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高中数学三角函数基础知识点及答案
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：
(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：；）
(2)终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .
(3)终边与终边关于轴对称.
(4)终边与终边关于轴对称.
(5)终边与终边关于原点对称.
(6)终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.
如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。
（答：）
4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_____象限角
（答：一、三）
5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：2）
6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如
（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。
（答：）；
（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______
（答：（－1，）；
（3）若，试判断的符号
（答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如
（1）若，则的大小关系为_____
(答：)；
（2）若为锐角，则的大小关系为_______
（答：）；
（3）函数的定义域是_______
（答：）
8.特殊角的三角函数值：

30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°

0
1
0
－1

1
0
－1
0

1

0

0

2-
2+

1

0

0
2+
2-
9. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商数关系：
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
（1）函数的值的符号为____
（答：大于0）；
（2）若，则使成立的的取值范围是____
（答：）；
（3）已知，，则＝____
（答：）；
（4）已知，则＝___；＝____
（答：；）；
（5）已知，则等于
　　A、　　B、　　C、　　　D、
（答：B）；
（6）已知，则的值为______
（答：－1）。
10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如
（1）的值为________
（答：）；
（2）已知，则______，若为第二象限角，则________。
（答：；）
随堂练习
例1 已知角的终边上一点P（－ ，m），且sinθ= m，求cosθ与tanθ的值．
分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．
解 由题意知r= ，则sinθ= = ．
又∵sinθ= m， ∴ = m． ∴m=0，m=±．
当m=0时，cosθ= －1 ， tanθ=0 ；
当m= 时，cosθ= － ， tanθ= － ；
当m= － 时，cosθ= － ，tanθ= ．
点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．
例2 已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．
分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．
解 E=｛θ｜ ＜θ＜}， F =｛θ｜ ＜θ＜π，或＜θ＜2π}，
∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．
例1 化简 ．
分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．
解 原式= =
= =1 ．
点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．
例2 若sinθcosθ= ，θ∈( ，)，求cosθ－sinθ的值．
分析 已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．
解 (cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－ = ．
∵θ∈( ，)，∴ cosθ＜sinθ．
∴cosθ－sinθ= － ．
变式1 条件同例， 求cosθ+sinθ的值．
变式2 已知cosθ－sinθ= － ， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．
点评 sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．
例3 已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．
分析 因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．
解 原式=cos2θ+sinθcosθ= = = ．
点评 1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．
2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos2θ等．
例1 已知sinα－sinβ=－ ，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值 ．
分析 由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．
解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ= ， ②
①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= ．
∴cos(α－β)= ．
点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．
例2 求 的值 ．
分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．
解 ∵10°=30°－20°，
∴原式=
= = =．
点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．
例1 求下列各式的值
（1）tan10°＋tan50°+ tan10°tan50°；
(2) ．
(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+tan10°tan50°=．
（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．
解 原式= =
=
=
点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．