高中数学竞赛正弦定理与余弦定理教案.doc

第23讲　正弦定理与余弦定理
本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系．三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用．
A类例题
例１　在中，分别是角的对边，设．求的值．（１９９８年全国高考卷）
分析　化角为边转化为三角关系处理．
解　由正弦定理及角变换求解．由，
得　．再由三角形内角和定理及得
，
所以　，
，
又，代入到中得
，由得，
从而，所以．
例２．已知的三个内角满足：，
，求的值．（１９９６年全国高考卷）
分析　通过角换元，利用两角和差公式得方程求值．
解 由题设知，，设，则，可得代入条件中得

展开得，
化简得，
即，从而求出即．
例３ 在中，已知，边上的中线，求的值．（２００５湖北高考卷）
分析　用坐标和向量方法求解．
解　以为原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点在第一象限．
由，得．
设，则，由求出（另一负值舍去）．于是由数量积得
，所以．
情景再现
１．在中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且．
（１） 求的值；
（２） 设，求的值．（２００５年全国高考卷Ⅲ）
２．已知在中，
，，求角的大小．
B类例题
例４　内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于点，求的值．（２００５年全国高中数学联赛）
分析　用正弦定理化边为角转化为三角式处理．
解 如图连接，则，
故，
同理，，
代入原式得
．
例５　在中，记，若，
求的值．（１９９９年全国高中数学联赛）
分析　综合运用正余弦定理，边角关系相互转化求解．
解 由已知得，又由余弦定理，得
，所以，
所以
，故．
情景再现
３．在中，求证：
．
C类例题
例６．设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证
（１）；
（２）；
（３）．
分析　利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证．
证明（１）由定比分点的向量形式得
，
由共线得，
即，又，
所以　　　　　　　　　　　　图１
即，由正弦定理可得
．
（２）由，得，由定比分点公式的向量形式有．
又．下面求，，，
所以．
由得
．所以代入即得证．
（３）由（２）知，
所以，
由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得．
例７　在非直角中，边长满足．
（１） 证明：；
（２） 是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．（２００４年河南省高中数学联赛预赛）
分析　（１）化边为角进行三角式的变形；（２）运用结构特征构造函数．
证明　（１）由得，和差化积得

因为，所以有，
展开整理得，
故．
（２）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与
之间的关系．
由及半角公式得，
对其展开整理得

即　　，
即，即
与原三角式作比较可知存在且．
例８ 在非钝角中，，分别是的外心和内心，且，求．
分析　化边为角，利用三角形中的几何关系求值．
解　由已知条件及欧拉公式得，其中分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得

结合正弦定理消去边和得
，
又，
代入并分解因式得　
即或，即或，
经验证这两个值都满足条件．
情景再现
４．在中，求证
．
习题
１．在中，，且有，求及的面积．
２．在中，，求角．
３．　已知圆内接四边形的边长分为，，求四边形的面积．（２００１年全国高考卷）
４．在中，若等于边上的高，求的值．
５．已知锐角三角形ABC中，
（１）求证：；
（２）设AB=3，求AB边上的高.
６．在中，，求内切圆的半径．
７．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且．
（１）求角C的大小；
（２）若，试求sin（A-B）的值．
８．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若

（１）求角A的大小；
（２）若，求b和c的值．
９．已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，
（1）求向量；
（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.
１０．如图在等边三角形中，为中心，过的直线交于交于，求的最大值和最小值．
１１．在中，
已知，求的三个内角的大小．
１２．中是钝角，三边长均为整数，求周长的最小值．
本节 “情景再现”解答：
１．解　化弦变形和余弦定理求角．
（１）由得，
由得，，于是
．
（２）由得，又所以，即．由余弦定理，
即，所以，即．
２．解　消元化简．由消去角得
，
即，
即，从而有，即．
所以，再消去角得，
即，．
最后角．
３．证明　由正弦定理化边为角．

，同理，
，上面三式相加即得证．
４．证明　由正弦定理得
即，①
将①式左边分子分母同乘以得
,即，
同理可得，
，三式相加即得证．
“习题”解答：
１．解　由

得，又，从而．
所以，由正弦定理，得
，，从而面积是．
２．解　化边为角为，
即，
所以，
即，
即，
由得，由三角形内角的范围可知只能有，所以，从而．
３．解　利用余弦定理构造等量关系求角的三角函数值．　
如图，连接，则有四边形的面积

由，得，从而四边形的面积．
由余弦定理，在中
，
同样在中
，[所以，及，
求得，，所以．
４．解　边上的高，故，化边为角即
，

整理得，
即，从而．
５．解　（１）证明：

所以
（２），
即 ，将代入上式并整理得

解得，舍去负值得，
设AB边上的高为CD.
则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.
６．解　由得，又由余弦定理得，即，从而是直角三角形．
又得，所以．
７．解（１）由得
，又由A+B+C=π，将上式整理得
，即(2cosC-1)(cosC+1)=0
∴或cosC=-1（舍去）　 由0<C<π，得．
（２）设△ABC外接圆半径为R，由
有，即
∴
又∴∴．
８．解（１）在△ABC中，由已知有：

即 ，（舍负） ．
（２）由得 即
又，代入上式得：
由，得： 或
９．解（1）设=（x,y），则且
∴解得
（2）.
∴
∴
=1+
∴ ∴
１０．解　设，
在、中分别得，，
所以，
由角的范围可知，所以其最大值是，最小值为．
１１．解　构造方程求解．
在中，有，
因为

从而求得，
所以是方程
即的三个根．
由得的值分别是，从而三个内角为．
１２．解　利用正余弦定理及整数的性质求解．
且是有理数，
令，由，故．
又，
故是整数，又，故为整数，由知，
再由，得故．
，故，
即．即周长的最小值为．此时
，由余弦定理求得，故，即满足，又即，从而角是钝角，满足条件．
故周长的最小值是，此时