高中数学选修23综合试题.doc

选修2—3综合质量检测(1)

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知集合S＝{－1,0,1}，集合A＝{1,2,3,4}．从集合S、A中各取一个元素作点的横纵坐标，在直角坐标系中，可以作出点的个数为(　　)
A．7 B．12 C．4 D．24
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们同时中靶的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为 ＝256＋2x，表明(　　)
A．废品率每增加1%，生铁成本增加258元
B．废品率每增加1%，生铁成本增加2元
C．废品率每增加1%，生铁成本每吨增加2元
D．废品率不变，生铁成本为256元
4.n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)
A．180 B．90 C．45 D．360
5．设服从二项分布B(n，p)的随机变量X的期望与方差分别是15和，则n，p的值分别是(　　)
A．50， B．60， C．50， D．60，
6．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
7.三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)
A．6种 B．8种 C．10种 D．16种
8．(x＋1)4(x＋4)8＝a0(x＋3)12＋a1(x＋3)11＋…＋a11(x＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)的值为(　　)
A．27 B．28 C．8 D．7
9．将三颗相同的普通骰子各掷一次，设事件A＝“掷得的向上的三个点数都不相同”，B＝“至少出现一个6点向上”，则概率P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
10．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球都是红球，其余的是黑球，若一次从中任取两个球，则取到的都是红球且至少有1个球的号码是偶数的概率为(　　)
A. B. C. D.
11．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面的列联表：
　　　数学成绩
物理成绩　　　
85～100分
85分以下
总计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
总计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系的把握为(　　)
A．99.5% B．99% C．98% D．95%
12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为(　　)
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
14．已知a，b为常数，b>a>0，且a，－，b成等比数列，(a＋bx)6的展开式中所有项的系数和为64，则a等于________．
15．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

16.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率Y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率Y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)一袋中有11个球，其中5个红球，6个白球，从袋中任取4个球．
(1)求取出的球中有2个红球的取法有多少种？
(2)求取出的球中至少有2个红球的取法有多少种？
18．(12分)(1)在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？
(2)n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．
19.(12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
a
b
(1)求a，b的值．
(2)若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，求：5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．
20.(12分)NBA总决赛采用7场4胜制，即若某队先取胜4场则比赛结束．由于NBA有特殊的政策和规则，能进入决赛的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等．根据不完全统计，主办一场决赛，组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2 000万美元(相当于篮球巨星乔丹的年薪)．
(1)求所需比赛场数ξ的分布列；
(2)求组织者收益的数学期望．
21.(12分)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性
女性
合计
爱好
10

不爱好

8

合计

30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？
(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
22.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年多，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40<X
<80
80≤X
≤120
X>120
发电机最多
可运行台数
1
2
3
　若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

答案
1．B　C·C＝12(个)．
2．A　独立事件，P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝＝.
3．C　由回归直线方程可知，废品率每增加1%，生铁成本每吨增加2元．
4．A　由于展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n＝10，又Tr＋1＝C()10－r·r＝2r·C·x.
令＝0，得r＝2.∴常数项为T3＝22·C＝180.
5．B　由题意，解得.
6．B　分两类：第一类：甲排在第一位，共有A＝24种排法；第二类：甲排在第二位，共有A·A＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B.
7．C　如下图：同理由甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法，故选C.

8．D　令x＝－2，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＋a12＝28，
令x＝－4，得：a0－a1＋a2－a3＋…－a11＋a12＝0，
∴a1＋a3＋…＋a11＝27.∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝7.
9．A　由题意，事件B发生的概率为
P(B)＝1－＝.
事件A与事件B同时发生的概率P(AB)＝.
∴P(A|B)＝＝.
10．D　红球共有6个，其中3个为偶数球，3个为奇数球．取出的2个球都是红球且至少有1个球的号码是偶数的概率P＝＝.
11．D　代入公式得χ2＝≈4.514>3.841，又P(χ2>3.841)＝0.05，故有95%的把握认为数学成绩与物理成绩有关．
12．B　记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B，E(η)＝4×＝.因为ξ＝1＋η，
E(ξ)＝1＋E(η)＝.故选B.

13.
解析：先找出取两个数的所有情况，再找出所有乘积为6的情况．取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．
乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况．
所求事件的概率为＝.
14.
解析：由a，－，b成等比数列，得ab＝，由(a＋bx)6的展开式中所有项的系数和为64，得(a＋b)6＝64，
∴可解得a＝，b＝.
15.　
解析：由题知，a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0,12×a＋12×c＋22×＝1，解得，a＝，b＝.

16．0.5　0.53
解析：小李这5天的平均投篮命中率
＝＝0.5，
可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得 ＝0.01， ＝0.47，故回归直线方程为 ＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得小李6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
17．解：(1)取出的4个球中的2个红球是袋中5个红球中的某2个，有C种情况，另2个白球是袋中6个白球中的某2个，有C种情况，故取出的4个球中有2个红球的取法有C·C＝10×15＝150种．
(2)至少有2个红球，包括三类情况：第一类，2个红球，2个白球；第二类，3个红球，1个白球；第三类，4个红球．根据分类加法计数原理，取出的4个球中至少有2个红球的取法有C·C＋C·C＋C＝150＋60＋5＝215种．
18．解：(1)由已知得C＝C⇒n＝7.
(2)由已知得2n－1＝128，n＝8，
而展开式中二项式系数最大项是
T4＋1＝C(x)4·4＝70x4.
19.解：(1)a＝0.5，b＝0.3.
(2)依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率为0.5，设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B(5,0.5)
P(X＝2)＝C×0.52×(1－0.5)3＝0.312 5，
所以5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率为0.312 5.
20．解：所需比赛场数ξ是随机变量，其可能的取值为4,5,6,7.
设ξ＝k(k＝4,5,6,7)，表示比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛，显然在前面的k－1场比赛中需获胜3场，所以
P(ξ＝4)＝3＝；P(ξ＝5)＝C4＝；
P(ξ＝6)＝C5＝；P(ξ＝7)＝C6
＝.
(1)所需比赛场数ξ的分布列为
ξ
4
5
6
7
P

(2)所需比赛场数的期望
E(ξ)＝×4＋×5＋×6＋×7＝.
组织者收益的数学期望是×2 000＝11 625(万美元)．

21.解：(1)

男性
女性
合计
爱好
10
6
16
不爱好
6
8
14
合计
16
14
30
由已知数据可求得：
χ2＝
≈1.158<3.841，
所以没有把握认为爱好运动与性别有关．
(2)X的取值可能为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P

X的数学期望为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
22．解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当x≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．