红岭中学高三文科数学高考考前第二次适应性考试.doc

红岭中学2014届高三高考考前适应性测试（二）
数学（文科） 2014.5.29
本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.
参考公式：线性回归方程中系数计算公式：，
其中表示样本均值。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
．设集合，则等于
A．2 B．3 C．4 D．6
2．复数
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是
A． B． C． D．和
4．已知、满足约束条件，，，则函数的最小值是
A． B．0 C． D．不存在
0
1
2
3
7 3
7 6 4 4 3 0
7 5 5 4 3 2 0
8 5 4 3 0
5．某学校随机抽取个班，调查各班中有手机的人数，所得数据的茎叶图如图所示.以组距为将数据分组成，
，…，，时，所作的频率分布直方图是
人数
人数
0.04
0.02
0.01
O

5
10
15
20
25
30
35
40
O

5
10
15
20
25
30
35
40
O

10
20
30
40
O

10
20
30
40
0.01
0.02
0.03
0.05
0.01
0.02
0.03
0.04
0.04
0.03
0.04
0.02
0.03
人数
人数
0.01
B
A
C
D

6．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A． B． C． D．
7．某算法的程序框图如右图所示，若输入的的值为2014，则输出的的值为
开始
输入正整数
输出的值
结束

是
否
A． B．
C． D．
8．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
1
1
1
1
2
正视图
侧视图
俯视图

9.已知函数的图象与直线的交点的横坐标从小到大构成公差为的等差数列，则
A． B．
C．或 D．不一定等于
10.对于任意给定的两个正数，定义一种运算：。设，，则下列关系式中不一定成立的是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答
11．在等比数列中，若，, 则公比 ．
12．在直角三角形中，，，点满足，则_________.
13. 设双曲线－=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于_________.
（二）选做题：第14、15题为选做题，只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．
14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ+4=0，则圆心到直线的距离为 .
15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙和⊙都经
过点A和点B，PQ切⊙于点P，交⊙于Q、M，交AB
的延长线于N，，，则 .
三、解答题：本大题6小题，满分80分．写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)设，为△的面积，求的最大值，并指出此时的值．

17．（本小题满分12分）

如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得
平面．如果存在，请指出点的位置，如果不
存在，请说明理由。

18．（本小题满分14分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生

数学（分）

物理（分）

（1）要从名学生中选人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于分的概率；
（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程．

19.（本题满分14分）
数列的前项的和满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和。

20．（本题满分14分）
已知椭圆的离心率为，焦距长为4，左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为，为椭圆上异于的任意一点，为线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）求的最小值.

21．（本小题满分14分）
已知函数，（为实数）．
(1) 当时，求函数在处的切线方程；
(2) 求在区间（）上的最大值；
(3) 若存在两不等实数，使方程成立，求的取值范围．
红岭中学2014届高三高考考前适应性测试（二）
数学（文科）参考答案
一、选择题：BCDAB ACBCD
二、填空题：11．2；12．；13. ；14. ；15. 2。
三、解答题：本大题6小题，满分80分．写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)设，为△的面积，求的最大值，并指出此时的值．
16.解：(1)由余弦定理得cos A＝.………………………3分
又因0＜A＜π，所以.……………………………………………………………5分
(2)由(1)得sin A＝，又由正弦定理及a＝得
S＝bcsin A＝··sin A＝3sin Bsin C，…………………………………8分
因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)＝3cos(B－C)．……………10分
所以，当B＝C，即时，S＋3cos Bcos C取最大值3. ……………12分
17．（本小题满分12分）

如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得
平面．如果存在，请指出点的位置，如果不
存在，请说明理由。
17.证明：（1），

，
，因此，……2分
又因为在长方体中，有平面，而平面，
，又， ………………………………4分
平面； ………………………………6分
（2）存在，为的中点。 ………………………………7分
连接，，连接交于，
、分别为、的中点，
，于是为平行四边形，………………9分
， ……………………………………………10分
又平面，平面
平面。 …………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生

数学（分）

物理（分）

（1）要从名学生中选人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于分的概率；
（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程．
18.解：（1）从名学生中任取名学生的所有情况为:、、、、、、、、、共种情况.3分
其中至少有一人物理成绩高于分的情况有：、、、、、、共种情况，
故所求的概率. …………………………………………6分
（2）散点图如右所示. ……………………………………………8分
·
·
·
·
·

可求得：
==， ==，……………10分
，==40，
=0.75， ， ……………………13分
故关于的线性回归方程是：
. ……………………………………………14分
19.（本题满分14分）
数列的前项的和满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和。
19.解：（1）由， ①
得 ②………………………1分
①-②，得，即，
是等比数列， ……………………………………3分
又，， ………………………………4分
从而，，…………………………………6分
，故数列是公差为2的等差数列。…………………7分
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，， …………………9分
当为偶数时，；
当为奇数时，。……13分
………………………………………14分
20．（本题满分14分）
已知椭圆的离心率为，焦距长为4，左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为，为椭圆上异于的任意一点，为线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）求的最小值.
20．解：（1）由题意可知：……2分
解得
故椭圆的方程为；…………………………………………4分
（2）设，，在中，，由余弦定理及椭圆的定义得
……………………6分

（定值）； ……………………9分
（3）设，由，得的中点，所以
于是 . ……………………10分
………11分

，，
………13分
且，，
，即的最小值为。………………………………………14分
21．（本小题满分14分）
已知函数，（为实数）．
(1) 当时，求函数在处的切线方程；
(2) 求在区间（）上的最大值；
(3) 若存在两不等实数，使方程成立，求的取值范围．
21.解:（1）当时,,. ………1分
，故切线的斜率为. ………2分
所以切线方程为:； ………4分
(2),

单调递减
极小值(最小值)
单调递增

………6分
所以的最大值只有可能为或。

①当，即时, , 所以； ………7分
②当，即时, , 所以； ………8分
………9分
(3) 由，可得：， ………10分
整理得,
令, 则 .

单调递减
极小值(最小值)
单调递增
………12分
，
,, .
且. ………13分
实数的取值范围为 ………14分