北师大版九年级下册数学全册教案.pdf

第一章直角三角形的边角关系本/章/整/体/说/课教学目标知识写技能1。经历探索直角三角形中边角之间关系，以及30,45,60角的三角函数值的过 程，发展观察、分析、发现问题的能力。2。理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.3。会求解含30,45，60角的三角函数值的问题。4。能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的 锐角.5.能够用锐角三角函数解直角三角形，发展推理能力和运算能力。6。能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力。7。体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.r过程寄知i.能够用锐角三角函数解直角三角形，发展推理能力和运算能力。2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力。3.通过探索学习，使学生经历“观察一分析一一发现一一运用”的过程，掌握直角三角 形边角之间的关系，进一步体会数形之间的联系。F座糠身.剑1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究，进一步激发学生学习图形中各个元素之 间关系的兴趣。2.能够运用锐角三角函数解直角三角形，进一步养成分析问题、解决问题的良好学习 习惯.*教材分析本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上，进一步探究直角三角形的边和角之 间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续。直角三角形中 边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般 来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题。通过直角 三角形中边角之间的关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系（边和角之间的关 系），把这种关系用数量的形式表示出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学 习也将为其他数学知识奠定基础。通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形 结合思想，体会数形结合的方法.4教学重难点重点1.三番函数及其有关的概念.2。特殊角的三角函数值的探究及应用。3。利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4。能够用锐角三角函数解直角三角形。5。能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1。探索直角三角形中边角之间关系和30,45,60角的三角函数值的过程.12。解决与直角三角形有关的实际问题.3。体会数、形之间的关系，掌握用数形结合思想分析问题和解决问题。&教学建议1。注重问题情境的创设。在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境，激发学生的学习兴趣，使学 生感受到数学与现实世界的联系。如通过梯子的情境问题，引出第一个三角函数一一正 切。对于这个问题，学生比较熟悉，而且属于开放性问题，直观上又容易判断。又如，在学 习特殊角的三角函数时，用学生熟悉的三角尺引入，使学生较快进入30,45,60角的 三角函数值的探索.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系，让他们学会有条理地思考 和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念？如何建立直角三角形中角和边 之间的关系？如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念？3。重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高。教学中应注重渗透数形结合的思想方法，引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出 数学思想方法。在形成正切概念的过程中，教师要给学生留有充分的时间，让学生利用前面 学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系，进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时，可以类比正切概念获得的过程，从数学的角度直接引入。这 样可以使学生从已学知识进行联想，加深对概念的理解，提升学生的思想水平。在解直角 三角形的过程中，要让学生体会计算过程所依据的算理，以及如何根据已知条件去探求结论 的思考过程。4。关注问题解决的教学过程.对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学 问题，帮助学生形成模型思想。另外，教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”：一是对一些术语（如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等）进行说明;二是对解决问题的策 略、问题的发现和提出等，都要提供一定的帮助与支持.5.精心设计实践活动的教学流程。对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活动,建议首先将学生分组，各组分头准备测量所需的仪器；其次，由学生自己设计活动报 告，教师给予必要的指导;再次，尽量安排那些学生比较熟悉，且易于开展的小组活动，并能 保证任务完成的质量；最后，在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动，同时应做 必要的记录.6。根据标准要求，把握好三角函数的定位.教学中要把握好三角函数的定位。教科书上虽然称“锐角4的正弦、余弦和正切都是 N4的三角函数”，但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们，也就是说没有研究 随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比 值是什么.教学中要把握好这个定位，切莫提高要求。课时划分1锐角三角函数2课时2 30,45,60角的三角函数 值1课时3三角函数的计算1课时4解直角三角形1课时5三角函数的应用1课时6利用三角函数测高1课时回顾与思考1课时课/时/教/学/详/案21锐角三角函数但教学目标广拓造技到1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程。2.理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明。3.能够运用t a n A,si n A,c os力表示直角三角形中两边的比.4。能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。F过程身第11.经历三个锐角三角函数的探索过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的数学思 想。j0 2.在探索锐角三角函数的过程中，初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性。F情第度与价值观1。通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程。2。让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦，从解决实 际问题中感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣.教学重难点【重点】1.理解锐角三角函数的意义。2。能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.第课时整体设.教学目标FW只写技能11.经历探索直角三角形中边角关系的过程。理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用t a n 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度 等，能够用正切进行简单的计算.3。理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系。F过程率第*11。体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题。提高解决 实际问题的能力.2。体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神.3情感态度与价值则1。积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。2。形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.黝教学重难点【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系。【难点】理解正切的意义，并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.E教学准备【教师准备】多媒体课件。【学生准备】1。自制4个直角三角形纸板。2。复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.教学过程91新课导入导入一：课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇 观，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场三大建筑之一，也是意大 利著名的标志之一，它从建成之日起便由于土层松软而倾斜。【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题 了。设计意图创设新颖、有趣的问题情境，以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴 趣,从而自然引出课题，并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔。导入二：课件出示：四个规模不同的滑梯4 B,C,D,它们的滑板长（平直的）分别为300 c m,250 c m,200 c m,200 c m;滑板与地面所成的角度分别为30,45,45,60.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高？设计意图利用学生所熟悉的滑梯进行引导，使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯 子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.4al新知构建过渡语 梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的呢？“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么 的？一、正切的定义（一）探究新知请同学们看下图，并回答问题.探究一:问题1课件出示：在下图中，梯子和砥哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法?算-翥（2.5 m小组讨论后展示结果：1组：梯子力合较陡.我们组是借助量角器量倾斜角，发现/ABO/EFD,根据倾斜角越 大,梯子就越陡,可以得到梯子较陡.师：哪组还有不同的判定方法？2组：我们也是认为梯子48较陡。我们组是分别计算461与肉的比，必与也的比，发 现前者的比值大，根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡，可以得到梯子28较 陡。3组：我们组的方法和1组的大致相同，借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过 作EGAB交外于G就可以清晰比较/ABC与/跖9的大小了.4组：我们组发现这两架梯子的高度相同，水平宽度越小，梯子就越陡，所以我们也认 为梯子49较陡.探究二：问题2课件出示：在下图中，梯子2月和斯哪个更陡？你是怎样判断的？学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可。5问题3课件出示：在下图中，梯子48和砥哪个更陡？你是怎么判断的？多给学生思考和讨论的时间.代表发言：45和斯的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等，再加 上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾 斜角相等，所以45和斯的倾斜度一样。教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时，梯子的倾斜度一样，请大家 判断一下在问题2与问题3中，两直角边的比值与倾斜度有什么关系？请继续探究下面的 问题.问题4课件出示：在下图中，梯子4?和斯哪个更陡？你是怎样判断的？教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡,可能就比较困难了。能不能从上面的探究中得到什么启示呢？生讨论后得出：思路1：梯子绪较陡，因为N“沙N2园根据倾斜角越大，梯子就越陡.思路2:梯子环较陡，因为黑根据铅直高度与水平宽度的比越大，梯子就越陡。师生共同总结:在日常的生活中，我们判断哪个梯子更陡，应该从梯子和斯的倾斜 角大小，或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做：请通过计算说明梯子和砥哪一个更陡呢？生独立解答，代表展示：.,AC_ 4 _8 ED_3.5_35 8 35*BC-175-3,FD-T73-13,3I?二梯子必比梯子四更陡。设计意图通过探究逐层深入的问题，让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般 的探究过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课 的中心“两直角边之比靠近。知识拓展梯子的倾斜程度的判定方法：（1）梯子的倾斜程度和倾斜角有关系，倾斜 角越大，梯子就越陡。（2）梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系，铅直高度 与水平宽度的比越大，梯子就越陡。（-）再探新知6过渡语 在日常生活中，我们判断哪个梯子更陡，应该从梯子48和跖的倾斜角 大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AB.的倾斜程 度时发生了矛盾，我们来看一看.课件出示：【想一想】如图所示，小明想通过测量BG及AQ,算出它们的比，来说明梯子的倾 斜程度;而小亮则认为,通过测量房C及力C，算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你 同意小亮的看法吗？（1）直角三角形RAG和直角三角形有什么关系？生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由：房/6=/瓦力G,3=90,B.C,B 后（2）段和辞有什么关系？由于Rt Zk4 AGsRt 2/员G，所以有二通。（3）如果改变为在梯子上的位置呢？由此你得出什么结论？生先独立思考后分组讨论.生得出结论：改变用在梯子上的位置，铅直高度与水平宽度的比始终相等。想一想：现在如果改变NN的大小，NR的对边与邻边的比值会改变吗？生讨论得出：的大小改变，N力的对边与邻边的比值会改变。N2的对边与邻边的 比只与N4的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关。【总结提升】由于直角三角形中的锐角Z确定以后，它的对边与邻边的比也随之确 定，因此我们有如下定义：如图所示，在阿中，如果锐角4确定，那么N2的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做N4的正切（t a ngent）,记作t a n A,即t a n长黑.当锐角A变化时,t a n A的值也随之变化.能力提升:如果N4+N庐90,那么t a n 4与t a n 8有什么关系？生讨论得出结论：t a n A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.LdUD【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中，梯子的倾斜程度与 t a n 4有关系吗？学生思考后，统一答案：t a n A的值越大,梯子越陡.（反之,梯子越陡,t a n A的值越大）设计意图此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过让 学生参与、动手操作，让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法，提高学生 7分析问题和解决问题的能力.知识拓展正切的注意事项：（Dt a n力是一个完整的符号，它表示NN的正切，记号 里习惯省去角的符号“N。（2）t a n力没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中N力的 对边与邻边的比。（3）t a n Z不表示“t a n乘以（4）初中阶段，我们只学习直角三角形 中锐角的正切。（三）例题解析过渡语通过探究我们了解了正切的概念，下面就来进行“实战演习，检验一下 我们的理解能力.课件出示：（教材例1）如图所示表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？8 m甲 乙想一想：要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可？生思考后得出：比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出t a n a,t a n 的值 进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答，代表展示：4 1解：甲梯中，t a n a乙梯中，t a n =石含;靖。因为t a n a）t a n,所以甲梯更陡。设计意图 通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子 的倾斜程度，同时规范学生的解题步骤，培养良好的解题习惯.二、正切的应用过渡语正切在日常生活中的应用很广泛，例如，在建筑、工程技术中，经常用正切 描述山坡的坡度.课件出示：如图所示，有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度（即t a n、口曰 一 _60_3a）就t e：7=t a n。二丽二m结论：坡面与水平面的夹角（。）称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），t a n普黑，即坡度等于坡角的正切.设计意图正切在日常生活中的应用很广泛，通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度 的数学意义，密切数学与生活的联系，使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学，为生 活服务.知识拓展坡度与坡面的关系：坡度越大，坡面越陡。F课堂小结（1）正切的定义:t a n 的邻边（2）梯子的倾斜程度与t a n力的关系（N/和t a n）之间的关系）：t a n力的值越大，梯 子越陡。8（3）坡度（或坡比）的定义：产t a n。=普器。检测反馈1.在Rt Zk/回中,5 5A.适 B。-N作90,49=13,4俏12,则t a n力等于Co Do y)解析：.在回中，Z（=9Q5，AB=13,AC=12,.BC=5,/.t a n A=to 故选 B。2.如图所示,将N/如放置在5 X5的正方形网格中，则t a n/Z仍的值是)2713 3-713C。D.解析:认真读图，在以N4防的。为顶点的直角三角形里求t a nNZ如的值，由图可得 tan ZAOB=.故选 B.3。（中考）如图所示，在。中，N会90,力伊2,止1,则t a n/的值是。解析:t a n 故填4。河堤横断面如图所示，堤高除5 m,迎水坡23的坡度是1：m（坡度是坡面的铅直 高度用与水平宽度之比），则四的长是.解析：在 Rt A4回中，除 5,t a n 4=1：隹，：.AO5yj3,，止柠+（5 m）2=10（m）.故填10 m。有板书设计_第1课时（1）正切的定义：t a n小三黑.Z_nn j kR山（2）梯子的倾斜程度与t a n Z的关系（NZ和t a n Z之间的关系）：t a n/的值越大，梯 子越陡。9（3）坡度（或坡比）的定义：户t a n。=薛蠢。I布置作业一、教材作业【必做题】L教材第4页随堂练习第1,2题。2。教材第4页习题1。1第1,2题。【选做题】教材第4页习题1。1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】H1。如图所示，在口；中，N伍90,4小6,除8,则t a n Z的值为（）2.小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了 1000 m,则他升高了（）A.500 m Bo 200备 mCo 5003 m Do 1000 m3。已知斜坡的坡度为/=1：5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.如图所示，在网格中，小正方形的边长均为1,点4 B,。都在格点上，则N4 5 r的正切值 是（）2而A.2 B.E也 n iC/o 5 U o 25。如图所示，将以4为直角顶点的等腰直角三角形力回沿直线比1平移得到力夕C,使 点与C重合,连接，瓦则l a nNZ BC，的值为./X7 H Cg C6。如图所示，在锐角三角形/欧中，c m,船=9 c m,欧的面积为27 c nA 求t a n 夕的值。107。某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：L8改为1：2.4(如 图所示)。如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分a的长.【拓展探究】8.如图所示，在眩中，2户阳初是边上的中线，若/斤13,除10,试求t a nN网;的 值.【答案与解析】LD(解析：.在 中，N 会 90，A(=6,B(=8,A t a n 4 4 故选 D.)AL O o2。B(解析：设铅直高度为x m,坡度为1：2,.水平宽度为2x m,由勾股定理得/+(2x)2=10002,解得产200低.他升高了 200而m。故选B.)3.10(解析：:斜坡的坡比是1：5,，斜展的水岸距离=g,斜坡的水平距离7.斜坡的水平距禺为=10 mo故填10。)4.D(解析:如图所示,连接公 由勾股定理，得4a蛆，AB=2也，比州瓜为直角三角AC 1形，；.t a n展疝二歹故选Do)nD 乙A AR C(/r)D c5(解析：如图所示，过4 作力垂足为。在等腰直角三角形力a。中，易知 力是底边上的中线，氏夕氏乎。哈C，.t a nN不a?=詈=芯$5=；.故填R)H116.解：如图所示，过点 4 作 于凡：Saab加,:?9X A+27,VIO,A-AB2 _ AH2=-1Q2-62=8,t a n 庐西=7.解：在 Rt Zi 4?C中，AD.DOX：2O 4,力/13,由4+如=4?,得 4?+（2.4/）2=132,A/氏5（负值不合题意，舍去），.好12。在Rt ZU初中，：AD：BD=：1.8,.盼5X1。8=9,.除此盼12-9=3（m）.答:改动后电梯水平宽度增加部分用的长为3 m.8。解:如图所示，过点4 分别作a；DF工BC,垂足分别为点可凡.除10,AHA.BC,A土AC,：.B住5。.4 9=13,.,.腑J132-言12,在 纺中，A牛2,易知 AHDF,1 3 15 DF 4且为4。中点，力气力氏6,.的号除彳，.在Rt惭中，t a nNM=还区1_教学反昌但成功之处本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教学内容比较抽象，学生不易理解。为此结 合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会 和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并 从抽象的思维到实践”的认识规律，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想 象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手，引导 学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与，并组织学生积极参与小组成员间合作 交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程，紧紧围绕着函数概念，引出正切概念，再 通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中，注重了阶段性的反思小结,使学生 能够及时总结知识和方法.不足之处本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时，学生的一些奇思妙想没有给予展示机 会。第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.再教设计对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成 为学习的主人.国教材习题解写随堂练习（教材第4页）1 由J么匕心 BD BD 1.5 31。解：能.t a n 左而=-=7.LU-ac-X 4 42。解：根据题意，得册200,除55,贝!J心加2 _ bc22002 _ 5 5 2=5.14 7 9,所以山的坡BC 55 c ccc度为年W砺心6 286.习题1.1（教材第4页）121.解：AC2=a/132 _ 52=12,/t a n/二而二三，t a n 后布二行 V j nU u DU 乙 BC 5 12 362。解：V t a n y4=7 7=,6=3,/.AC=BC=.AU 1Z u 14.t a n A=o tanB区l _备课资.教学建议学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务，做到有的放矢，然后利用“由一般到特殊的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与t a n A的关系(NZ和t a n 4之间的关系)，在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重 点，突破难点。学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件一在直角三角形中，找准 直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行 求解，同时还要注意数形结合思想的运用。经典例题 如图所示，设计建造一条道路，路基的横断面为梯形力及N,设路基高为力，两侧 的坡角分别为a,.已知庐2 m,a=45,t a n=；,切=10 m.求路基底部的宽.n c/、A H(解析)如图所示，过。分别作下底23的垂线，垂足分别为在Rt/阿和 山叱中，可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值，求出力区跖的长,进而可求得49的 值。D C/5A E F 8解：如图所示，过作庞1.初于过。作CF1AB于F,：.DE/CF.四边形力凡力为梯形，:.ABCD,：.E六CAW m.四边形0%为矩形.在 Rt/庞中，a=45。,DE=h=2 也，：.C2DE=h=2 m。在 Rt砂中，t a n 加2 m,.止2上4(m)。故/展火研瓯游力研办册2+10+4=16(m)。答:路基底部45的宽为16 m.解题策略此题主要考查了坡度问题的应用，求坡度、坡角问题通常要转换为解 直角三角形的问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.第课时区1整体设计136教学目标知识写技能.1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现 实生活的联系。2。能够用si n A,c os力表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进 行简单的计算。F过程率第*11.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决 实际问题的能力。2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念。1。在探究新知的过程中，培养与他人合作的意识。2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.教学重难点【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2。能用si n A,c os/表示直角三角形两边的比。3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算。【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦。教学准备【教师准备】多媒体课件。【学生准备】复习t a n力的定义以及利用t a n）表示直角三角形两边比的方法.区1_教学过.0新课导入导入一：如图所示，力。是旗杆48的一根拉线，测得/尻6 m,N4庭同学们，你能用。表示 出拉线的长度吗？AD【问题】边和水?分别是乙4券的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗？设计意图通过与正切的对比，引出本节课要探究的问题，让学生体会类比思想的 重要性.导入二：课件出示：14/A的时边八 N4的邰边 C如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系一一正切。由 正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt ZXZ回中的一个锐角/确定时,其对边 与邻边的比值便随之确定。【问题】止匕时,其他边之间的比值也确定吗？设计意图 引导学生回忆上节课学的正切后，开门见山，直入正题，让学生的思 维很快进入今天的学习内容。Q新知构建过渡语在直角三角形4阿中，除了两条直角边的比之外，还有没有利用其他边的比 值来表示梯子Z9的倾斜程度的情况呢？一正弦、余弦、三角函数的定义问题1课件出示：如图所示，在直角三角形中，除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗？生观察后思考得出：还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种 情况，只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以N1为例，总结一下共有几种情况。【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在勿中，如果锐角力确定，那么N2的对边与斜边的比和邻边与 斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结：N4的对边与斜边的比叫做N/的正弦(si ne)，记作si n 4即si n./黑髻。NZ的邻边与斜边的比叫做/力的余弦(c osi ne),记作c os 4,即c os生/吸普.锐角4的正弦、余弦和正切都是N4的三角函数.提示：当锐角力变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.设计意图通过探究，引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概 念，为下面的学习打下良好的基础。二 si n A,c os彳与梯子倾斜程度的关系过渡语 通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与t a n4有关系：t a n 4的 值越大，梯子越陡。由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和si n A,c os/有关系呢？如果 有关系，是怎样的关系？问题2【想一想】在教材图1-3中，梯子的倾斜程度与si n力和c os 4有关系吗？【教师活动】要求小组合作交流,统一答案。【学生活动】小组同学认真思考，热烈讨论，积极总结。思路一戢师引导学生分析：15HiBC Divi如图所示，/斤小瓦，在Rt A4中，si n相玄，在Rt小与G中，si n Ax=.Ad A|D jBC BiC.仍小阳.赢t v，即si n水si n小，.梯子小一比梯子麴陡。AD AjDj.梯子的倾斜程度与si n力有关系。si n力的值越大，梯子越陡。正弦值也能反映梯子 的倾斜程度。思路二攀生品目交流，类比分析过程：AC A|C AC A|C jc os A=r,c os.,.2斤4瓦，丁.京即 c os/c os Ai,nD A|D j nD AjD j梯子的倾斜程度与c os 4也有关系。c os Z的值越小，梯子越陡。【师生总结】梯子的倾斜程度与si n A,c os 4的关系：si n Z的值越大，梯子越陡；c os 2的值越小，梯子越陡.设计意图此环节的设计是为了突出概念的形成过程，帮助学生理解概念.通过学生 的参与、动手操作让学生学会”由特殊到一般”“数形结合”的思想方法，提高分析问题和 解决问题的能力。例题解析过渡语通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义，下面就通过例题检验一下我们对 新知的理解能力.课件出示：(教材例2)如图所示，在Rt Zk/初中，Z90,A(=20Q,si n A=0o 6,求优1的长.【师生活动】生独立解答，师巡视观察学生解题的情况，随时进行指导。解:在Rt极7中，Vsi n左言,即探=0。6,.除200义0。6=120。AU ZUU想一想:你还能求出c os A,si n。和c os。的值吗？生认真国考，独立写解题过程.代表展示：c os 4=0.8,si n 0=0.8,c os G=0o 6.设计意图例题的安排既对学生学习的内容加以巩固，也让学生体会严谨的做题思 路，并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.知识拓展L若N4+N斤90,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,si n A=co sB；一个锐角的余弦等于它余角的正弦,c os N=si n Bo2。锐角三角函数之间的关系：(1)同一个角：商的关系：t a n 4=黑;平方关系：si n2/+c os24=1。(2)互余两角：若N4+N序90,则 si n A=co s B,c os J=si n Bo三、三角函数的运用过渡语灵活运用三角函数能提高我们的解题效率。课件出示：_ 12【做一做】如图所示，在中，N会90,c os A=t,A(=10,等于多少？1016si n 8呢?H【学生活动】要求学生独立完成，代表展示解题过程。代表展示：解：在Rt Z4中，.AC_10_12 COS=Xb=AB=1310 X 13 656,si n B=-AC 10 12AB 65 13 T设计意图在学习前边知识的基础上，巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形 中两边的比,体验数形之间的联系，学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实 际问题的能力。F课堂小结(1)三角函数的概念：正弦：si n 靠边余弦:c os在“爱不边。锐角4的正弦、余弦和正切都是N2的三角函数.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系：si n力的值越大，梯子越陡;c os力的值越小，梯子越陡.锐角三角函数之间的关系：(1)同一个角：商的关系：t a n/=翟；平方关系：si n24+c os24=l.互余两角：若NZ+N户90,则 si n J=c os B,c os J=si n B.检测反馈1.如图所示，在Rt/&中，Z(=90,AB=6,c os比|,则a的长为()A.4 Bo 2而18V13 12V1313 U-135 t L 2 CB 2 2 一、人解析：Teos庐二还/4=6,，。5=耳X6=4,故选人。J nD o J2。在Rt/阿中，/890,若c os4=|,则t a n9的值是()42所 n a/5 3a/5 指 A。B.C。D.-17AC AC 2解析：.在 Rt/夕。中，Z90，c os 4=正，t a n B=.,A(?+B(?=A&o Vc os A=,：.Ad l5L J.2x 2a/5设 A(=2x(x0),贝i j AB=3x,B x,：.t a n 庐瓦=拳故选 A.3.如图所示，在中，切是斜边4 9上的中线，已知。2,43,贝U si n 6的值 是.AC 3解析：.在Rt ZUB；中，必是斜边相上的中线，曲=2,.45=2必=4,.si n后前=“故填4.如图所示,力员的顶点都在方格纸的格点上,则si n A=。解析：过。作CDLAB交48的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt AACD中,心荷+CD?=2疯 Asi n喘=.故填。5。如图所示，/力龙=90,庞_1_28垂足为点区49=10,除6,求应的三个三角函数解：,/笈乙B,:.XACBsDEB,：.ABDB-AA,3 4 3，si nN切片si n 左己c osN切片c os 左鼻，t a nN皮彦=t a n4=八 Out板书设计第2课时1.三角函数的概念：(1)ZJ的对边与斜边的比叫做N4的正弦，即si n 木一普。/力的邻边与斜边的比 叫做/的余弦，即c os用笔普。锐角A的正弦、余弦和正切都是NN的三角函数。2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系：si n)的值越大，梯子越陡;c os力的值越小，梯子越陡.布置作业18一、教材作业【必做题】1。教材第6页随堂练习第1,2题。2.教材第6页习题1。2第1,2,3,4题.【选做题】教材第7页习题1。2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示，在中，/e90,2尻5,除3,则c os 4的值是（）C.7 Do 72.如图所示，在Rt力比中，/e90,45=13,除12,则下列三角函数表示正确的是Ao si n A=r:Co t a n A=-12D.t a n B=-r3.在 中，ZAB(=90，AB=3,BO4,贝U si n A=4.如图所示，在直角坐标系中，户是第一象限内的点，其坐标是（3,加，且8与牙轴正半轴4的夹角a的正切值是则si n a的值为。【能力提升】5.如图所示，已知/回的三个顶点均在格点上，则c os A的值为（）Ao v B.v19Lo 3 U 560 在力中，Z（=90,B（=6,si n 4=|,则 49边的长是。7。如图所示，在92/8。中，/会90,AB=1Q,si n总用求优1的长和t a n 8的值.0H8.如图所示,在正方形ABCD中,是力的中点,B方3AE。求si nNa 的值。【拓展探究】9。网格中的每个小正方形的边长都是1,/回每个顶点都在网格的交点处，则si n J=.【答案与解析】1.D（解析：:止5,B（=3,：.A 4,Z.c os 故选 D。）2.A（解析：./月分=90,49=13,512,AJAB2-BC2=J132-122=5O A,si n19 AC R DC IO适，故本选项正确;B,c os 4=m=r，故本选项错误；C,t a n4=前=与故本选项错误;D,t a n B=获*故本选项错误。故选A.）3。*解析：首先由勾股定理求得斜边力作5,然后由锐角三角函数的定义知si n左最后将相关线段的长度代入计算即可。）44.三（解析:如图所示，过点作必Lx轴于点,则可得出3,PE=m,在Rt户应1中，t a n。噂二*解得炉4,则 JpE2+0E2=5,故 si n a=）205。D（解析：过夕点作BDA.AC,如图所示，由勾股定理,得册厅+32Tl5,的也？+吩=2也;.c os 在故选D。）6.9（解析：，.,能=6,si n后，.,（哈 解得止9.故填9。）o o nD7.解:在Rt极?中，N890。，册10,si n不9=|,.,.除4,根据勾股定理,得 心府二=2v21,贝!J t a n.8.解：设 A斤x（x0）,贝（J 陷3x,BOx,AM=-2x,CD-Ax,：.g（3x/+（4 x）?=5 x,EM-收+（2x）2=x,窿J（2xV+由）2=2而&.摩+酸=居，.第7是直角三角形，Z八 E M4x小EMO ,，si nN二？二gUt OX 39.：（解析：如图所示，作也J_勿于 GJ_四于由勾股定理得4?/合2圾 除2出，册3也，易知1是等腰三角形，由面积相等可得驷力吟仿-幽上卷亲随萼，6击应必加岸曦=!故填|.）区1_教学反.成功之处上节课已经学习了三角函数中的正切，所以这节课根据初中学生身心发展的特点，运用 了类比教学法，想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思 维能力，运用直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切，是本节课 的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论，产生的效果较好.在探 讨梯子的倾斜程度与si n力和c os 4的关系时，鼓励学生利用类比t a n 4的方法进行探究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课 后作业有分层，适合不同程度的同学。在整个教学过程中，学生探究活动始终处于主导地 21位，培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力。不足之处在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时，时间安排的不是很科学,导致后面的 例题以及做一做的处理稍显仓促。再