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3.5 圆周角(2)
在同圆或等圆中，等弧或同弧所对的圆周角相等，相等的圆周角对的弧也相等.要特别注意同圆或等圆这个条件．
1.如图所示，已知在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的度数为(B). A.43° B.35° C.34° D.44° （第1题）（第2题）(第3题) 2.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E是上任一点，则∠DEC的度数是(B). A.30° B.45° C.60° D.80° 3.如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为(D). A.1 B.2 C.2 D. 4.已知在半径为2的⊙O中，圆内接△ABC的边AB=2，则∠C的度数为(C). A.60° B.30° C.60°或120° D.30°或150° 5.如图所示，OB是⊙O的半径，AB=OB，直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点，连结PA，则∠PAB的度数可以是 70° (写出一个即可). (第5题)(第6题) （第7题） 6.如图所示,⊙P经过点A(0，)，O(0，0)，B(1，0)，点C在第一象限的上，则∠BCO= 30° ． 7.如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF= 15° . 8.如图所示，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°． (1)求∠EBC的度数． (2)求证：BD=CD． (第8题) （第8题答图） 【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°.∴∠EBC=22.5°. (2)如答图所示，连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴BD=CD. (第9题) 9.如图所示，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，点B正好落在圆上的点E处． (1)求证：AD过圆心． (2)若∠C=38°，求∠BAE的度数． 【答案】 （第9题答图） (1)如答图所示，连结BE，BE交AD于点F.由题意得∠AFB=∠AFE=90°，BF=EF.∴AD垂直平分BE.∴AD过圆心. (2)由题意得AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=∠C=38°.∴∠BAE=104°. 10.如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E． (第10题) (1)求证：DE=BF． (2)若∠DAB=60°，AB=6，求△ACD的面积． 【答案】(1)∵，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB.∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF.∴Rt△CED≌Rt△CFB.∴DE=BF. (2)∵CE=CF，∠CAE=∠CAB，∴△CAE≌△CAF.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵∠DAB=60°，AB=6，∴BC=3.∵CF⊥AB，∴∠FCB=30°.∴CF=，BF=.∴S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB=×(AF-BF)×CF= (AB-2BF)×CF=.
11.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为点E，连结BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为(C). A.50° B.60° C.80° D.90° （第11题）(第12题) （第13题） （第13题答图） 12.如图所示，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是(C). A.45° B.15° C.30° D.22.5° 13.已知在⊙O中，所对的圆心角∠AOB=108°，点C为⊙O上的动点，以AO，AC为边构造AODC.当∠A= 27 °时，线段BD最长. 【解析】如答图所示，连结OC，延长AO交⊙O于点F，连结DF.∵四边形ACDO是平行四边形，∴∠DOF=∠CAO，DO=AC.∵OF=AO，∴△DOF≌△CAO.∴DF=OC.∴点D的运动轨迹是以点F为圆心、OC为半径的圆.∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大.∵∠AOB=108°，∴∠FOB=72°.∵OF=OB，∴∠OFB=54°.∵FD′=FO，∴∠FOD′=∠FD′O=27°.∴∠C′AO=∠FOD′=27°. 14.如图所示，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= 2 ． (第14题)(第15题)(第16题) 15.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则四边形ADBC的面积为 9+4 ． 16.如图所示，过D，A，C三点的圆的圆心为点E，过B，E，F三点的圆的圆心为点D，如果∠A=63°，那么∠B= 18° ． (第17题) 17.如图所示，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于点H． 求证：AC⊥BH． 【答案】 （第17题答图） 如答图所示，连结AD.∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC.∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°.∴∠DAC+∠DCA=90°.∴∠EBC+∠DCA=90°.∴∠BGC=90°.∴AC⊥BH. 18.已知等边三角形ABC内接于⊙O，点P是上的一点(端点除外)，延长BP至点D，使BD=AP，连结CD，PC． (第18题) (1)若AP过圆心O，如图1所示，请你判断△PDC是什么三角形，并说明理由． (2)若AP不过圆心O，如图2所示，△PDC又是什么三角形？为什么？ 【答案】(1)△PDC为等边三角形.理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC. ∵∠PAC=∠PBC，AP=BD，∴△APC≌△BDC.∴PC=DC.∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°， ∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°.∴∠PBC=∠PAC=30°∠BCP=∠BAP=30°.∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°.∴△PDC为等边三角形. (2)△PDC仍为等边三角形.理由如下：由(1)得PC=DC.∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC，∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°.∴△PDC为等边三角形.
（第19题） 19.【盐城】如图所示，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上.点D在AB上，若∠ACB=70°，则∠ADB= 110 °. 20.【安徽】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连结AE. (1)求证：四边形AECD为平行四边形. (2)连结CO，求证：CO平分∠BCE. （第20题） （第20题答图） 【答案】(1)由圆周角定理得∠B=∠E，又∠B=∠D，∴∠E=∠D.∵CE∥AD，∴∠D+∠ECD=180°.∴∠E+∠ECD=180°.∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形. (2)如答图所示，作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N.∵四边形AECD为平行四边形，∴AD=CE. 又AD=BC，∴CE=CB.∴OM=ON.又OM⊥BC，ON⊥CE，∴点O在∠BCE的平分线上.∴CO平分∠BCE.
21.如图1所示，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． (1)证明：B，C，E三点共线． (2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM． (3)如图2所示，将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1，若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （第21题） 图1图2（第21题答图） 【答案】(1)∵AB是直径，∴∠BCA=90°.∵等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA=∠DCE=90°.∴∠BCA+∠DCE=180°.∴B，C，E三点共线. (2)如答图1所示，连结BD，AE，ON，延长BD交AE于点F.∵∠ABC=45°,∴CB=CA.∵CD=CE, ∴Rt△BCD≌Rt△ACE.∴BD=AE，∠EBD=∠CAE.∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE.∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，O为AB的中点，∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，OM∥AE.∴ON=OM，ON⊥OM.∴△ONM为等腰直角三角形.∴MN=2OM. (3)成立.理由如下：如答图2所示，连结BD1，AE1，ON1.∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1，∴∠BCD1=∠ACE1.∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1.与(2)同理可证△ON1M1为等腰直角三角形，∴M1N1=OM1.
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