题库高一数学课堂训练23北师大版.doc

第2章 第3节

时间：45分钟　满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. [2012·山东烟台模拟]幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为(　　)
A. 1　　　　　　　　 B. 2
C. 3 D. 4
答案：B
解析：设幂函数f(x)＝xα，把(4，)代入得α＝－，
则f(x)＝x－，f()＝()－＝2.
2. [2012·济南调研]如图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　)

A. ①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B. ①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C. ①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D. ①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
答案：B
解析： 可以根据图像对应寻求函数.故应选B.
3. [2012·肇庆一模]已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)
A. [－1,1]　　　　　　 B. [－2,2]
C. [－2,1] D. [－1,2]
答案：A
解析：由得－1≤x≤0；由得
0<x≤1，所以－1≤x≤1.故选A.
4. [2012·温州模拟]若函数f(x)＝x2＋ax＋b有两个不同的零点x1，x2，且1<x1<x2<3，那么在f(1)，f(3)两个函数值中(　　)
A. 只有一个小于1 B. 至少有一个小于1
C. 都小于1 D. 可能都大于1
答案：B
解析：设f(x)＝(x－m)2＋n，由题意可知1<m<3，
n<0.
当m＝2时，f(1)<1，f(3)<1.
当m≠2时，f(1)与f(3)中至少有一个小于1.故选B.
5. [2012·福建质检]设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，0] B. [2，＋∞)
C. (－∞，0]∪[2，＋∞) D. [0,2]
答案：D
解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，
则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]，
所以a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝1.
所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
6. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是(　　)
A. f()<f(1)<f()
B. f(1)<f()<f()
C. f()<f(1)<f()
D. f()<f()<f(1)
答案：A
解析：由f(x＋2)是偶函数可知函数f(x)＝x2＋ax＋b关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)，又该函数图像开口向上，当x>2时单调递增，故f()<f(3)＝f(1)<f()，故答案为A.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 当x∈(0,1)时，y＝xp(p∈Q)的图像在直线y＝x的上方，则p的取值范围________.
答案：[0,1)
解析：结合幂函数y＝xα在第一象限的图像，
当0<α<1时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数，
且x∈(0,1)时，图像在y＝x上方，
x∈(1，＋∞)时，图像在y＝x下方.
又p＝0时，y＝x0＝1(x≠0)也满足，
故0≤p<1.
8. 若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
答案：[0，]
解析：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时，函数是二次函数，对称轴为x＝－≤－2，
由题知m>0，∴0<m≤.综上0≤m≤.
9. [2012·六地四校联考]当x∈[0,2]时，函数f(x)＝ax2＋4(a－1)x－3在x＝2时取得最大值，则a的取值范围是________.
答案：[，＋∞)
解析：∵x＝2时，f(x)取得最大值，
∴f(x)≤f(2)在[0,2]上恒成立，即ax2＋4(a－1)x－3≤4a＋8(a－1)－3，整理得a(x－2)(x＋6)≤4(x－2)，
当x＝2时恒成立，当x∈[0,2)时，a≥，
∴a≥()max＝.
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10.幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，求m的值.
解：∵函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，函数为y＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数.
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，函数为y＝x0＝1(x≠0)，在(0，＋∞)上是常函数.∴m＝2.
11. 求下列二次函数的解析式：
(1)图像顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.
解：(1)法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意，得解得
所以y＝3x2－12x＋11.
法二：(顶点式)设y＝a(x－2)2－1.
将(0,11)代入可得：11＝4a－1，于是a＝3，
所以y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11.
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，可知c＝1.
而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，
可得2a＝2，a＋b＝0.
因而a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
12. [2012·辽宁沈阳模拟]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，设f(x)＝x的两个实根为x1，x2.
(1)如果b＝2且|x2－x1|＝2，求a的值；
(2)如果x1<2<x2<4，设函数f(x)的对称轴为x＝x0，求证：x0>－1.
解：(1)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x＋1(a>0)，方程f(x)＝x为ax2＋x＋1＝0.
|x2－x1|＝2⇒(x2－x1)2＝4⇒(x1＋x2)2－4x1x2＝4.
由韦达定理可知，x1＋x2＝－，x1x2＝.
代入上式可得4a2＋4a－1＝0，
解得a＝，a＝(舍去).
(2)∵ax2＋(b－1)x＋1＝0(a>0)的两根满足x1<2<x2<4，
设g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1，
∴即⇒
∴2a－b>0.
又∵函数f(x)的对称轴为x＝x0，
∴x0＝－>－1.