2016秋学期高二期末统测数学理试卷附答案.docx

肇庆市中小学教学质量评估 20162017学年第一学期统一检测题 高二数学（理科） 本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）命题“ ， ”的否定是 （A） ， （B） ， （C） ， （D） ， （2）过点 且与直线 垂直的直线是 （A） （B） （C） （D） （3）双曲线 的离心率是 （A） （B） （C） （D） （4）图1是一个组合体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是 (A) （B） （C） （D） （5）“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）直线 与圆 相交于A、B两点，且 ，则实数 的值是 （A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或 （7）如图2，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD 在原正方体中的位置关系是 （A）平行 （B）相交成60 （C）相交且垂直 （D）异面直线 （8）已知椭圆 过点 ，则此椭圆上任意一点 到两焦点的距离的和是 （A）4 （B）8 （C）12 （D）16 （9）一个几何体的三视图如图3所示（单位：cm）， 则该几何体的表面积是 （A）4 （B） （C） （D）24 （10）已知过点 的直线 与圆 有两个交点时,其斜率 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （11） 是空间两条不同直线， 是两个不同平面有以下四个命题： 若 , 且 ，则 ； 若 , 且 ，则 ； 若 , 且 ，则 ； 若 , 且 ，则 . 其中真命题的序号是 （A） （B） （C） （D） （12）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ，则 的值是 （A） （B） （C） （D） 二 、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. （13）已知直线 ，若 ，则 的值等于 . （14）如图4，在圆 上任取一点P，过点P作x 轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程为 .（15）某四面体的三视图如图5所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于 . （16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为 ，已知球的半径 ，则此圆锥的体积为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. （17）（本小题满分11分） 已知斜率 且过点 的直线 与直线 相交于点M. （）求以点M为圆心且过点 的圆的标准方程C； （）求过点 且与圆C相切的直线方程.（18）（本小题满分11分） 如图6，已知正方体 ， 分别是 、 、 、 的中点. （）求证： 四点共面； （）求证： .（19）（本小题满分12分） 已知 分别是双曲线 的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且 ，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L. （）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程； （）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点?（20）（本小题满分12分） 如图7，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等腰直角三角形， 是直角， ， . （）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值.（21）（本小题满分12分） 如图8，直角梯形 中， ， 且 的面积等于 面积的 梯形 所在平面外有一点 ，满足 平面 ， （）求证：平面 平面 ； （）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ? 若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说明理由；（22）（本小题 满分12分） 已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率 ，右焦点与圆C： 的圆心重合. （）求椭圆G的方程； （）设 、 是椭圆G的左焦点和右焦点，过 的直线 与椭圆G相交于A、B两点，请问 的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 的方程，若不存在，请说明理由. 20162017学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A D A A B B C C B D （12）解析：将 代入 中得 ， ， 所以 . 二、填空题 （13） （14） （15） （ 16） 或 （答1个得3分，答2个得5分） （15）解析：由三视图知该几何体为棱锥SABD，其中SC平面ABCD；四面体SABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为 （16）解析：由 得圆锥底面半径为 ，如图设 ， 则 ，圆锥的高 或 所以，圆锥的体积为 或三、解答题 （17）（本小题满分11分） 解：（）依题意得，直线 的方程为 ，即 . （2分） 由 ，解得 . 即点M的坐标为 . （4分） 设圆C的半径为 ，则 . （5分） 所以，圆C的标准方程为 . （6分） （）因为圆C过点B（4，-2），所以直线x=4为过点N（4，2）且与圆C相切的直线. （8分） 设过点 且与圆C相切的直线方程的斜率为 ， 则直线方程为 . （9分） 由 ，得 ，即 是圆C的一条切线方程. （10分） 综上，过点 且与圆C： 相切的直线方程为 和 . （11分）（18）（本小题满分11分） 证明：（）如图，连结AC. （1分） 分别是 、 的中点， . （2分） 分别是 、 的中点， . （3分） . （4分） 四点共面。 （5分） （）连结BD. 是正方体， . （7分） ， 平面 ， 平面 . （9分） 又 ， 平面 ， （10分） 又 平面 ， . （11分）（19）（本小题满分12分） 解：（）由双曲线的定义可知， ，即 . （1分） 双曲线的标准方程为 . （2分） 双曲线的渐近线方程 . （3分） 双曲线的右顶点坐标为 ，即抛物线L的焦点坐标为 ， 抛物线L的标准方程为 ， （5分） （）抛物线 的准线与对称轴的交点为 . （6分） 设直线MN的斜率为k，则其方程为 . （7分） 由 ，得 . 直线MN与抛物线交于M、N两点， ，解得 . （8分） 设 ，抛物线焦点为F(1，0)， 以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，MFNF. （9分） ，即 . （10分） 又 ， ， 且 同号， . 解得 ， . （11分） 即直线的斜率等于 时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点. （12分）（20）（本小题满分12分） 解：取AD的中点O，连结OP，OC， 是等腰直角三角形， 是直角， . 平面 平面 ， 平面 . ， ，又 ， . 即 两两垂直. （2分） 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由条件知， ， . 故 各点的坐标分别为： ， ， ，所以， ， ， . （4分） （）设平面PCD的法向量为 ，则 ，即 令 ，则 ，故 是平面PCD的一个法向量. （6分） 设直线PB与平面PCD所成角为 ，则 ，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . （8分） （）设平面PAB的法向量为 ，则 ，即 . 令 ，则 ，故 是平面PAB的一个法向量 . （10分） 设平面PCD与平面PAB所成角的二面角的平面角为 ，则 ，所以平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值0. （12分）（21）（本小题满分12分） 证明：（） 平面 ， （1分） 又 的面积等于 面积的 ， （2分） 在底面 中， ， ， ， （4分） 又 ， 平面 （5分） 又 平面 ， 平面 平面 . （6分） （）取 的中点 ，使得 平面 . （7分） 证明如下： 取 的中点是 ，连结 ， ， ， 则 ，且 （8分） 由已知 ， （9分） 又 ， ，且 . 四边形 为平行四边形， （10分） （11分） 平面 ， 平面 ， 平面 （12分）（22）（本小题满分12分） 解：（）圆C： 的圆心为 . （1分） 设椭圆G的方程 ， 则 ，得 . （2分） ， （3分） 椭圆G的方程 . （4分） （）如图，设 内切圆M的半径为 ，与直线 的切点为C，则三角形 的面积等于 的面积+ 的面积+ 的面积. 即 .当 最大时， 也最大， 内切 圆的面积也最大. （5分） 设 、 ( )， 则 . （6分） 由 ，得 ， 解得 , . （7分） . （8分） 令 ，则 ，且 ， 有 . （9分） 令 ，因为 在 上单调递增，有 . （10分） . 即当 ， 时， 有最大值 ，得 ，这时所求内切圆的面积为 . （11分） 存在直线 ， 的内切圆M的面积最大值为 . （12分）20 20