初中数学破题致胜微方法巧用旋转45°扩大到90°的应用1.doc

45°“扩大”到90°的应用
例：在△ABC中， ∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知：BD=6,CD=4,则高AD的长为_____.
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分析：此题看到45°，可以将它扩大到90°，将△BCD沿BC翻折，使D到D1处，△ADB沿AB翻折，使D到D2处，则C D1=CD=4, B D2=BD=6,∠D1AD2=90°，四边形A D1 D3 D2为正方形，利用△AD3C为直角三角形，根据勾股定理有, B D3= D2D3- B D2=
AD-BD=AD-6, C D3= D1D3- C D1=AD-CD=AD-4,可求得.
答案：12
总结：如图，涉及三角形内45°角对边上的高时，对应的高，底边上被高分成的两个线段这三量知二求一时，可考虑翻折+半角的反应用，把半角扩大到90°，再利用翻折的性质、正方形的性质把相关量转移到直角三角形中，应用勾股定理解决.

练习：1. 如图，在△ABC中， ∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知：BD=3,CD=2,则△ABC 的面积为_____.

2. 如图，在△ABC中， ∠ABC=45°， BD⊥AC于D点，已知：BD=6,AC=5,则CD=_____.

答案：
1. 6分析：参考例题做法，则此时四边形A D1 D3 D2为正方形，利用△BD3C为直角三角形，根据勾股定理有, B D3= D2D3- B D2=AD-BD=AD-3, C D3= D1D3- C
D1=AD-CD=AD-3,可求得.

2. 2或3分析：参考例题做法，则此时四边形B D1 D3 D2为正方形，利用△BD3C为直角三角形，根据勾股定理有, A D3= D2D3- A D2=BD-AD=6-(AC-CD)=1+CD, C D3= D1D3- C D1=BD-CD,可求得或.