高中数学-第二章-第15、16课时-数列复习课(2课时)(教师版)-苏教版必修5.doc

听课随笔第15、16课时 数列复习课(2课时)一、二、数列知识回顾（一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。数列的通项公式。求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是 （二）等差数列和等比数列1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中项公式A= 推广：2=。推广：性质1若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。2若成A.P（其中）则也为A.P。若成等比数列 （其中），则成等比数列。3 成等差数列。成等比数列。4 听课随笔2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。3. 在等差数列中,有关Sn 的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值。 (2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) =3）4） 5） 6） 【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用听课随笔函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。例1（1）首项为正数的等差数列a，其中S=S，问此数列前几项和最大？（2）等差数列a中，S=100，S=300，求S。（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。分析 （1）等差数列前n项和S=n+(a)n(d0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；（2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。（3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(ad)(d0)知，它是关于n的一次函数，故可设a= An+B，由条件列出方程组求A、B。【解】（1）设S= An+B（A0），S=S，9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。又S= An+B=A（n+）,当n=7时，S有最大值S。另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,又a+ a= a+ a= a+ a= a+a,4(a+a)=0, a+a=0.由于a0,据题意知a=a0，a0因此，前7项和最大。听课随笔（2）设S=An+Bn(A0)S=100，S=300,S=900+305=600。另解 S=100，S=300，又S，SS，SS成等差数列。SS=2（SS）SS=600（3）设a=An+B(A0)a=15,a=aa, a=2n1S=(211)+(221)+（2n1）=2(1+2+n)n=n(n+1)n=n.评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。二 求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。1. 观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例2写出下面各数列的一个通项公式听课随笔（1），；（2）1，；（3）；（4）21，203，2005，20007，；（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,；（6）1，0，1，0，；（7）1，【解】（1）注意各项的分子分别是1，2，3，4，分母比分子大1，数列的通项公式为a=.(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作21=1，21=3，21=7，21=15，21=31，各项分子均为1。数列的通项公式为a=（1）（3）各项的分母分别是2，2，2，2，分子比分母小1。数列的通项公式为a=（4）各项可看作21=210+1203=2100+32005=21000+520007=210000+7，数列的通项公式为a=210+（2n1）.(5)把各项适当变形0.2=20.1=0.9=(1),0.22=20.11=0.99=(1),0.222=(1),0.222=(1),，数列的通项公式为a=（1）。（6）奇数项皆为1，偶然项为0，数列的通项公式为a=听课随笔（7）各项可看作1=1+0，=+1，=+0，=+1，=+0，=+1，数列的通项公式为a=+.评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：（1） 观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（1）或者（1）部分，如本例中（2），（6），（7）也有所涉及。（2） 分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。（3） 考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），（3）等。2. 已知S求a或已知S与a的关系求a已知数列a的前n项和S求a时，要注意运用a和S的关系，即例3已知下列各数列a的前n项和S的公式，求a的通项公式。（1） S=101；（2）S=10+1；【解】（1）当n=1时，a=S=9,当n2时，a= SS=（101）（101）=1010=910，且n=1时，a=9也适合上式，a=910（n）.(2)当n=1时，a=S=10+1=11,当n2时，a= SS=（10+1）（10+1）=910，而n=1时，a=11，不适合上式，评析 已知a的前n项和S求a时应注意以下三点：（1） 应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n2两种情况讨论，特别注意由SS= a推导的通项a中的n2。听课随笔（2） 由SS= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。（3） 由SS= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。3. 累差法若数列a满足aa=f(n)(n),其中f(n)是易求和数列，那么可用累差法求a。（请你复习求等差数列通项公式的部分）例4求数列1，3，7，13，21，的一个通项公式。【解】 aa=31=2,aa=73=4,aa=137=6,aa=2(n1)以上n1个等式左右两边分别相加，得aa=21+2+3+（n1）=（n1）n，a=nn+1.且n=1时，a=1适合上式。a=nn+1.评析 我们应验证n=1时a=1适合a=nn+1式，这是什么原因。4. 累商法若数列a满足=f(n)( n),其中数列f(n)前n项积可求，则可用累商法求a.例5在数列a中，a=2，a= a,求通项a。【解】 a=2，a= a,听课随笔=，=，=。以上n1个等式左右两边分别相乘得=n, a=2n.且n=1时，a=2也适合上式。a=2n .5. 构造法直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。例6各项非零的数列a，首项a=1,且2S=2aSa,n2,求数列的通项a。【解】 a=1，2S=2aSa, n2,又a= SS.2S=2S2 SSS+ S，=2 （n2）（怎么得到的？）数列是以=1为首项，以2为公差的等差数列，=1+（n1）2=2n1, S=.a= SS= (n2)又a=S=1,不适合上式，听课随笔有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知S求a的问题。三 数列求和数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。1.公式法能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。例7数列a的通项a=nn，求前n项和S。【解】 S=（11）+（22）+（nn）=（1+2+n）（1+2+n）=。2.倒序求和法3.错项求和法【例2】求和S=+。请你独立完成，相信你会有更深的体会。答案 S=3。4.裂拆项法例8在数列a中，a=10+2n1,求S【解】 S=（10+211）+（10+221）+（10+2n1）=（10+10+10）+2（1+2+n）n=+n(n+1)n=(101)+n.听课随笔注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。练习：求数列1，1+2，1+2+3，的前n项的和。答案 S=。例9已知数列a：，求它的前n项和。分析 我们先看通项a=，然后想什么办法求S呢？将通项分裂成两项之差如何？【解】a=2（）， （为什么呢？）S=a+a+a+a=2(1)+()+()+（）=2（1）=。 （成功了！）评析 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。常用的裂项技巧如：=（）；=（）等。使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列a中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。四、等差、等比数列的综合问题例10已知数列的前n项和=4+2(nN)，a=1.(1)设=-2,求证：数列为等比数列，(2)设Cn=,求证：是等差数列. 选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力. 证明：(1) =4+2, =4+2,相减得=4-4, 听课随笔是以3为首项，2为公比的等比数列，=3.(2) 是以为首项，为公差的等差数列.说明：一个表达式中既含有又含有，一般要利用（），消去或，这里是消去了.例11在等比数列中，求的范围.解：，又，且，解之：当时，（）当时，且必须为偶数，（）例12 设, 都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求；听课随笔 解法1：.解法2：, 都是等差数列可设kn(5n+3), =kn(2n-1)=-= kn(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)=kn(10n-2), =-=kn(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1) =kn(4n-3),=解：由解法2，有=-= kn(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)=kn(10n-2), =-=kn(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1) =kn(4n-3), k5(105-2)=240k k8(48-3)=232k =【追踪训练】1一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。解：设等差数列为an，公差为d，等比数列为bn,公比为q.由已知得：a=b=1,又b，81，b27，即等比数列的第7项为27.听课随笔说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错.2已知, a, , , , 构成一等差数列，其前n项和为n, 设, 记的前n项和为, (1) 求数列的通项公式；(2) 证明：1. 解：(1) 1, 当n2时, 2n1; 由于n1时符合公式， 2n1 (n1). (2) , , 两式相减得(1), (1)1. 3已知等差数列的前n项和为，, 且,21, (1) 求数列bn的通项公式；(2) 求证：2. 解：(1)设等差数列的首项为, 公差为d,则(2d), 813d21, 解得 1, d1, n, , ; (2) 2(1)()()2.4已知数列，（1）求通项公式；（2）若，求数列的最小项的值；（3）数列的前项和为，求数列前项的和听课随笔5等差数列中，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式6已知函数f (x)(x1), 数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列(qR, q1, q0), 若f (d1), f (d1), f (q1), f (q1), (1) 求数列, 的通项公式； (2) 设数列对任意的自然数n均有成立，求的值. 解：(1) f (d1)(d2), f (d1)d, 2d, 即d(d2)2d, 解得d2, 0, 2(n1), 又f (q1)(q2), f (q1)q, q, q, q 1, q3, 1, 3 (2) 设(nN), 数列的前n项和为, 则2n, 2(n1), 2, 即2, 223 2232315专心 爱心 用心