基于GSVD的分布式MIMO雷达测向算法.pdf

第3卷第1期2 0 2 4年1月信 息 对 抗 技 术I n f o r m a t i o n C o u n t e r m e a s u r e T e c h n o l o g yV o l.3 N o.1J a n.2 0 2 4引用格式:张颢月,师俊朋,史姝赟,等.基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法J.信息对抗技术,2 0 2 4,3(1):5 7-6 9.Z HAN G H a o y u e,S H I J u n p e n g,S H I S h u y u n,e t a l.G S V D-b a s e d d i s t r i b u t e d M I MO r a d a r d i r e c t i o n f i n d i n g a l g o r i t h mJ.I n f o r m a t i o n C o u n t e r m e a s-u r e T e c h n o l o g y,2 0 2 4,3(1):5 7-6 9.(i n C h i n e s e)基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法张颢月1,师俊朋1*,史姝赟1,吴奇龙2(1.国防科技大学电子对抗学院,安徽合肥 2 3 0 0 3 7;2.安徽省军区,安徽合肥 2 3 0 0 0 1)摘 要 针对分布式多输入多输出(m u l t i-i n p u t m u l t i-o u t p u t,M I MO)雷达测向中存在的数据信息提取不充分、运算量偏大等问题,开展了基于广义奇异值分解(g e n e r a l i z e d s i n g u l a r v a l-u e d e c o m p o s i t i o n,G S V D)的测向算法研究,以提高低信噪比条件下的角度估计性能。首先,建立了分布式阵列M I MO雷达回波信号的统一化表征模型;其次,将分布式M I MO雷达系统接收阵列数据的多线程G S V D问题转换为一个联合优化问题,运用交替最小二乘(a l t e r n a t i n g l e a s t s q u a r e s,A L S)技术实现阵列信号流行矩阵的拟合,并引入子空间类算法实现目标角度联合估计;最后,对优化问题增加l1范数约束,避免了每次迭代中进行的奇异值分解运算,降低了算法运算量。仿真实验从角度联合估计、均方误差、运算时间等方面验证了所提算法的有效性。关键词 分布式M I MO雷达;广义奇异值分解;阵列测向;交替最小二乘中图分类号 TN 9 5 8 文章编号 2 0 9 7-1 6 3 X(2 0 2 4)0 1-0 0 5 7-1 3文献标志码 A D O I 1 0.1 2 3 9 9/j.i s s n.2 0 9 7-1 6 3 x.2 0 2 4.0 1.0 0 6G S V D-b a s e d d i s t r i b u t e d M I MO r a d a r d i r e c t i o n f i n d i ng a lgo r i t h mZ HAN G H a o y u e1,S H I J u n p e n g1*,S H I S h u y u n1,WU Q i l o n g2(1.C o l l e g e o f E l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g,N a t i o n a l U n i v e r s i t y o f D e f e n s e T e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 0 3 7,C h i n a;2.A n h u i P r o v i n c i a l M i l i t a r y R e g i o n,H e f e i 2 3 0 0 0 1,C h i n a)A b s t r a c t I n o r d e r t o s o l v e i n s u f f i c i e n t d a t a i n f o r m a t i o n e x t r a c t i o n a n d l a r g e a m o u n t o f o p e r a-t i o n s i n d i s t r i b u t e d m u l t i-i n p u t m u l t i-o u t p u t(M I MO)r a d a r d i r e c t i o n-f i n d i n g,t h i s p a p e r s t u d-i e d t h e d i r e c t i o n-f i n d i n g a l g o r i t h m b a s e d o n g e n e r a l i z e d s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n(G S V D),s o a s t o i m p r o v e t h e p e r f o r m a n c e o f t a r g e t a n g l e e s t i m a t i o n u n d e r l o w s i g n a l-t o-n o i s e r a t i o(S N R).F i r s t l y,t h e d i s t r i b u t e d M I MO r a d a r e c h o s i g n a l m o d e l w a s e s t a b l i s h e d.T h e n,t h e m u l t i l i n e a r G S V D p r o b l e m o f t h e r e c e i v i n g a r r a y d a t a w a s c o n v e r t e d i n t o a n o p t i-m i z a t i o n p r o b l e m a n d a l t e r n a t i n g l e a s t s q u a r e s(A L S)a l g o r i t h m w a s a p p l i e d t o s o l v e i t,a c h i e-v i n g t h e f i t t i n g o f c h a n n e l m a t r i x.B e s i d e s,t h e s u b s p a c e a l g o r i t h m w a s i n t r o d u c e d t o r e a l i z e t h e j o i n t e s t i m a t i o n o f t h e t a r g e t a n g l e s.F i n a l l y,t h e l1 c o n s t r a i n t w a s p r o v i d e d t o a v o i d t h e s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n o p e r a t i o n i n e a c h i t e r a t i o n a n d t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y w a s r e d u c e d.S i m u l a t i o n e x p e r i m e n t s h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e p r o p o s e d a l-g o r i t h m i n t e r m s o f j o i n t a n g l e e s t i m a t i o n,m e a n s q u a r e e r r o r a n d o p e r a t i o n t i m e.收稿日期:2 0 2 3-0 6-2 5 修回日期:2 0 2 3-0 8-1 4通信作者:师俊朋,E-m a i l:s h i j u n p e n g 2 0n u d t.e d u.c n基金项目:国家自然科学基金资助项目(6 2 0 7 1 4 7 6);湖南省科技创新计划项目(2 0 2 1 R C 3 0 8 0);国防科技大学学校科研计划项目(Z K 2 0-3 3);国防科技大学自主创新基金项目(2 3-Z Z C X-J D Z-4 5)信 息 对 抗 技 术2 0 2 4年K e y w o r d s d i s t r i b u t e d M I MO r a d a r;G S V D;a r r a y d i r e c t i o n-f i n d i n g;A L S0 引言随着高超声速飞行器、隐身飞机、巡航导弹等现代突防手段的快速发展,国家战略预警体系对雷达探测技术提出了新的更高要求。为了满足雷达抗隐身、抗干扰及抗摧毁等需求,基于分布式子平台的多输入多输出(m u l t i-i n p u t m u l t i-o u t p u t,M I MO)雷达应运而生并取得了较大发展。从信号处理的角度出发,雷达的功能主要包括检测、估计、跟踪、成像和识别。雷达对目标的测向技术是参数估计的一大方面,也是目标定位跟踪的基础,因此是雷达的核心技术之一。提高雷达系统的测向精度是提升雷达性能的关键方向,而分布式阵列M I MO雷达可以通过数据的联合优化处理有效提高目标波达角(d i r e c t i o n o f a r-r i v a l,D OA)的估计精度。目前,M I MO雷达的测向理论发展迅速,信号子空间重构是其中的重要组成部分,很多学者运用该类算法从目标D OA估计、多参数联合估计等方面系统开展了M I MO雷达测向算法研究。文献 1 利 用 二 维C a p o n算 法 进 行 了 波 离 角(d i r e c t i o n o f d e p a r t u r e,D O D)和D OA的联合估计,并进行了角度的自动匹配。然而二维谱搜索的计算量很大,为了减轻计算负担,文献2 研究了运用E S P R I T算法进行双基地M I MO雷达角度估 计。2 0 0 8年,文 献 3提 出 了 一 种 基 于E S P R I T算法的双基地M I MO雷达自动匹配算法,实现了D OA与D O D的自动匹配。2 0 1 0年,文献4 提出了一种基于平行因子分析的双基地M I MO雷达D O D、D OA及多普勒频率的联合估计算法,利用三线性最小二乘迭代所得矩阵实现参数估计。2 0 1 3年,文献5 在未知的确定性框架下,推导出双基地M I MO雷达目 标D O D与D OA的 最 大 似 然 估 计 并 给 出 了 克 拉 美 罗 界(C r a m r-R a o b o u n d,C R B)的 紧 致 性 表 达 式。2 0 1 5年,文献6 通过设置新的数据矩阵提出了一种 基 于 改 进E S P R I T算 法 的 联 合D O D和D OA估计方法,实现了估计角度自动匹配和降低算法运算量。文献7 研究了在未知相关噪声环境下双发双收M I MO雷达的D OA与D O D联合估计问题,运用正则相关分解实现了对未知空间噪声的抑制。文献8 针对双基地M I MO雷达设计了一种类似E S P R I T的迭代测向算法,可以处理D OA与D O D相同的情况并实现自动配对。文献9 在传统贝叶斯学习算法的基础上引入压缩感知(c o m p r e s s i v e s e n s i n g,C S)理论建立了稀疏贝叶斯学习模型,利用信号的内相关性,系统解决了随 机 阵 列 条 件 下 协 同M I MO雷 达 联 合D OA估计问题,算法在有限数据以及低信噪比条件下 具 有 更 高 的 估 计 精 度,同 时 计 算 量 较 小。2 0 1 7年,文献1 0 提出了一种改进的单基地最小冗余M I MO(m i n i m u m r e d u n d a n c y M I MO,MR M I MO)雷达结构,其具有无须计算搜索即可确定阵元位置的优点,同时,在低信噪比和少快排数条件下也能获得稳健的测向性能。2 0 2 1年,文献1 1 研究了采用张量分解的嵌套双基地M I MO雷达的D OA与D O D联合估计方法,推广了三向张量模型并利用C OMF A C技术进行角度估计,证明了该算法相比基于子空间的算法,可以识别更多目标,获得更好的性能。但当前关于其测向研究依然存在数据信息提取不充分、运算量偏大等问题。2 0 2 3年,文献1 2 结合模型驱动与数据驱动算法各自的优势,提出了稀疏阵列在深度展开网络背景下的D OA估计框架,并对分布式稀疏M I MO雷达的测向研究进行了展望。广义奇异值分解(g e n e r a l i z e d s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n,G S V D)理论1 3能够对高阶数据集进行联合处理并提取数据的共同特征,因此在信号处理、图像处理等领域应用广泛。运用该理论对分布式阵列M I MO雷达系统子接收阵列的回波数据进行联合优化分析,提取阵列的信号子空间,能够有效抑制附加噪声干扰。因此,在目标的高精度测向领域,G S V D具有重要的理论意义与应用前景。2 0 0 0年,文献1 4 研究了奇异值分解的多线程推广以及其与矩阵特征值分解之间的联系。2 0 0 4年,文献1 5 运用G S V D进行了广义线性判别分析,扩展了经典判别分析方法的适用性,规避了矩阵的非奇异性要求,从而保证当样本容量小于样本数据维数时也能使用该方法。2 0 2 2年,文献1 6 提出了多线程广义奇异值分解(m u l t i-l i n e a r G S V D,ML-G S V D),将2个矩阵的G S V D85第1期张颢月,等:基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法 扩展到更高阶,这种方法保留了原始G S V D的本质属性,同时在直接拟合平行因子分解(p a r a l l e l f a c t o r a n a l y s i s 2,P A R A F A C 2)算法1 7的启发下,提出了一种基于 交 替 最 小 二 乘(a l t e r n a t i n g l e a s t s q u a r e s,A L S)技术的ML-G S V D算法,并将其应用于M I MO-O F DM系统的收发机优化中,实现了公共消息和私有信息的同时传输,传输总速率优于现有最先进的方案。基于以上研究,本文开展了基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法研究,构建了分布式阵列M I MO雷达回波信号模型,设计并改进了基于交替最小二乘算法的多线程G S V D算法,在保证角度估计精度的同时降低了算法运算量。最后,通过仿真实验验证了本文算法的有效性。本文的主要贡献如下:1)构建了分布式阵列M I MO雷达回波信号模型,并对接收回波数据进行了预处理,为后续测向算法设计奠定模型基础。2)提出了基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法,即将分布式M I MO雷达系统接收阵列数据的多线程G S V D问题转换为一个优化问题,运用A L S算法求解该优化问题从而实现阵列信号流行矩阵的拟合,引入子空间类算法进行角度联合估计。3)提出一种低复杂度广义奇异值分解算法(r e d u c e d-c o m p l e x i t y G S V D,R C-G S V D),即通过对优化问题增加l1范数约束,避免每次迭代中进行的奇异值分解运算,降低算法计算的运算量。仿真实验从角度联合估计、均方误差、运算时间等方面论证了所提算法的有效性。1 分布式M I MO雷达回波信号模型1.1 参数设置分布式M I MO雷达系统结构如图1所示。分布式M I MO雷达由m个子发射阵列和n个子接收阵列组成,每个子阵列都是均匀线阵。各子发射阵列的阵元数分别为M1,M2,Mm,阵元间距为dt,发射阵元总数为M=M1+M2+Mm;每个子接收阵列的阵元数分别为N1,N2,Nn,阵元间距为dr,接收阵元总数为N=N1+N2+Nn;阵元间距满足dt(dr)/2,表示发射信号的波长。所有发射信号经P个目标反射后被子接收阵列接收,第p个目标关于第i个接收子阵列的D OA表示为i p,关于第i个发射子阵列的D O D表示为i p,目标反射系数表示为p。因此,P个目标关于第i个阵列的D O D和D OA的向量分别表示为i=i1i2i P T和i=i1i2i P T。图1 分布式M I MO雷达系统回波信号模型图F i g.1 D i s t r i b u t e d M I MO r a d a r s y s t e m e c h o s i g n a l m o d e l d i a g r a m 符号说明:上标()T和()H分别表示矩阵的转置和共轭转置,()表示矩阵的伪逆运算,o n e s(m,n)表示构造一个m行n列的元素全为1的矩阵,R e()表示矩阵的实部,E()表示矩阵的数学期望,v e c()表示矩阵 的 向 量 化,d i a g()是以输入向量作为对角元素构造对角矩阵的操作,b l k d i a g()表示以矩阵或矢量为对角元素构造的块对角矩阵,t r()表示矩阵的迹。矩阵ACMN的第m行和第n列分别表示为A(m,:)CM和A(:,n)CN。K r o n e c k e r积、K h a t r i-r a o积和H a d a m a r d积分别用符号、和表示。此外,用H表示高阶范数,1表示l1范数,F表示弗罗贝尼乌斯范数。张量的m o d e-r展开可以表示为(r),Id表示维95 信 息 对 抗 技 术2 0 2 4年度为dd的单位矩阵。1.2 模型假设首先对将要建立的双基地M I MO雷达系统回波信号模型做出基本假设如下:1)所有阵元天线同时发射信号且发射的窄带波相互正交,即使在不同时延下也能近似保持正交,每个发射波的一个脉冲内有K个码元。2)目标与雷达系统距离足够远,采用点源假设,以至于信号回波可以视作平面波。3)目标缓慢移动且互不相干,在S w e r l i n g I I模型下对目标反射系数进行假设,即认为在一个脉冲期间,目标雷达截面积(R C S)保持不变,而不同脉冲下目标反射系数相互独立,不同目标的反射系数也互不相干。4)第p个目标的反射系数p为零均值复高斯变量,服从分布C N 0,2 。5)加性噪声为零均值复高斯白噪声,服从分布C N(0,2IN)。6)子接收阵列之间间隔距离足够远以至于不同阵列接收信号和噪声不相干。1.3 模型构建第i个子接收阵列关于第p个目标的导向矢量为:ari(i p)=1e-j 2 drs i n i pe-j 2 dr(Ni-1)s i n i p T(1)第i个子接收阵列的流形矩阵为:Ari(i)=ari(i1)ari(i2)ari(iP)(2)第i个子发射阵列关于第p个目标的导向矢量为:ati(i p)=1e-j 2 dts i n i pe-j 2 dt(Mi-1)s i n i p T(3)第i个子发射阵列的流形矩阵为:Ati(i)=ati(i1)ati(i2)ati(i P)(4)用si mi表示第i个子发射矩阵的第mi个阵元发射的一个脉冲,由于每个脉冲有K个码元,因此其为K1的向量,第i个子发射阵列的发射波形为一个MiK的矩阵,即Si=si1si2si Mi T,i=1,2,m(5)接收子阵列的接收信号矩阵7可以表示为:X(l)1X(l)2X(l)n =Ar 1(1)Ar 2(2)Arn(n)B(l)ATt 1(1)ATt 2(2)ATtm(m)S1S2Sm +Z(l)1Z(l)2Z(l)n(6)式中,X(l)i表示第i个子接收矩阵接收到的第l个 快 拍 信 号,且 有l=1,2,L,B(l)=d i a g(l)1,(l)2,(l)P ,Z(l)i表示第i个子接收矩阵接收到的噪声矩阵,其协方差矩阵表示为:EZ(l)iZ(l)Hj=2INi,i=j0,ij(7)式中,i,j=1,2,n。由于发射阵列各阵元发射信号相互正交,因此可以得到:SiSHj=K IMi,i=j0,ij(8)式中,i,j=1,2,m。即S SH=K IM,式(6)可写作:X(l)=Ar()B(l)ATt()S+Z(l)(9)式 中,X(l)=X(l)1 TX(l)2 TX(l)n TT,S=ST1ST2STm T是一个维度为MK的矩 阵,Z(l)=Z(l)1 TZ(l)2 TZ(l)n TT是一个维度为NK的矩阵,流行矩阵Ar()=ATr 1(1)ATr 2(2)ATrn(n)T,At()=ATt 1(1)ATt 2(2)ATtm(m)T。任何一个接收阵列都能通过匹配滤波将各发射天线发射的正交信号分离成MNi个信道。对 式(9)中 的 接 收 信 号 用 匹 配 滤 波 器 K -1SH进行匹配滤波得到:Y(l)=KAr()B(l)ATt()+K -1Z(l)SH(1 0)即 有Y(l)i j=K Ari(i)B(l)ATtj(j)+(K)-1Z(l)iSHj,i=1,2,n,j=1,m。对接收信号进行向量化处理,得到:(l)=v e c(Y(l)1 1)v e cY(l)1 2 v e cY(l)n m =A1 1(1,1)A1 2(1,2)An m(n,m)b(l)+(l)1 1(l)1 2(l)n m(1 1)式中,b(l)=K(l)1(l)2(l)PT,Ai ji,j =atj(j1)ari(i1)atjj P ari(i P),(l)=(l)1 1 T(l)1 2 T(l)n m TT,(l)i j=K -106第1期张颢月,等:基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法 v e cZ(l)iSHj 。噪声向量的自协方差和互协方差矩阵7可表示如下:Ri jp q=2IMiNj,i=p o r j=q0,ip o r jq(1 2)式中,i=1,2,m,j=1,2,n。因此,噪声向量(l)的协方差矩阵是一个分块对角矩阵,则噪声协方差矩阵可表示如下:R=d i a g2IM1N1,2IM2N2,2IMmNn (1 3)由式(1 1)可知,Ai1,Ai2,Ai m中都包含了第i个子接收阵列的D OA信息,因此为提取i的信 息,需 将 这m个 矩 阵 组 合 在 一 起,得 到MNiP的矩阵:Ki(i,1,m)=Ai1(i,1)Ai m(i,m)(1 4)在 后 文 中 将Ki(i,1,m)简 写 为Ki(i)。类似地,可以将n个子接收阵列的数据向量分别组合,从而将式(1 1)中的接收信号划分为如下形式:(l)=(l)1)T(l)n)T T(1 5)式中,(l)i=v e c(Y(l)i1)Tv e c(Y(l)i m)T T,i=1,2,n,表示第i个子接收阵列的接收数据向量的组合。因此,接收信号的协方差矩阵可以表示为:R=E(l)1(l)n(l)1)H(l)n)H =R11R1nRn1Rnn (1 6)将式(1 1),(1 3)和(1 4)带入式(1 6)中,推导得到:Rij=Ki(i)RbKHi(i)+Ri,i=jKi(i)RbKHj(j),ij(1 7)式中,Rb=Eb(l)(b(l)H,Ri=d i a g(2IM1Ni,2IM2Ni,2IMmNi)表示第i个子接收阵列的噪声协方差矩阵。由于检测目标个数为P个,当ij时,矩阵Rij的秩即为P。以上即为本节所构建的分布式M I MO雷达系统,本文就是在此条件下运用该模型同时对多个目标进行测向定位的。2 基于A L S的多线程G S V D算法2.1 多线程广义奇异值分解广义奇异值分解是VAN L OAN于1 9 7 6年首次 提 出 的 矩 阵 联 合 分 解 方 法1 3,具 体 定 义如下:假设H1CJ1I和H2CJ2I为2个列数相同的矩阵,它们的行数为任意值J1和J2,那么H1和H2的广义奇异值分解可以定义为:H1=B1C1AHH2=B2C2AH(1 8)式中,B1CJ1J1,B2CJ2J2为 列 正 交 矩 阵;ACII是对2个矩阵通用的非奇异矩阵;C1RJ1I和C2RJ2I为非负对角矩阵,C1和C2对应元素的比值称为H1和H2的广义奇异值。在此概念的基础上,将定义拓展为适用于2个以上 矩 阵 联 合 分 解 的 多 线 程 广 义 奇 异 值 分解1 6,具体如下:假设有K个列数相同的矩阵满足:H1=B1C1AHCJ1I HK=BKCKAHCJKI (1 9)这K个矩阵可以视为张量HCJIK的m o d e-3切片,张量H的多线程广义奇异值分解可以使用切片方式表示为:Hk=BkCkAHCJkI(2 0)式中,k1,K是张量H的第k个切片,ACIQ,Q=m i nKk=1Jk,I,BkCJkQ为列正交矩阵,满足BkBkH=IQ,CkRQQ为非负对角矩阵。由此可见,运用多线程广义奇异值分解能够实现多个列数相同的矩阵的联合分解,进而实现数据的中心融合处理。2.2 算法描述将多 线 程 广 义 奇 异 值 分 解 应 用 于 分 布 式M I MO雷达系统数据联合处理中,可以实现对多个阵列信号子空间的联合分解去噪。首先将接收信号 的 协 方 差 矩 阵 划 分 为n个 列 数 相 同 的矩阵:H1=R11R12R1n Hn=Rn1Rn2Rnn (2 1)16 信 息 对 抗 技 术2 0 2 4年 由式(1 7)可知,Hi可表示为:Hi=Ki(i)RbKH1(1)KH2(2)KHn(n)+Ri(2 2)式中,Ri表示第i个矩阵中的噪声相关项。以上n个矩阵可以视为张量HCJMNn的m o d e-3切片,其中J=m a x(MN1,MNn),对式(2 1)中的未定义元素补0。对张量进行多线程广义奇异值分解后用切片方式表示为:Hk=BkCkAHCMNkMN(2 3)式中,k1,n 是张量H的第k个切片,ACMNP,P为待检测目标个数,BkCMNkP,CkRPP为非负对角阵。此外,设矩阵CRnP,对角矩阵Ck的对角元素堆叠为矩阵C的行向量,即Ck=d i a g(C(k,:)。为了最大程度降低噪声的影响,得到更加精确的信号子空间,将所要求解的优化问题表述如下:m i nA,Bk,Cknk=1Hk-BkCkAH2F(2 4)该优化问题与P A R A F A C 2模型高度一致,因此为了求解以上优化问题,可以运用A L S算法,在Ck和A固定的情况下对Bk进行优化,然后在Bk固定的情况下对Ck和A进行优化,迭代多次最终解决函数的优化问题,求出所需的信号子空间Bk=A(MNk-1+1):MNk,:)。首先,对算法中的变量进行初始化:将A初始化为nk=1HHk的左奇异矩阵,C1,Ck均初始化为IP,然后通过最小化式(2 5)更新Bk。nk=1BHkHk-CkAH2F(2 5)当存在约束BkBkH=I时,对Bk进行优化从而使最小化式(2 5)可以等效于最大化式(2 6):f(Bk)=t r(CkAHHHkBk)(2 6)该 优 化 问 题 求 解 过 程1 8如 下:首 先 对CkAHHHk进行奇异值分解得到其左奇异矩阵Uk和右奇异矩阵Vk,然后即可得到使式(2 6)最大的Bk,可以表示为:Bk=VkUHk(2 7)而在对式(2 5)的实际优化过程中,由于检测目标个数为P,因此在对CkAHHHk进行奇异值分解后取前P个最大的奇异值对应的奇异向量组成Uk和Vk,进而求得Bk的优化结果,即Bk=Vk(:,1:P)UHk(:,1:P)(2 8)设Hk=HHkBk=A Ck,然后通过对式(2 5)进行求解更新矩阵A和Ck,具体步骤1 6如下:用n个Hk作为m o d e-3切片堆叠出张量H,张量H的正面切片的约束C P分解可以表示为:Hk=A CkIP(2 9)因此,张量H的m o d e-1和m o d e-3展开1 9,满足:H (1)=A(CIP)T(3 0)H (3)=C(IPA)T(3 1)式中,C的行向量包含了矩阵Ck的对角元素。因此,矩阵A和C的最小二乘解可以表示如下:A=H (1)(CIP)T(3 2)C=H (3)(IPA)T(3 3)该过程运用了P A R A F A C 2模型求解的直接拟合算法。在P A R A F A C 2的间接拟合算法中,使用的是派生数据拟合原矩阵,不能得到矩阵Bk,而通过以上的直接拟合算法,运用的是实际数据进行拟合,能够直接计算得到矩阵Bk。此外,当对参数施加约束(例如非负约束等)以及用最优模型估计替换缺失数据时,直接拟合算法的过程更容易调整,而且直接拟合算法更容易推广到更高阶数据集的情形且算法效率更高1 7。当迭代次数超出预设的最大迭代次数,或者残差ER=(Eo l dR-ER)Eo l dR小于预定义的阈值,说明算法收敛,循环停止,其中Eo l dR表示上一次迭代的残差。应用该算法求得的Bk=A(MNk-1+1):MNk,:)即为第k个子接收阵列的信号子空间。算法的主要步骤见算法1。算法1 基于A L S的多线程G S V D算法原始数据输入:H1.初始化A和C:A为nk=1HHk的左奇异矩阵,C=o n e s(n,P)2.更新Bk(k1,n):Uk,Vk =s v d(CkAHHHk)Bk=Vk(:,1:P)UHk(:,1:P)3.更新H:Hk=HHkBk4.更新A和C:A=H (1)(CIP)T C=H (3)(IPA)T 26第1期张颢月,等:基于G S V D的分布式M I MO雷达测向算法 5.计算n个重构的Hk:Hk=Bkd i a gC(k,:)AHCMNkMN6.计算残差ER:ER=(H-H2H)/H2H7.判断迭代是否终止:若ER=Eo l dR-EREo l dR小于预设的阈值或达到了最大迭代次数,则结束迭代,否则回到步骤2重复以上过程。Eo l dR是上一次迭代的残差。8.代入E S P R I T算法进行目标角度估计:迭代结束后应用步骤2的方法计算得到k个接收阵列的信号子空间US k=A(MNk-1+1):MNk,:)后运用E S P R I T算法进行目标D O D与D OA联合估计。注释1 多线程G S V D算法前期主要侧重于通信 领 域 研 究,本 文 将 其 拓 展 应 用 于 分 布 式M I MO雷达系统的流行矩阵拟合中,与E S P R I T算法结合实现了更高精度的测向,同时测向结果也可用于多点定位。但由于本算法在迭代步骤中多次运用奇异值分解,计算量相对于传统的算法较高。本节中设计算法的单次迭代计算复杂度如下:回波信号协方差矩阵的计算复杂度为O(LM2N2),基 于 截 断 奇 异 值 分 解(t r u n c a t e d s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n,T S V D)的初始化计算复杂度为O(M3N3),估计矩阵Bk的计算量为O(n MNP2+n M2NP+n MP2+(N12+N22+Nn2)M2P),张 量H的 计 算 量 为O(PM2N2),矩阵A和C的计算量为O(n P2+n P3+n MNP2)和O(MNP2+MNP3+n MNP2)。2.3 R C-G S V D算法2.2节中设计的G S V D算法以式(2 4)作为优化目标时,训练集虽能够得到很好的拟合结果,但不具备泛化能力,且该算法在每次迭代求解Bk的过程中都要进行一次奇异值分解。当矩阵规模增长的时候,计算的复杂度呈三次方增长,计算量和计算时间将大大增加。为解决以上问题,本节在2.2节中设计的G S V D算法基础上进行了改进,设计了R C-G S V D算法。R C-G S V D算法在对Bk更新的过程中,在式(2 4)中优化问题的基础上增加了l1范数约束,得到:m i nBknk=1HHk-A CkBHk2F+kBHk1(3 4)这是经典的L A S S O(l e a s t a b s o l u t e s h r i n k-a g e a n d s e l e c t i o n o p e r a t o r)问题,可以通过迭代收缩阈值算法(i t e r a t i v e s h r i n k a g e t h r e s h o l d i n g a l-g o r i t h m,I S TA)对式(3 4)进行求解。当A和Ck固定,进行一次迭代得到Bk的解为:Bk=s o f t t(B(o l d)k+k(HkH-A CkB(o l d)k H)HA Ck)(3 5)式中,s o f t t()是软阈值操作函数,B(o l d)k表示上一次 迭 代 中 的Bk矩 阵,kR表 示 固 定 步进值。运用I S TA算法对矩阵Bk进行初始化后,每次迭代过程中都可使用式(3 5)对矩阵Bk进行更新,从而避免奇异值分解的运算,有效降低了算法的计算量和计算时间。注释2 基于A L S的多线程G S V D算法与R C-G S V D算法的区别仅在于二者对矩阵Bk的求解方法,因此二者的角度估计精度应当相近,且优于传统的E S P R I T算法。由于R C-G S V D算法避免了在每次迭代过程中进行奇异值分解,因此估计矩阵Bk的计算量变为O(n+1)MNP2+M2NP+(n+1)MNP+M2N2P),计算量小于基于A L S的G S V D算法。特别是当接收阵元个数增多的情况下,R C-G S V D算法在有效降低计算量与计算时间的同时,测向精度又较传统的E S P R I T算法更高。注释3 基于A L S的多线程G S V D算法充分利用了回波信号协方差矩阵中的所有数据,同时最大程度地发挥了数据的内在相关性,对回波中的噪声抑制能力更强,因此角度估计精度应略好于互协方差矩阵T S V D算法和改进T S V D算法。此外,本算法易于推广到更高阶的数据集,进而实现多发多收阵列的子空间拟合,针对分布式M I MO雷达 系 统 的 适 配 性 更 强。R C-G S V D算法在利用基于A L S的多线程G S V D算法高精度优势的同时,通过l1范数约束提高了模型泛化能力并降低了算法的复杂度,综合考虑其性能优于基于A L S的多线程G S V D算法。2.4 算法分析为了便于算法性能分析,本 节 以 双 发 双 收M I MO雷达为研究对象,以目标估计的均方根误差(r o o t m e a n s q u a r e e r r o r,RM S E)为衡量指标对多种算法进行性能对比分析,并对其计算复杂度进行讨论。涉及的算法主要包括互协方差矩阵T S V D算法8、改进T S V D算法和本文设计的36 信 息 对 抗 技 术2 0 2 4年基于A L S的多线程G S V D算法以及R C-G S V D算法,分析过程中假设噪声符合理想情况。2.4.1 互协方差矩阵T S V D算法(对比算法1)互协方差矩阵T S V D算法为了实现2个发射阵列和接收阵列的估计角度完全匹配,使用2个接收阵列的互协方差矩阵进行信号子空间分解,由式(1 7)可知:R12=K1(1)RbKH2(2)CMN1MN2(3 6)由于待测目标个数为P,因此对式(3 4)进行奇异值分解后取前P个最大的奇异值对应的左奇异向量构成的矩阵即为接收阵列1的信号子空间,对应的右奇异向量构成的矩阵即为接收阵列2的信号子空间。运用E S P R I T算