5月开封市高三数学第三次模拟考试卷理有答案.docx

高三数学试题（理科） 一、选择题 1. 已知集合A={x|y=lg(1-x)}，B={y| }，则 A． B． C． D． 【答案】D 2.下面是关于复数 的四个命题： ； ； ； .其中真命题为( B ) A. B. C. D. 3.已知 ，则 ( C ) A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则 （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 【答案】C 5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2・a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为 ，则S5＝( C ) A. 35 B. 33 C. 31 D. 29 6. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ， 。）（ B ） A．4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
7.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　C　) A.43 B．2 C.83 D.1623
8.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B
8. 设函数 ， ，若实数 满足 ，则（　　）D A． B． C． D． 9.设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 两点，过 分别作AB，AC的垂线交于 ，若 到直线 的距离不小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（ C ） A. B. C. D. 10.
11. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ B ） A． B．2 C．8 D．6
12. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，若对于任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为（ B ） A． B． C． D． 二、填空题 13.已知非零向量 的夹角为 ，且 ，则 . 14.若 满足 ，则 的最大值为 .2 15.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9、0、2、1、5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 .80 16.设数列 是首项为0的递增数列， ，满足：对于任意的 总有两个不同的根，则 的通项公式为______ _____． 三、解答题 17. 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ，求 周长的取值范围. 解：（1） ， 由已知得： ， 化简得： ， ， ， （2）在 中，由正弦定理得： ， 记 周长为 ， 化解得： ， 周长 综上所述： 周长的取值范围 .
18.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， ，二面角 ,点 为线段 的中点，点 在线段 上．
（Ⅰ）平面 平面 ； （Ⅱ）设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ， 试确定点 的位置，使得 ．
解：（Ⅰ）∵ ， ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，-----3分 又 平面 ，∴平面 平面 ． ………………5分 （Ⅱ）过 作 交 于点 ，则由平面 平面 知， 平面 ，故 两两垂直，以 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 ， ………………7分 ∵ 平面 ， , 则 ， ， ， ，又 为 的中点， 设 ，则 ， ， ， ．…………8分 设平面 的法向量为 ， 则 ∴ 取 ，可求得平面 的一个法向量 ，…………9分 设平面 的法向量为 ，则 所以 取 ． …………10分 ∴ ，解得 ∴当 时满足 ． ………………12分
19.某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。 （Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台， ）的函数解析式 ； （Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表： 周需求量n 18 19 20 21 22 频数 1 2 3 3 1 以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望. 解：（I）当 时， ---2分 当 时， ------------4分 所以 ------------------------5分 （II）由（1）得 --------------------------6分 -----------------------7分 -------------9分 的分布列为
20.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， 为分别为左、右焦点，过 的直线交椭圆 于 两点，且 的周长为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设过点 的直线交椭圆 于不同两点 ， 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围. 解：（Ⅰ）∵ ∴ 又 ，所以椭圆方程是 …………………………4分 （Ⅱ）设 N(x,y)，AB的方程为 由 整理得 . 由 ，得 . ∴ 则 , 由点N在椭圆上，得 化简得 …① ………8分 又由 即 将 ， 代入得 化简，得 则 ,∴ ② 由①，得 ,联立②，解得 ∴ 或 ………………………12分 21.已知函数 在 处的切线与直线 垂直. （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）函数 ，若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围； （Ⅲ）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值. 解：（Ⅰ）∵ ∴ ∵切线与直线 垂直，∴ ∴ ………………2分 （Ⅱ）∵ ∴ ………………………………3分 由题知 在 上有解 ∵ ∴设 而 ，所以要使 在 上有解，则只需 即 ，所以 的 取值范围为 .………………………………5分 （Ⅲ）∵ 令 ， 得 ∵ 是函数 的两个极值点 ∴ 是 的两个根 ∴ ， … ………………………………………6分 …………8分 令 ，则 ∵ ∴ 又 ，所以 ， 所以 整理有 ，解得 ∴ …………… ……………………………11分 而 ，所以 在 单调递减 故 的最小值是 .…………………………12分
22.（本题满分10分） 已知在直角坐标 系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l经过定点 ，倾斜角为 ． （Ⅰ）写出直线l的参数方程，将圆锥曲线C的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，到到曲线 写出 标准方程； （Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交 于A，B两点，求 的值． 解：（Ⅰ） l经过定点 ，倾斜角为 直线l的参数方程为 （ 为参数）……………………2分 ，且 ， 圆锥曲线C的标准方程为 …………………………………………4分 （Ⅱ）把直线 的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得 ①…………………………………………………………6分 设 是方程①的两个实根，则 ,…………………………………………8分
23.已知函数 ． （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若不等式 ，对任意的实数 恒成立，求实数 的最小值． 解：（Ⅰ） 的解集为 . （Ⅱ） 当 时， ，令 当且仅当 时， ， 当 时，依题意知 ， 综上所述， 的最小值为3.

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