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初中数学总复习提纲

第一章 实数
★重点★  实数的有关概念及性质，实数的运算
☆内容提要☆
一、 重要概念
1．数的分类及概念
   数系表：
 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准
2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
   常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3．倒数： ①定义及表示法
②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。
4．相反数： ①定义及表示法
②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5．数轴：①定义（“三要素”）
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）
定义及表示：
奇数：2n-1
偶数：2n（n为自然数）
7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义：
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
二、 实数的运算
1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]
分配律）
3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”
到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
第二章    代数式一、 重要概念           分类：
    1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独
的一个数或字母也是代数式。
    整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，
   =x, =│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
    条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
    合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根（ [a≥0—与“平方根”的区别]）;
⑵算术平方根与绝对值
① 联系：都是非负数， =│a│
②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴                    ( —幂，乘方运算)
① a＞0时， ＞0;②a＜0时， ＞0（n是偶数）， ＜0（n是奇数）
⑵零指数： =1（a≠0）
  负整指数： =1/ （a≠0,p是正整数）
二、 运算定律、性质、法则
1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2．分式的性质
⑴基本性质： = （m≠0）
⑵符号法则： 
⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）
3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ =  ;⑤ 
技巧： 
5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用）             （a+b）（a-b）=              (a±b) = 
7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。
8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9．算术根的性质： ＝ ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b＞0)(正用、逆用)
10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .
11．科学记数法： （1≤a＜10,n是整数＝
第三章    统计初步一、 重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）
二、 计算方法
1.样本平均数：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,则 (a—常数， ， ，…， 接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2．样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 （a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数）;若 、 、…、 较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差： 
第四章    直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
一、 直线、相交线、平行线
    1．线段、射线、直线三者的区别与联系
    从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
    2．线段的中点及表示
3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）
    4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）
5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）
6．互为余角、互为补角及表示方法
7．角的平分线及其表示
8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）
9．对顶角及性质
10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）
11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12．定义、命题、命题的组成
13．公理、定理
14．逆命题
二、 三角形
分类：⑴按边分; ⑵按角分
1．定义（包括内、外角）
2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，        

 3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质
5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、 四边形
分类表：
1．一般性质（角）
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形──↑
⑷对角线的纽带作用：
3．对称图形
⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）
4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。
5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6．作图：任意等分线段。
第五章    方程（组）
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
☆ 内容提要☆
一、 基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）
2． 分类：
、 解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc   (c≠0)
三、 解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法
四、 一元二次方程
1．定义及一般形式： 
2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）
⑶公式法： 
⑷因式分解法（特征：左边=0）
3．根的判别式： 一元二次方程的根的判别式的概念
一元二次方程的根的情况与判别式的关系
判别式定理和逆定理 >0 方程有两个不相等的实数根，=0 方程有两个相等的实数根，<0 方程没有实数根，0 方程有两个实数根
3一元二次方程根的判别式的应用
（1） 不解方程，判定方程根的情况
（2） 根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。
（3） 应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）
（4） 利用判别式解决一元二次方程的有关证明题
4．逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。
5．常用等式： 

五、 可化为一元二次方程的方程
1．分式方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ）
⑷验根及方法
2．无理方程
⑴定义
⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例， ）⑷验根及方法
3．简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、 列方程（组）解应用题
㈠概述
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 
㈡常用的相等关系
1． 行程问题（匀速运动）
基本关系：s=vt
⑴相遇问题：
 + = ; 
⑵追及问题：
 若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
 ⑶水中航行： ; 
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度
              溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题： 
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
㈢注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
㈣注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例（略）
第六章    一元一次不等式（组）
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆ 内容提要☆
1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
3． 一元一次不等式组：
4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac<BC(C<0)
⑷（传递性）a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
第七章    相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：注意：①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似（比例线段）→平行。
二、相似三角形性质
1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证（解）题规律、辅助线
1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
第八章    函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
☆ 内容提要☆
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标的特点
2．坐标轴上点的坐标的特点
3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。
3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
（定义→图象→性质）
1． 正比例函数
⑴定义：y=kx(k≠0)  或y/x=k。
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
2． 一次函数
⑴定义：y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。
⑶性质：①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况：
3． 二次函数
⑴定义： 
         特殊地， 都是二次函数。
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。 用配方法变为 ，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数
⑴定义： 或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。
2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
第九章    解直角三角形一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=   ;cosA=   ;tgA=   ;ctgA= .
2． 特殊角的三角函数值：
 0° 30° 45° 60° 90°
sinα     
cosα     
tgα      /
ctgα  /    
3． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
4． 三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系： 
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
        注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1． 俯、仰角：     2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
第十章    圆
一、圆的基本性质
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
5． 与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
三、圆与圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
    2.相切（交）两圆连心线的性质定理
五、与和正多边形
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
直角三角形内切圆半径，外接圆半径
等边三角形内切圆半径，外接圆半径
六、 一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
八、 有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分
十、 重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连

函数及其图象
平面直角坐标系
1平面直角坐标系
2直角坐标平面的结构
（1） 象限的概念
（2）坐标平面的结构：两条坐标轴和四个象限构成
3点的坐标的概念
4已知坐标平面内的点，如何求其坐标？
5已知点的坐标，如何描点？
6不同位置的点的坐标的特征
（1）各象限内点的坐标的符号
（2）坐标轴上的点的特征
（3）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征
7点P(x,y)到坐标轴、原点、任意两点间的距离
函数
1常量和变量 2函数的概念（三个特点） 3函数解析式
4自变量取值范围的确定。
“自变量的取值范围”的意义：使函数有意义的自变量的取值的全体。
确定方法：（1）自变量的取值必须使其所在的代数式有意义
（2） 如果函数有实际意义，那么必须使实际问题有意义。
5函数值
6实际问题中函数解析式的求法
函数的图象
1图象的概念。
2由函数解析式画图象的一般步骤：列表、描点、连线。
3函数的三种表示法及其优缺点。
（1） 列表法 （2）解析式法 （3）图象法
4函数图象上的点的坐标与解析式之间的关系：
通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点在函数的图象上；如果不满足解析式，这个点就不在其函数的图象上。反之亦然。
一次函数
1一次函数和正比例函数的定义。
函数是一次函数 其解析式可化为y = kx + b (k，b为常数，k0)
函数是正比例函数 其解析式可化为y = kx (k为常数，k0)
一次函数解析式y = kx +b(k0) 的结构特征：
（1） k0 (2) x的次数是1 （3）常数b可以为任意实数。
正比例函数解析式y = kx (k0)的结构特征：（1）k0 (2) x的次数是1
2正比例函数与一次函数的关系
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数
一次函数的图象和性质
1一次函数的图象的形状；所有的一次函数的图象都是一条直线。
2一次函数的图象的画法：根据几何知识，两点决定一条直线，通常过坐标轴上的两点的一条直线。
3一次函数、正比例函数图象的主要特征：
一次函数y = kx +b(k0)的图象是经过点（-,0） （0，b）的一条直线。
k，b的正、负值决定所经过的三个象限。
正比例函数y = kx (k0)的图象是经过原点（0，0）的直线。
k的正、负值决定所经过的两个象限。
4正比例函数的性质
(1)当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大。
(2)当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5一次函数的性质
一次函数y = kx +b(k0)中的k，决定了直线的倾斜程度，通常被称为斜率，即
tan=k。b称为直线在y轴上的截距。
(1)当k>0时，y随x的增大而增大。
(2)当k<0时，y随x的增大而减小。
6直线y = kx +b(k0)的位置与k,b的符号之间的关系：
（1）k>0 ，b>0时直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）
（2）k>0 ，b<0时直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）
（3）k<0 ，b>0时直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）
(4)k<0 ，b<0时直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）
7两条直线的位置关系：
设直线l和l的解析式分别为y=kx+b和y=kx+b,则它们的位置关系可由其系数确定。
(1)k k l和l相交 （2）k = k b b l和l平行
8正比例函数和一次函数解析式的确定
确定正比例函数解析式的实质就是确定y = kx (k0)中的k值，这可以利用待定系数法，通过解k的方程来实现。
确定一次函数解析式的实质就是确定y = kx+b (k0)中的k，b值，这可以利用待定系数法，通过解k，b的方程组来实现。
9 函数与方程、函数与不等式之间的联系
10．两直线交点坐标的计算：设直线l和l的解析式分别为y=kx+b和y=kx+b,若 k k，其交点坐标为方程组的解。
二次函数y=ax的图象
1 二次函数的定义：一般地，如果y= ax+bx+c(a,b,c是常数，a0),那么y叫做x的二次函数。
2二次函数的图象
b=c=0时的二次函数y= ax是最简单的二次函数。
（1） 画最简单的二次函数的图象。
（2） 抛物线的有关概念。
抛物线的几个主要特征：① 有开口方向， ② 有对称轴， ③ 有顶点。
3二次函数y= ax的图象
（1） 二次函数y= ax的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点在原点处，开口方向由a的符号决定。当a>0时，开口向上，即抛物线在x轴的上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；当a<0时，开口向下，即抛物线在x轴的下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（2） 抛物线y= ax的开口的大小由︱a︱决定。当︱a︱越大，抛物线的开口越窄；当︱a︱越小，抛物线的开口越宽。
4二次函数y= ax的性质
函

数

图 象
开 口

方 向
顶 点

坐 标
对
称
轴
函 数

变 化
最大（小）值

y=ax

a>0

向上

（0，0）

y轴
x>0时，
y随x增大而增大；
x<0时，
y随x增大而减小。

当x=0时，
y= 0

y=ax

a<0

向下

（0，0）

y轴
x>0时，
y随x增大而增大；
x<0时，
y随x增大而减小。

当x=0时，
y= 0
二次函数y= ax+bx+c的图象
1二次函数y= ax+bx+c的图象
（1） 二次函数y= ax+k的图象可由y= ax向上（或向下）平移而得到。
当k>0时，抛物线y= ax向上平移︱k︱个单位得y= ax+k
当k<0时，抛物线y= ax向下平移︱k︱个单位得y= ax+k
（2） 二次函数y=a(x-h)图象可由y= ax向左（或向右）平移得到
当h>0时，抛物线y= ax向右平移︱h︱个单位得y= a（x-h）
当h<0时，抛物线y= ax向左平移︱h︱个单位得y= a（x-h）。
（3） 抛物线y=a(x-h)+k的图象可由抛物线y= ax向左（或向右）平移︱h︱个单位，再向上（或向下）平移︱k︱个单位而得到。
一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y= ax的形状相同，只是位置不同。抛物线y=a(x-h)+k有如下特点：
① a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x = h
③顶点坐标是（h,k）
(4)二次函数的一般式y= ax+bx+c通过配方可以转化为顶点式y=a(x-h)+k
2二次函数y= ax+bx+c的性质
函数
二次函数y = ax+bx+c（a,b.c是常数，a0）

图

象

a> 0
a<0

性

质
（1） 当a>0时，抛物线开口向
上无限延伸
(2)对称轴是x= - 顶点坐标是
（- ，）
（3）x<- 时，y随x的增大而减小；当x>- 时，y随x的增大而增大；简记左减右增。
（4）当x= - 时，y=
(1)a<0时，抛物线开口向下无限延伸
(2)对称轴是x= - 顶点坐标是（- ，）
（3）当x<- 时，y随x的增大而增大；当x>- 时，y随x的增大而减小；简记左增右减。
（4）当x= - 时，y=
3二次函数y= ax+bx+c与一元二次方程 ax+bx+c=0的关系
抛物线y = ax+bx+c与x轴交点的横坐标x ，x是一元二次方程ax+bx+c=0的根。当b-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；当b-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点；当b-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。抛物线与x轴的两个交点的距离︱x- x︱= (b-4ac>0)
4二次函数解析式的确定；
二次函数解析式有三种形式；
（1） 一般式；y = ax+ bx + c ( a , b , c是常数，a0),
（2） 顶点式；y = a (x - h)+ k (a , h , k是常数，a0)
（3） 两根式；y = a (x - x) ( x - x) ( a, x，x是常数，a0)
要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数），由于每一种形式中都有三个待定系数，所以要用待定系数法求二次函数的解析式，需要三个独立的条件。
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式；后列出三元一次方程组求解．
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式
y = a ( x - h)+ k，求解．
当已知抛物线与x轴交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式
y = a (x - x) ( x - x)，求解．
5如何研究抛物线的平移问题
6如何求二次函数的最值：
（1） 利用配方法，把二次函数配成顶点式。
（2） 利用公式，即当x = - 时，y=
7二次函数y = ax+ bx + c的图象的特征与a,b,c及的符号之间的关系
字母
字母的符号
图象的特征
a
a>0
a<0
开口向上
开口向下

b
b =0
ab>0
ab<0
对称轴y轴
对称轴在y轴左侧
对称轴在y轴右侧

c
c=0
c>0
c<0
经过原点
与y轴在正半轴相交
与y轴在负半轴相交

=0
>0
<0
与x轴有唯一交点
与x轴有两个交点
与x轴没有交点

反比例函数及其图象
1反比例函数的定义
一般地，函数y=或y=kx（k是常数，k0）叫做反比例函数。
2反比例函数的图象及其画法
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两支分别位于第一、三象限或者第二、四象限，它们关于原点对称，与x轴、y轴不可能有交点。
反比例函数的画法（1）列表（2）描点（3）连线
3反比例函数的性质
反比例函数
y = 或 y = kx
k的符号
k> 0
k<0
图
象

性

质
（1）x的取值范围是x0
y的取值范围是y0。
（2）当k>0时，图象的两个分支在第一、三象限，y随x的增大而减小。

（1）x的取值范围是x0
y的取值范围是y0。
（2）当k>0时，图象的两个分支在第二、四象限，y随x的增大而增大。

4反比例函数解析式的确定；利用待定系数法。
5反比例函数中比例系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于︱k︱。
初三几何知识点归纳
第六章 解直角三角形
一、正弦、余弦、正切、余切的概念
在ABC中，∠C=90°
①∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，sinA= =
②∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，cosA==
③∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA==
④∠A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作cotA，cotA==
二、三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切、余切叫做A的锐角三角函数。
三、特殊度数（0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sin
0

1
cos
1

0
tan
0

1

不存在
cot
不存在

1

0
四、正弦、余弦之间，正切、余切之间的关系式
（1） sinA = cos（90°- A） cosA = sin（90°- A ）
（2） tanA = cot（90°-A ） cotA = tan（90°- A ）
（3） sinA + cosA = 1 tanA cotA = 1
（4） tanA= cotA =
五、当角度在0° —— 90°之间变化时，三角函数的变化情况。
① 正弦、正切随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
② 余弦、余切随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
③　0 ＜ sinA ＜ 1 0 ＜ cosA ＜ 1 tanA ＞ 0 cotA ＞ 0
六、解直角三角形及其应用
1、 解直角三角形的概念
2、 解直角三角形的工具
在ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c
（1） 三边之间的关系：a+b= c（勾股定理）
（2） 锐角之间的关系：∠A+∠B = 90°
（3） 边角之间的关系：利用三角函数
3 直角三角形可解的条件
（1） 已知两边可解直角三角形
（2） 已知一边及一锐角可解三角形
4 直角三角形解法
类 型
已 知 条 件
解 法
两边
两直角边a、b

一直角边a、斜边c

一边一锐角
一直角边a、锐角A

斜边c、锐角A

5 应用举例所涉及的有关概念：
（1） 仰角、俯角
（2） 坡度；铅直高度h和水平宽度l的比。i =
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度与坡面（若用α表示）的关系：i = tanα
坡角越大，坡度也越大。坡面越陡。
（3） 方向角
第七章 圆
一、 圆的有关性质
圆
（一）圆的有关性质
1 圆的定义：（圆的定义有两种）
2 圆的内部、外部
3 点与圆的位置关系：
①点在圆外d＞r ②点在圆上d=r ③点在圆内d＜r
4 与圆有关的概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弓形、同心圆、等圆、等弧
过三点的圆
1定理：不在同直线上的三点确定一个圆。
2 三角形的外接圆、三角形的外心及圆内接三角形的概念。
3反证法的定义及运用反证法证明命题的一般步骤
垂直于弦的直径
1圆的轴对称性
2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。
3垂径定理的推论
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1圆旋转不变性
2圆心角、弦心距的概念。
3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
4圆心角的度数与它所对弧的度数的关系：圆心角度数和它所对的弧的度数相等。
圆周角
1圆周角的概念
2圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
3圆周角定理的推论：
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形
1圆内接多边形及多边形外接圆的概念
2圆内接四边形性质定理：
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
二直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
1直线与圆的位置关系的定义及有关概念
（1） 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点。
（2） 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。
（3） 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
2直线与圆的位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么
（1） 直线L和⊙O相交 d＜r
（2） 直线L和⊙O相切 d=r
（3） 直线L和⊙O相离 d＞r
切线的判定和性质
1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2圆切线的判定方法
（1） 定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2） 数量关系：和圆距离等于半径的直线是圆的切线；
（3） 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。
3切线的性质定理及其推论：
定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
三角形的内切圆
1三角形的内切圆等概念：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2三角形内切圆的作法。
3三角形内心的有关性质。