高考数学选择试题分类汇编——函数.doc

2010年高考数学试题分类汇编函数（2010上海文数）17.若是方程式 的解，则属于区间 答（ ）（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）解析： 知属于区间（1.75，2）（2010湖南文数）8.函数y=ax2+ bx与y= (ab 0，| a | b |)在同一直角坐标系中的图像可能是D（2010湖南文数）3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A. B. C. D. （2010浙江理数）（10）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（A）4 （B）6 （C）8 （D）10解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得.故选A.（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是（A） （B）（C） （D）【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得，即，又；在反函数中，故选D.（2010陕西文数）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx（x表示不大于x的最大整数）可以表示为B（A）y（B）y（C）y（D）y解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设，所以选B（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f（xy）f（x）f（y）”的是C（A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数解析：本题考查幂的运算性质 （2010辽宁文数）（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，即，（2010辽宁文数）（10）设，且，则（A） （B）10 （C）20 （D）100解析：选A.又（2010辽宁文数）（4）已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（A） （B） （C） （D）解析：选C.函数的最小值是等价于，所以命题错误.（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值 范围是 (A)0,) (B) (D) 【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为，即tan a-1,所以（2010全国卷2文数）（7）若曲线在点处的切线方程是，则（A） (B) (C) (D) 【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ， ，在切线， （2010全国卷2文数）（4）函数y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是（A）y=-1(x0) (B) y=+1(x0) (C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数Y=1+LN（X-1）(X1)， （2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。（2010江西理数）9给出下列三个命题：函数与是同一函数；高考资源*网若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。其中真命题是A. B. C. D. 【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除A、B，验证, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。（2010安徽文数）（7）设，则a，b，c的大小关系是（A）acb （B）abc （C）cab （D）bca7.A【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.（2010安徽文数）（6）设,二次函数的图像可能是6.D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.（2010重庆文数）（4）函数的值域是（A） （B）（C） （D）解析：（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若（1，），（，+），则（A）f()0，f()0 （B）f()0，f()0（C）f()0，f()0 （D）f()0，f()0解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题（2010浙江文数）2.已知函数 若 =(A)0(B)1(C)2(D)3解析：+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题（2010重庆理数）(5) 函数的图象A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称解析： 是偶函数，图像关于y轴对称（2010山东文数）（11）函数的图像大致是答案：A（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件答案：C（2010山东文数）（5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3答案：A（2010山东文数）(3)函数的值域为A. B. C. D. 答案：A（2010北京文数）(6)给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）答案：B（2010北京文数）若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数答案：A（2010四川理数）（4）函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是（A） （B） （C） （D）解析：函数f(x)x2mx1的对称轴为x 于是1 m2答案：A（2010四川理数）（3）2log510log50.25（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252答案：C（2010四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A） （B） （C） （D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：D（2010天津文数）（10）设函数，则的值域是（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。依题意知，（2010天津文数）(6)设(A)acb (B) )bca (C) )abc (D) )bac【答案】D【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。因为【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。（2010天津文数）(5)下列命题中，真命题是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。（2010天津文数）（4）函数f（x）= (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f（0）=-10,所以零点在区间（0，1）上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【答案】B【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。（2010广东理数）3若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则Af（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数3D（2010广东文数）3.若函数与的定义域均为R，则A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数解:由于,故是偶函数,排除B、C由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C在，故，选D（2010广东文数）2.函数的定义域是A. B. C. D. 解：，得，选B.（2010福建文数）7函数的零点个数为 ( )A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。（2010全国卷1文数）(7)已知函数.若且，则的取值范围是(A) (B)(C) (D) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+).【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，过点时z最小为2,(C) （2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A) (B) (C) (D)（2010四川文数）(2)函数y=log2x的图象大致是(A) (B) (C) (D)解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.答案：C（2010湖北文数）5.函数的定义域为A.( ,1)B(,)C（1，+）D. ( ,1)（1，+）（2010湖北文数）3.已知函数，则A.4B. C.-4D-【答案】B【解析】根据分段函数可得，则，所以B正确.（2010山东理数）(11)函数y=2x -的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。（2010山东理数）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【答案】D（2010湖南理数）8.用表示a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称，则t的值为A-2 B2 C-1 D11.（2010安徽理数）2. （2010安徽理数）6、设，二次函数的图象可能是6.D【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.（2010福建理数）4函数的零点个数为 ( )A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。2010年高考数学试题分类汇编函数（2010上海文数）14.将直线、（，）围成的三角形面积记为，则 。解析：B 所以BOAC，=所以（2010上海文数）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 (0,-2) 。解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）（2010湖南文数）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g【答案】171.8或148.2【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为110（210110）0.618171.8或210（210110）0.618148.2【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。（2010陕西文数）13.已知函数f（x）若f（f（0）4a，则实数a 2 .解析：f（0）=2，f（f（0）=f(2)=4+2a=4a，所以a=2（2010重庆文数）(12)已知，则函数的最小值为_解析：，当且仅当时，（2010浙江文数）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。答案：20（2010重庆理数）（15）已知函数满足：，则=_.解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= （2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】m0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。M1,解得m-1.【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解（2010广东理数）9. 函数=lg(-2)的定义域是 .9 (1,+) ，（2010广东文数）（2010全国卷1理数）(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .（2010湖南理数）14过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 3. （2010福建理数）15已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”。其中所有正确结论的序号是 。【答案】【解析】对，因为，所以，故正确；经分析，容易得出也正确。【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。4 . （2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=1。5. （2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_。解析 考查分段函数的单调性。6. （2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，S的最小值是。2010年高考数学试题分类汇编函数（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。若实数、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解析：(1) x(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ（2010湖南文数）21（本小题满分13分）已知函数其中a0,且a-1.（）讨论函数的单调性；（）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在a,-a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，是的一个极大值点 ()求的取值范围；()设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（）解：f(x)=ex(x-a) 令于是，假设（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1a0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2). （2）由条件知 当a.0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 x 时 h (x)时，h (x)0，h(x)在（0，）上递增。所以x是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以（a）=h()= 2a-aln=2当a0时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值（a）的解析式为2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知（a）=2a(1-ln2a) 则 1（a ）=-2ln2a，令1（a ）=0 解得 a =1/2当 0a0，所以（a ） 在(0,1/2) 上递增当 a1/2 时， 1（a ）0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）设函数，求函数的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), ()小问5分，()小问7分.)已知函数(其中常数a,bR),是奇函数.()求的表达式;()讨论的单调性，并求在区间1,2上的最大值和最小值.（2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）b)。（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求（2010重庆理数）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）已知函数其中实数。（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.（2010北京文数）（20）（本小题共13分）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数（）解：=（1,0,1,0,1） =3()证明：设 因为，所以从而由题意知当时，当时，所以()证明：设记由（）可知所以中1的个数为k,中1的个数为设是使成立的的个数。则由此可知，三个数不可能都是奇数即三个数中至少有一个是偶数。（2010北京理数）(18)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：；（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，得ax0故g(x)，x(,1)(1,)由得t(x-1)2(7-x)，x2,6则t=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t+0-t5极大值3225所以t最小值5，t最大值32所以t的取值范围为5,325分(2) ln() ln令u(z)lnz22lnzz，z0则u(z)(1)20所以u(z)在(0,)上是增函数又因为10，所以u()u(1)0即ln0 即9分(3)设a，则p1，1f(1)3当n1时，|f(1)1|24当n2时设k2,kN *