高中数学公式总汇理科适用.doc

高中数学公式总汇(理科适用)

一. 集合
1. 元素与集合： 集合与集合： 注意：
2、区分集合中元素的形式：如：—函数的定义域；
—函数的值域；
—函数图象上的点集
3. 交集： 并集：
补集：
4.
;

5. 集合的子集有个，真子集有个。

二. 命题
1. 四种命题：原命题：若A则B 逆命题：若B则A
逆否命题：若B则A 否命题：若A则B
原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致
命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P或┐Q”
2、注意命题的否定与它的否命题的区别:
命题的否定是；否命题是

注意：如 “若和都是偶数，则是偶数”的
否命题是“若和不都是偶数，则是奇数”
否定是“若和都是偶数，则是奇数”

3、若且;则p是q的充分非必要条件
q的充分非必要条件是p
q是p的必要非充分条件
p的必要非充分条件是q

三. 函数
1. 函数的三要素：定义域、对应法则、值域。（用于判断两个函数是否为同一函数）
2. 奇偶性：前提：定义域关于原点对称
偶函数 偶函数图象关于y轴对称
奇函数 奇函数图象关于原点对称
3. 单调性：、区间D ，
<时<(一致) 是D上的增函数在D上
<时>(相反) 是D上的减函数在D上
复合函数由同增异减判定其单调性
4. 周期性：若 ， 则
若， 则
若，则；
若，则.
类比“三角函数图像”得：
①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且周期为；
②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且周期为；
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且周期为；

5.对称性
① 奇函数关于原点对称,偶函数关于Y轴对称
② 满足条件的函数的关于直线对称。
③ 满足条件的函数的关于点对称
6. 幂的运算法则：

7. 对数运算性质：

8、常见函数
①一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;
②二次函数:一般式f(x)=ax2+bx+c( a≠0) ((对称轴) b=0偶函数;
顶点式f(x)=a(x-h)2+k; 顶点
双根式(零点式)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对称轴);
区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若
实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
③反比例函数:平移(中心为
④对勾函数(是奇函数,

⑤指数函数 (a>0，且a≠1）
当时 当时
x
y
0
1
x
y
0
1

⑥. 对数函数 (a>0，且a≠1，）
当时 当时
x
y
0
1
x
y
0
1

⑦.幂函数： (
常用的幂函数:,,,,,,,
9. 图象变换：

10.借鉴模型函数研究抽象函数 ：
①正比例函数型： ---------------；
②幂函数型： --------------，；
③指数函数型： ----------，；
④对数函数型： ---，；
⑤三角函数型： ----- 。

四. 导数
(1)导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；
(2)常见函数的导数公式:
① (c是常数)
②；特别地：
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧
⑨导数的四则运算法则：
⑩复合函数的导数：
(3)导数的几何物理意义：
表示过曲线上的点的切线的斜率。
V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
五．导数的应用：
① 求切线的斜率, 求切线方程。
②用导数研究函数的单调性
单调区间的求解过程：已知
（1）分析 的定义域;
（2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。
③求极值、求最值。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0；反之不一定
极值≠最值。
函数在区间上的最大值
函数在区间上的最小值

六 定积分
⑴定积分的定义：
⑵定积分的性质：① （常数）；
②；
③ （其中。
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：；
②求变速直线运动的路程：；
③求变力做功：。

七 ．数列
等差数列 等比数列
1、定义：
2、通项公式：
3、求和公式：

4、中项：
即 即
5、若，则 若，则
重要公式和方法：
① 由求或由判断数列类型：
② 用逐差法、累乘法求通项公式
③ 用裂项相消法求数列的前项和:
④ 用错位相减法求“差比数列”的前项和

八P（x,y）
x
y
o
α
.三角函数
1、任意角的三角函数
角α终边上任意一点P（x,y），设
则
2、同角关系：
3、诱导公式：

4、两角和差：

5、二倍角：

６、降幂公式

７、辅助角公式：
８、的图象性质：
（1）最小正周期：
（2）值域：
（3）增区间：
减区间：
（4）对称轴： 令
对称中心： 令
９、图象变换：
（左加右减）

10、解三角形
　　(1)三角形内角和定理：
(2)面积公式：
(3)正弦定理：
(4)余弦定理：涉及三边一角用余弦定理 根据已知角在以下公式中选用

九．平面向量：
1、向量的坐标：若，则
2. 向量的模:
3. 加法与减法的代数运算：
(1)．
(2)若=（）,=（）则=（）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，AC,BD相交于O
则两条对角线的向量=2=+, =－, =－
且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
4、运算律：＋=＋(加法交换律); +(+)=(+ )+ （加法结合律）;
·=· ()·=(·)=·() (＋)·=·+·．
切记：(数量积不满足结合率)
5、常用公式： 设，
（1）
（2）,

（3）

(4)向量
(5)的坐标分别为（）,（）,
(6)三点共线的充要条件;
P，A，B三点共线；
(7)平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+ e2．

十. 不等式
1、不等式的性质：
⑴；
⑵
⑶ ；
⑷ ； ；
⑸；
（6）； 。
2. 不等式的解法：
（1）一元一次不等式
（2）一元二次不等式
（3）分式不等式：步骤：移项
→ 通分
→ 整理（x的系数化为正 , 分解因式）
→ 画数轴（标零值点,注空（实）心点）
→ 画线（奇穿偶不穿）
（4）绝对值不等式：

（5）指数、对数不等式：方法：保证真数大于0，化同底后根据单调性比较真数大小
3、均值不等式：
（1）
（2）求和的最小值：
要求：① ② ③当且仅当时取“=”
（3）求积的最大值：
要求：① ② ③当且仅当时取“=”

＋∞
－∞
0
0
x
y
0
k
k
十一 . 直线和圆
1、直线的倾斜角：
斜率：
已知 ，则

2、直线方程：
点斜式： 斜截式: 截距式:
两点式： 一般式： 其中，
3、直线的平行与垂直

//

⊥
4、到的角公式：
5、点到直线的距离：
6、用二元一次不等式表示平面区域：表示直线右边的区域
表示直线左边的区域 7、圆的方程： 标准方程： 圆心，半径
O
A
B
M
d
r
一般方程：
圆心 半径
圆的参数方程： 圆心，半径
求弦长: |AB|= 2

十二. 圆锥曲线
1. 椭圆
定义
I

II

图形

标准方程

参数方程

长轴短轴
、
焦距

离心率

关系式

焦点坐标

顶点坐标

准线方程

2. 双曲线
定义
I

II

图形

标准方程

实轴虚轴
、
焦距

离心率

关系式

焦点坐标

顶点坐标

准线方程

渐近线
方程

3. 抛物线
定义

图形

标准方程

离心率

焦点坐标

准线方程

4. 直线与圆锥曲线，弦长公式
联立 → 消元,整理得方程
判别式⊿=
→ 设
→韦达定理:

十三、立体几何
1. 常用定理:
①线面平行：; ;
②线线平行: ; ; ;
③面面平行: ; ;
④线线垂直: ; 所成角为900； (三垂线及其逆定理)
⑤线面垂直: ; ; ;
⑥面面垂直：二面角为900; ;
2、空间中的角：
（1）异面直线所成角：
法一： 作（找）平行直线构成相交直线
法二： 用向量法，转化为两直线方向向量的夹角
（2）线面角：直线与其在平面内射影所成的角
法一 ：作垂线找射影
法二：用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角

（3）二面角的平面角：由棱上一点出发在两个半平面内分别与棱垂直的射线所成的角

方法：定义法、三垂线法、垂面法
向量法，转化为两个半平面法向量的夹角
3. 空间距离:
① 异面直线间距离:找公垂线;
② 点到线距离: 直接法, 等面积法
③ 平行线与面间距离(两平行面间距离) 点到面距离:直接法、等体积法等
④ 点到面距离:
直接法 :用三垂线定理作垂线后再求
等体积法
向量法:
4. 表面积, 体积
长方体: 对角线长 表面积 体积
圆锥:
圆柱：；
圆台：S侧= ；
棱锥,棱柱的体积:
球的表面积、体积：

十四. 排列、组合和二项式定理
1、分类计数原理：
分步计数原理：
2、

3、二项式定理
（1）通项
（2）当n为偶数时，最大的二项式系数为
当n为奇数时，最大的二项式系数为、
（3）的展开式中，二项式系数之和
项的系数之和（令等于1得到）

十五 概率, 统计
1．互斥事件和对立事件：
并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；
并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；
互斥事件：若为不可能事件（），则事件A与B互斥；
对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

2．概率公式：
⑴ 互斥事件至少有一个发生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵ 等可能事件的概率：（古典概型）：；
⑶ 相互独立事件同时发生的概率：
⑷ 几何概型： ；
⑸ 条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
⑹ n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
(其中是一次试验中事件A发生的概率)
⑺ 离散性随机变量的分布列

P

其中,

方差
⑻ 二项分布: 设n次独立重复试验中事件A发生的次数为，则
(其中是一次试验中事件A发生的概率)

3．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：每个个体被抽到的概率为；
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
步骤：编号；分段；在第一段用简单随机抽样确定起始号；按规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
4．总体特征数的估计：
样本平均数：
样本方差：
样本标准差： 作用：估计总体的稳定程度

十六 复数
复数 复平面上的点
⑴
⑵复数的模
⑶共轭复数 与互为共轭
⑷z= a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0；
⑸z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；
⑹z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；
⑺a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
十七 几何证明常用定理
1. 三角形内角和=180
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
以下面5个式子任意2个为条件均可推出其他3个结论，即：
①是直径 ② ③
④ 弧弧 ⑤ 弧弧
3.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
同弧（等弧）上的圆周角相等
4. 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，∵四边形是内接四边形
∴

5. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
6. 弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角
即：在⊙中，

7. 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
9. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
即：在⊙中，∵、是割线
∴

十八 极坐标与直角坐标的互化
条件: 坐标原点与极点重合 , x轴的正半轴与极轴重合, 这时有:

十九 算法初步
1．程序框图：
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
in或r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式
赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句： ① IF 条件 THEN ② IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF
⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件