旋转：参考物是一条射线轴对称：参考物是一条直线轴对称：参考物是一条直线不变量是本质：两点间距离不变量是本质：两点间距离第25页演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理只能用来验证知识，不能用来发觉知识。演绎推理只能用来验证知识，不能用来发觉知识。演绎推理只能用来验证知识，不能用来发觉知识。演绎推理只能用来验证知识，不能用来发觉知识。论证问题形式是：论证问题形式是：论证问题形式是：论证问题形式是：已知已知已知已知 A A A A 求证求证求证求证 B B B B其中其中其中其中 A A 和和和和 B B 都是确定性命题，没有新知识。都是确定性命题，没有新知识。都是确定性命题，没有新知识。都是确定性命题，没有新知识。发觉知识需要下面两种推理：发觉知识需要下面两种推理：发觉知识需要下面两种推理：发觉知识需要下面两种推理：从条件预测结果推理，从条件预测结果推理，从条件预测结果推理，从条件预测结果推理，从结果探究成因推理从结果探究成因推理从结果探究成因推理从结果探究成因推理需要归纳推理：需要归纳推理：需要归纳推理：需要归纳推理：从经验过东西推断未曾经验东西从经验过东西推断未曾经验东西从经验过东西推断未曾经验东西从经验过东西推断未曾经验东西 从小范围成立命题推断更大范围类似命题从小范围成立命题推断更大范围类似命题从小范围成立命题推断更大范围类似命题从小范围成立命题推断更大范围类似命题第26页归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理需要前提：经验或者想象归纳推理需要前提：经验或者想象归纳推理需要前提：经验或者想象归纳推理需要前提：经验或者想象经验：经验：经验：经验：从个别到普通，从详细到符号从个别到普通，从详细到符号从个别到普通，从详细到符号从个别到普通，从详细到符号 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律 3+5=83+5=83+5=83+5=8，5+3=8 3+5=5+35+3=8 3+5=5+35+3=8 3+5=5+35+3=8 3+5=5+3 6+9=15 6+9=15 6+9=15 6+9=15，9+6=15 6+9=9+69+6=15 6+9=9+69+6=15 6+9=9+69+6=15 6+9=9+6 3+(-2)=1 3+(-2)=1 3+(-2)=1 3+(-2)=1，(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3 a+b=b+a a+b=b+a a+b=b+a a+b=b+a结论正确是否需要演绎推理证实结论正确是否需要演绎推理证实结论正确是否需要演绎推理证实结论正确是否需要演绎推理证实第27页归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理探究成因探究成因探究成因探究成因混合运算：混合运算：混合运算：混合运算：先括号、先乘除后加减先括号、先乘除后加减先括号、先乘除后加减先括号、先乘除后加减。为何？为何？为何？为何？(3+2)(3+2)(3+2)(3+2)6=5 6=30 6=5 6=30 3+2 3+2 3+2 3+2 6=3+12=18 6=3+12=18举例说明举例说明举例说明举例说明上：上：上：上：一队同学，每排一队同学，每排一队同学，每排一队同学，每排3 3 3 3名女生名女生名女生名女生2 2 2 2名男生，共名男生，共名男生，共名男生，共6 6 6 6排，问有多少同学。排，问有多少同学。排，问有多少同学。排，问有多少同学。下：下：下：下：操场上有操场上有操场上有操场上有3 3 3 3名同学，又来了一队同学，名同学，又来了一队同学，名同学，又来了一队同学，名同学，又来了一队同学，2 2 2 2人一排共人一排共人一排共人一排共6 6 6 6排，问现排，问现排，问现排，问现 在操场上有多少同学。在操场上有多少同学。在操场上有多少同学。在操场上有多少同学。现在同学数现在同学数现在同学数现在同学数 =原来同学数原来同学数原来同学数原来同学数 +以后同学数以后同学数以后同学数以后同学数 =3+2 3+2 3+2 3+2 6 6 混合运算讲两个以上故事混合运算讲两个以上故事混合运算讲两个以上故事混合运算讲两个以上故事。除分数等于乘这个分数除分数等于乘这个分数除分数等于乘这个分数除分数等于乘这个分数倒数倒数倒数倒数第28页怎样得到和差化积公式：怎样得到和差化积公式：怎样得到和差化积公式：怎样得到和差化积公式：a a a a2 2 2 2bbbb2 2 2 2=(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)？用归纳方法用归纳方法用归纳方法用归纳方法问题化简问题化简问题化简问题化简：b=1b=1b=1b=1，a a a a2 2 2 2bbbb2 2 2 2=a=a=a=a2 2 2 2