高中数学322函数模型应用的实例同步讲练新人教版必修.doc

课题：3.2.2函数模型应用的实例
精讲部分
学习目标展示
1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题
衔接性知识
我们学习了哪几种初等函数？请画出它们的图象
基础知识工具箱
项目
定义
符号
常见函数模型
直线模型
可以用直线模型表示

指数函数模型
能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”
，且
对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢
，且
幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型
为常数
应用题解答三步曲
(1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．
(2)文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个数学问题．
(3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数学能力
典例精讲剖析
例1．从盛满20ml酒精的容器里倒出1ml，然后用水添满，再倒出1ml混合溶液后又用水添满，这样继续进行，如果倒第k(k≥1)次后，共倒出纯酒精xml，倒第k＋1次后共倒出纯酒精f(x)ml，求函数f(x)的表达式
【解析】倒第k次后，已经一共倒出了纯酒精xml，故容器里还剩下纯酒精(20－x)ml，用水加满后其浓度为，倒第k＋1次时倒出的一升溶液中含纯酒精为×1＝1－(ml)．这里1≤x<20.
∴倒第k＋1次后，共倒出纯酒精f(x)＝＋x＝x＋1(ml) (1≤x<20)．
例2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如下图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．

请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由
【解析】(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1,1)和(6,2)可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4)，
同理可得y乙＝4(－x＋)．
∴第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求T＝y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
当x＝－＝2时T取最大值，∵x∈N，∴x＝2，此时，T＝y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大．即第二年规模最大，为31.2万只．
例3．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：
p＝(t∈N*)
设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．
【解析】设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝
(1)当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当t＝10时，ymax＝900元．
(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125元．
综合(1)，(2)得ymax＝1125元．
因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大．

例4．某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元

该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．
若每月用量不超过最低限度Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元，若用气量超过Am3元，超过部分每m3付B元，又知保险费C不超过5元，
根据上表求A，B，C.
【解析】设每月用气量为x m3，支付费用为y元，根据题设条件得y与x的函数关系式为：
y＝
由0<C≤5有C＋3≤8，
从上表中看此家庭第二、第三月份的费用均大于8，故用气量25 m3,35 m3均大于最低限度A m3，
故而将x＝25，x＝35分别代入②得：

④－③得B＝0.5，代入③得A＝2C＋3，⑤
再分析一月份的用气量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x＝4代入②得：
3＋0.5[4－(3＋2C)]＋C＝4，
∴3.5－C＋C＝4，∴3.5＝4矛盾，
所以A≥4，一月份付款方式选①，
所以3＋C＝4，即C＝1代入⑤得A＝5，
所以A＝5，B＝0.5，C＝1.

精练部分
1．某人1997年7月1日到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，到2000年7月1日可取回款()
A．a(1＋x)3元　　　 B．a(1＋x)4元C．a＋a(1＋x)3元 D．a(1＋x3)元
[答案]A
[解析]a(1＋x)2000－1997＝a(1＋x)3，故选A.
2．如右图，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为 ()

[答案]C
[解析]　当0≤t≤1时，设l交OA于E，交x轴于F，作AD⊥x轴于D，则△OEF～△OAD，所以＝，所以EF＝2t，由题意S＝OF·EF＝·t·2t＝t2.当t>1时，S＝OD·AD＋AD·(t－1)＝·1·2＋2·(t－1)＝2t－1，所以大致图象为C.
3．商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
[解析]由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．
由优惠办法(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法(1)应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
[解析]　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．
设获得的利润依次为P、Q，则它们与投入资金的关系是P＝x，Q＝.
所以y＝x＋(0≤x≤3)，
令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2.
所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋.
当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)，x＝＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.
5．经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天其价格直线上升，而后60天其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格
(千元)
23
30
22
7
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数表示式(x表示投放市场的第x天)；
(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)＝－x＋(1≤x≤100，x∈N)，问该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高值为多少千元？
[解析]　(1)用待定系数法不难得到
f(x)＝
(2)设日销售额为S，当1≤x<40时，
S＝(x＋22)(－x＋)＝－(x2－21x－9 592)，
∴x＝10或11时，Smax＝＝808.5(千元)
当40≤x≤100时，
S＝(－x＋52)(－x＋)＝(x2－213x＋11 336)，
∴x＝40时，Smax＝736(千元)．
综上分析，日销售额最高是在第10及第11两天，最高销售额为808.5千元．
6．银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%、2.43%、2.70%、2.88%，现将1 000元人民币存入银行，问应该怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？
[解析]　存5年共有6种存款方式
①一次性存入5年，本金和利息的总和为1 000＋5×1 000×2.88%＝1 144(元)；
②存一个三年，再存一个两年，
(1 000＋3×1 000×2.70%)(1＋2×2.43%)＝1133.54(元)；
③存三年，再存两个一年，
1 000(1＋3×2.70%)(1＋2.25%)2＝1130.19(元)；
④存两个两年，再存一个一年，
1 000(1＋2×2.43%)2(1＋2.25%)＝1124.30(元)；
⑤存一个两年，再存三个一年，
1 000(1＋2×2.43%)(1＋2.25%)3＝1120.99(元)；
⑥存五个一年
1 000(1＋2.25%)5＝1117.68(元)；
∴一次性存入5年本金和利息的总和最大．