高中数学竞赛正弦定理与余弦定理教案.doc

第23讲正弦定理与余弦定理本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用A类例题例在中，分别是角的对边，设求的值（年全国高考卷）分析化角为边转化为三角关系处理解由正弦定理及角变换求解由，得再由三角形内角和定理及得，所以，又，代入到中得，由得，从而，所以例已知的三个内角满足：，求的值（年全国高考卷）分析通过角换元，利用两角和差公式得方程求值解 由题设知，设，则，可得代入条件中得展开得，化简得，即，从而求出即例 在中，已知，边上的中线，求的值（湖北高考卷）分析用坐标和向量方法求解解以为原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点在第一象限由，得设，则，由求出（另一负值舍去）于是由数量积得，所以情景再现在中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（） 求的值；（） 设，求的值（年全国高考卷）已知在中，求角的大小B类例题例内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于点，求的值（年全国高中数学联赛）分析用正弦定理化边为角转化为三角式处理解 如图连接，则，故，同理，代入原式得例在中，记，若，求的值（年全国高中数学联赛）分析综合运用正余弦定理，边角关系相互转化求解解 由已知得，又由余弦定理，得，所以，所以，故情景再现在中，求证：C类例题例设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是求证（）；（）；（）分析利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证证明（）由定比分点的向量形式得，由共线得，即，又，所以图即，由正弦定理可得（）由，得，由定比分点公式的向量形式有又下面求，所以由得所以代入即得证（）由（）知，所以，由是三角形的重心有得代入并利用：整理即得例在非直角中，边长满足（） 证明：；（） 是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由（年河南省高中数学联赛预赛）分析（）化边为角进行三角式的变形；（）运用结构特征构造函数证明（）由得，和差化积得因为，所以有，展开整理得，故（）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与之间的关系由及半角公式得，对其展开整理得即，即，即与原三角式作比较可知存在且例 在非钝角中，分别是的外心和内心，且，求分析化边为角，利用三角形中的几何关系求值解由已知条件及欧拉公式得，其中分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得结合正弦定理消去边和得，又，代入并分解因式得即或，即或，经验证这两个值都满足条件情景再现在中，求证习题在中，且有，求及的面积在中，求角已知圆内接四边形的边长分为，求四边形的面积（年全国高考卷）在中，若等于边上的高，求的值已知锐角三角形ABC中， （）求证：； （）设AB=3，求AB边上的高.在中，求内切圆的半径在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且（）求角C的大小；（）若，试求sin（A-B）的值在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若（）求角A的大小；（）若，求b和c的值已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=2， （1）求向量； （2）若，其中A、C是ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.如图在等边三角形中，为中心，过的直线交于交于，求的最大值和最小值在中，已知，求的三个内角的大小中是钝角，三边长均为整数，求周长的最小值本节 “情景再现”解答：解化弦变形和余弦定理求角（）由得，由得，于是（）由得，又所以，即由余弦定理，即，所以，即解消元化简由消去角得，即，即，从而有，即所以，再消去角得，即，最后角证明由正弦定理化边为角，同理，上面三式相加即得证证明由正弦定理得即，将式左边分子分母同乘以得,即，同理可得，三式相加即得证“习题”解答：解由得，又，从而所以，由正弦定理，得，从而面积是解化边为角为，即，所以，即，即，由得，由三角形内角的范围可知只能有，所以，从而解利用余弦定理构造等量关系求角的三角函数值如图，连接，则有四边形的面积由，得，从而四边形的面积由余弦定理，在中，同样在中，所以，及，求得，所以解边上的高，故，化边为角即，整理得，即，从而解（）证明：所以（）， 即 ，将代入上式并整理得 解得，舍去负值得， 设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.解由得，又由余弦定理得，即，从而是直角三角形又得，所以解（）由得，又由A+B+C=，将上式整理得 ，即(2cosC-1)(cosC+1)=0 或cosC=-1（舍去） 由0C，得（）设ABC外接圆半径为R，由有，即又解（）在ABC中，由已知有： 即 ，（舍负） （）由得 即 又，代入上式得：由，得： 或解（1）设=（x,y），则且解得 （2）. =1+ 解设，在、中分别得，所以，由角的范围可知，所以其最大值是，最小值为解构造方程求解在中，有，因为从而求得，所以是方程即的三个根由得的值分别是，从而三个内角为解利用正余弦定理及整数的性质求解且是有理数，令，由，故又，故是整数，又，故为整数，由知，再由，得故，故，即即周长的最小值为此时，由余弦定理求得，故，即满足，又即，从而角是钝角，满足条件故周长的最小值是，此时