初中数学竞赛辅导资料例题含答案②初二竞赛资料1728.doc

初中数学竞赛辅导资料（17）奇数偶数内容提要1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，02，不能被2整除的整数是奇数，如1，1，3。如果n 是整数，那么2n是偶数，2n1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3 奇数偶数的运算性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数奇数奇数奇数奇数偶数偶数，偶数偶数偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。例题例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k为整数，那么2k1是任意奇数，（2k1）214k24k114k(k1)k(k1)是两个連续整数的积，必是偶数4k(k1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数例2 已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0求证：n是4的倍数证明：设n个整数为x1,x2,x3,xn 根据题意得 如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。所以n是4的倍数。例3己知：a,b,c都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)例4求方程x2y260的正整数解解：(x+y)(xy)=60，60可分解为：160，230，320，415，512，610左边两个因式(x+y)，(xy)至少有一个是偶数因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且xy0,适合条件的只有两组解得方程x2y260的正整数解是练习171 选择题设n是正整数，那么n2+n-1的值是（）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数求方程85x324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（）（A）（B）（C）（D）2 填空：能被3，5，7都整除的最小正偶数是能被9和15整除的最小正奇数是最大的三位数是12320012002的和是奇数或偶数？答正整数123420012002是奇位数或偶位数？答能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答3 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由5 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除6 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7 求方程（2xy2）2（x+y+2）2=5的整数解8 方程19x+78y=8637的解是( )(A) (B) (C) (D)9. 十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值 初中数学竞赛辅导资料（18）整式的整除内容提要1 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。2 根据被除式除式商式余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)p(x)q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如x23x4（x4）（x +1）,x23x4能被（x4）和（x +1）整除。显然当x=4或x=1时x23x40，3 一般地，若整式f(x)含有x a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则xa能整除f(x)。4 在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。例题例1己知x25x+m能被x2整除，求m 的值。 x3解法一：列竖式做除法（如右）x2x25x+m由余式m60得m=6 x22x解法二： x25x+m 含有x2 的因式 3x+m 以x=2代入 x25x+m 得 3x+6 2252 m=0 得m=6 m6解法三：设x25x+m 除以x2 的商是x+a(a为待定系数) 那么x25x+m(x+a)(x2)x2+(a-2)x2a根据左右两边同类项的系数相等，得解得（本题解法叫待定系数法）例2 己知:x45x3+11x2+mx+n能被x22x+1整除求：m、n 的值及商式解：被除式除式商式（整除时余式为0）商式可设为x2+ax+b得x45x3+11x2+mx+n（x22x+1）（x2+ax+b）x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 解得m=11,n=4,商式是x23x+4例3 m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz0)能被x+y+z整除?解：当x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z0，得x=（y+z），代入原式其值必为0即（y+z）3+y3+z3myz(y+z)=0把左边因式分解，得yz(y+z)(m+3)=0, yz0, 当y+z=0或m+3=0时等式成立当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。例4分解因式x3x+6 分析：为获得一次因式，可用x=1，2，3，6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=2时值为0，可知有因式x2，（以下可仿例1）解：x3x+6（x2）（x22x+3）练习181 若x3+2x2+mx+10=x3+nx24x+10, 则m=_, n=_2 x34x2+3x+32除以x+2的余式是，x4x2+1除以x2x2的余式是3 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m4 己知x4+ax3+bx16含有两个因式x1和x 2,求a和b的值5 己知13x3+mx2+11x+n能被13x26x+5整除,求m、n及商式6 己知ab0,m取什么值时，a36a2b+mab2-8b3有因式a2b.7 分解因式：x3-7x+6, x3-3x2+4, x3-10x-38.选择题x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（）(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z)(D) (x-y)(y+z)(x+z)n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：x4+x2+1a3+b3+c33abc分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2 （a+b）3+c33ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)例2因式分解：x311x+20a5+a+1 分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x311x+20x316x+5x+20x（x216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x24x+5) 分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+ a2+a+1=a2(a1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a2+1)2 运用因式定理和待定系数法定理：若x=a时，f(x)=0, 即f(a)=0，则多项式f(x)有一次因式xa若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例3因式分解：x35x2+9x62x313x2+3分析：以x=1,2,3,6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2时，x35x2+9x60，原式有一次因式x 2，x35x2+9x6（x 2）（x23x+3,）分析：用最高次项的系数2的约数1，2分别去除常数项3的约数1，3得商1，2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1解：x=时，2x313x2+30，原式有一次因式2x1，设2x313x2+3（2x1）（x2+ax3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a113，a=62x313x+3（2x1）（x26x3）。例4因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20解：2x2+3xy9y2（2x3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3ya）（x+3yb），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项 的系数，得解得2x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)这是关于x的二次三项式常数项可分解为（3y4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y2+3y20)mx（3y4）nx+（3y+5）比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12x2+3xy9y2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)练习191 分解因式：x4+x2y2+y4 x4+4 x423x2y2+y42. 分解因式： x3+4x29 x341x+30 x3+5x218 x339x703. 分解因式：x3+3x2y+3xy2+2y3 x33x2+3x+7x39ax2+27a2x26a3 x3+6x2+11x+6a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x37x+10 x311x2+31x21 x44x+3 2x35x2+15. 分解因式：2x2xy3y26x+14y8 （x23x3）（x2+3x+4）8（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48（2x7）(2x+5)(x29)916分解因式： x2y2+1x2y2+4xy x2y2+2x4y3x4+x22ax a+1 （x+y）4+x4+y4 （a+b+c）3（a3+b3+c3）7. 己知：n是大于1的自然数求证：4n2+1是合数8己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值初中数学竞赛辅导资料（20）代数恒等式的证明内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种1从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。3证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边右边0可得左边右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，例题例1求证：3 n+22n225 n+23 n2 n10（5 n+1+3 n2 n-1） 证明：左边255 n+1（3 n+2+3 n）（2 n+22 n） 105 n+13 n(32+1)2 n-1(232)10（5 n+1+3 n2 n-1）=右边又证：左边25 n+23 n（321）2 n(22+1) 25 n+2103 n52 n右边105 n+1+103 n102 n-1 25 n+2103 n52 n左边右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：a3+b3+c33abc（a+b+c）（a2+b2+c2abacbc）(见19例1):a+b+c=0a3+b3+c33abc0即a3+b3+c3=3abc又证：:a+b+c=0a=（b+c）两边立方 a3=（b3+3b2c+3bc2+c3） 移项 a3b3+c33bc(b+c)3abc再证：由己知a=bc 代入左边,得（bc）3+ b3+c3（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 3bc(b+c)=3bc(a)3abc例3 己知a+,abc求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b24ac=0 证明：设:ax2+bx+c（mx+n）2 ， m,n是常数那么:ax2+bx+cm2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质得: b24ac（2mn）24m2n2=0练习201 求证： (a+b+c)2+(a+b-c)2(a-b-c)2(a-b-c)28ab （x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 (x-2y)x3(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 3 n+2+5 n+23 n5 n=24(5 n+3 n-1) a5n+a n+1=(a3 na2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0 求证：a3+a2c+b2c+b3=abc a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+35.己知：xyz=0 求证： x3+8y3=z36xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：ab=bc 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc0，ab+bc=2ac 求证：9己知： 求证：x+y+z=010.求证：（2x3）（2x+1）(x21)1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc初中数学竞赛辅导资料（21）比较大小内容提要1 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当ab0时，ab；当ab0时，a=b；当ab0时ab。2 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。3 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。4 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a20，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如(ab)20，a2+10，a2+a+1=(a+)2+0a20，（a2+a+2）0当ab时，（ab）20例题例1 试比较a3与a的大小解：a3a=a(a+1)(a1) a3a=0,即a3=a以1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号： 当a1时，a+10,a0,a10（3个负因数）a3a0即a3a 当1a0时a0,a10（2个负因数） a3a0即a3a当0a1时，a10（1个负因数） a3a0即a3a当a1时，没有负因数， a3a0即a3a综上所述当a=0,1，1时， a3=a当a1或0a1时，a3a当1a0或a1时，a3a。（试总结符号规律）例2 什么数比它的倒数大？解：设这个数为x，则当并且只当x 0时，x 比它的倒数大，x 101以三个零点1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知当x1或1x0时，x比它的倒数大。例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲，t乙t甲t乙x0，y0t甲t乙0答：乙先到达B地例4己知abc，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca证明：a2+b2+c2ab+bc+ca2（a2+b2+c2ab+bc+ca）（2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca）（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2abc，（a-b）20，(b-c)20，(c-a)20a2+b2+c2ab+bc+ca又证：ab，（a-b）20 a2+b22ab(1)同理b2+c22bc(2) c2+a22ca(3)(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca即a2+b2+c2ab+bc+ca例5比较 3（1a2+a4）与(1+a+a2)2的大小解：3（1a2+a4）(1+a+a2)23（1a+a2）2-2a-2a2-2a3(1+a+a2)22(1+a+a2)26a(1a+a2) =2(1a+a2)( 1a+a2-3a)=2(1a+a2)(1-a)21a+a2（0，(1-a)20当a=1时，3（1a2+a4）(1+a+a2)2 当a1时，3（1a2+a4）(1+a+a2)2 例6 解方程 解：以0.5,和2两个零点分为3个区间 当x-0.5时，(2x+1)(x-2)=4, 解得x=1当0.5x0,b0,且a+bbcd0且ab=cd， 试比较a+c与b+d的大小6 己知ab,xay+bx7 己知abc, xyaz+bx+cy ax+by+czaz+bx+cy(提示：可应用第6题的结论)8 己知ab0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例。ab1 a2b09.若a,b,c都是大于1的负数，（即1a,b,c0 (abc)21 a2-b2-c2-110.水池装有编号为的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下开放的水管号时间（小时）2156310问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：（1989年全国初中数学联赛题）初中数学竞赛辅导资料（22）分式内容提要1 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。(1)分式中，当B0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。2 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。例题例1x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？30-1-2解： 以零点2，1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）当x=1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；当x2, 1x3时，分式的值是正数（负因数的个数是偶数）当2x1, 0x1, xn= 求：x1x2x3x8的值 解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4 x5x6=x5=6 x7x8=x7=8x1x2x3x8=246 8=384例3.已知：100个自然数a1,a2,a3a100满足等式(n-2)an（n1）an-1+1=0 (2n100)并且a100=199 求：a1a2a3a100分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1= 可由a100求a99,a98解：a99=197 a98=195用同样方法求得a97=193, a96=191,a1=1a1a2a3a100135195197199104练习231. 已知a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an 那么a3=_,a4=_,a5=_,a6=_,a7=_2. 若a1=2m, an=则a2=_,a3=_,a4=_,a5=_,a1989a1990=_3. n为正整数，有递推公式an+1=an3，试用a1,n表示第n项an4. 已知a1=10, an+1=2an 求a105. 已知f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)6. 设x+y=a1, x2+y2=a2, xn+yn=an, xy=6, 则a2=a122b,有递推公式an+1=a1anban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6根据下列数据的特点，写出递推公式： a1=1, a2=4, a3=7, a4=10an=,an+1 a1=1, a2=3, a3=6, a4=10an=,an+17. n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。8. 平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。初中数学竞赛辅导资料（24）连续正整数的性质内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如312，793940，1115556。二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是9999910000190000（个）1. n位数的个数一般可表示为910n-1(n为正整数，1001)例如一位正整数从1到9共9个（9100），二位数从10到99共90个（9101）三位数从100到999共900个（9102）2.连续正整数从n 到m的个 数是mn+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是119从13到49的连续偶数的个数是1184. 从13到49能被3整除的正整数的个数是112从13到49的正整数中除以3余1的个数是113你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1. 123n（1n）（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2. 11131555（1155）759（从11到55有奇数123个）3. 11141753（1153）480（从11到53正整数中除以3余2的数的个数共115）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1. 123456789各数位上的数字和是（09）（18）（45）95452. 123499100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1各数位上的数字和是18501901五. 连续正整数的积从1开始的n个正整数的积123n记作n！，读作n的阶乘1. n个连续正整数的积能被n！整除，如111213能被123整除；979899100能被4！整除；a（a+1）(a+2)(a+n)能被（n+1）！整除。2. n！含某因质数的个数。举例如下： 12310的积中含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个其中422含两个质因数2增加了1个其中823含三个质因数2再增加2个 123130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，125，130均含质因数5暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个其中12553含三个5再增加2个积中含质因数5的个数是32例题例1. 写出和等于100的连续正整数解：1002504255201010其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：1213，1114，1015，916得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个20可由20，1921，1822得第二组连续正整数18，19，20，21，22。例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个两位数1099，共90个，用数码902180个三位数100999，共900个，用数码90032700个四位数10001990，共991个，用数码99143964个共用数码9180270039646853例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：123499100。问：它是一个几位数？