高中数学竞赛00试题教师版——数列.doc

高中数学竞赛（00-06）——— 数列
1． （00全国）给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0 ( A )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
2． （03全国）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）
A．2046 B2047 C．2048 D．2049
解：注意到452＝2025，462＝2116，∴2026＝a2026—45＝a1981，2115＝a2115—45＝a2070．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝2003，∴a2003＝a1981+22＝2026＋22＝2048．故选(C)．
3． （04天津）已知数列，，，，，…，这个数列的特点是
从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于
（A） （B）　　　　（C）　　　　　（D） （ D ）
4．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ ）

5. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为 （ ）
A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004
6．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，则＝( ) (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.
9. (2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（　　　　）
A． B． C．　 D．
9（00全国）等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10（04全国）已知数列满足关系式，则的值是_________________________。
解：设 即 故数列是公比为2的等比数列，
.。
11（05全国）将关于的多项式表为关于的多项式其中则.
解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得
取 有
12（05天津）在数列{an}中，已知a1＝2，an+an+1＝1(n∈N+)．若Sn为数列{an}的前n项和，那么，S2 003－2S2 004＋S2 005的值是_________________．
解：3． 当n为偶数时，a1＋a2＝1，a3＋a4＝1，…，an－1＋an＝1，则Sn＝，S2004＝1002；当n为奇数时，a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，…，an－1＋an＝1，则Sn＝a1＋＝，∴S2003＝1003，S2005＝1004；∴S2 003－2S2 004＋S2 005＝3．
13（2006年江苏）等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当 时，有最大值．
14.(2005年浙江)已知数列，满足, 且， 则= 。
15．（2005四川）设为整数，集合中的数由小到大组成数列：，则　　　　 　　。
16. 数列的各项为正数,其前n项和满足,则=_____
17.（00全国）设Sn=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.( 答案：50)
18.（05全国）数列满足：
证明：（1）对任意为正整数； (2)对任意为完全平方数。
证：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得　①
　②
①-②得
　③
由③式及可知，对任意为正整数.…………………………10分
（2）将①两边配方，得④
由③≡
∴≡≡0（mod3）∴为正整数。 ④式成立.
是完全平方数.……………………………………………………20分
19.（06天津）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．
【解】令，。由题设，有，且…………5分。 于是，即．
∴．　　　（※）　　　…………………………………10分
又，，则．
∴当的值最小时，应有，，且．
即，．　　　…………………………………15分
由（※）式，得 由于，且，解得，∴当时，的值最小．　　……………… 20分
20.（2006陕西赛区预赛）已知,设,记。(1)求 的表达式;
(2)定义正数数列。试求数列的通项公式。.

21.（2006年南昌市）将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值.