2018高三数学全国二模汇编理科专题03导数与应用.doc

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】

一、选择题
1．【2018河南郑州高三二模】已知, ,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B

【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。
2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数的导函数为，当时， ，若， ，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 设，所以，
因为是定义域上的奇函数，所以是定义在实数集上的偶函数，
当时， ，此时为单调递增函数，
又由，所以，
即，故选D.
点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数，得出函数为单调递增函数和函数是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.
3．【2018湖南衡阳高三二模】已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值,则下列结论中正确的是( )
A. 存在 ,使得 B. 存在，使得
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】C

分析得的极大值点为，
， 在递增，在递减，当取得极大值，又
，
，即，令
，原命题转化为恒成立，
， 在上递增，
，
，所以的最大值为， 对、错，又，即不存在极大值点，排除，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

6．【2018重庆高三二诊】已知函数， ，若， ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由题意，即，即，
设，则，
若时， ，函数单调递增，无最大值，不适合题意；
当时，令，解得，
当时， ，函数单调递增，
当时， ，函数单调递减，
所以，即，即

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．
7．【2018甘肃兰州高三二模】已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则.
∵在上有恒成立
∴在上恒成立，即在上为减函数.
∴
∵
∴，故A，B不正确.
∵
∴
故选C.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
8．【2018河北唐山高三二模】已知函数 满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

点睛：本题的关键在于通过（x）能得到，得到，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.
9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足： 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数, ,有下列命题：
①在内单调递增；
②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为-4；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
④和之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C

，同理可得，故②正确，③错误，④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由
，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令 ， ，当时， ；当时， ；当时， ；当时， 取到极小值，极小值是，也是最小值，
，则， 函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.
【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的.
10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D

若直线y=1﹣mx经过点（，﹣2），则m=3e，
若直线y=1﹣mx与y=2lnx相切，设切点为（x，y）．
则，解得．
∴≤m≤3e．
故选：D．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

【点睛】
函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。由于导函数可以因式分解，只需 在区间恒大于等于0，或恒小于等于零，转化为恒成立问题，分离参数求得k范围。注意参数范围端点值是否可取。
二、填空题
12．【2018河南商丘高三二模】已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且.
给出以下结论：①；
②当时，的最小值为；
③当时，；
④当时，记数列的前项和为，则.
其中，正确的结论有__________．(写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
13．【2018宁夏银川高三4月质检】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题：
①当时，；
②函数有个零点；
③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；
④对恒成立，
其中，正确命题的序号是__________．
【答案】①④

若方程有解，则，且对恒成立，故③错误，④正确.
故答案为①④.
三、解答题
14．【2018河南郑州高三二模】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当时， .
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程。（2）由（1）当时， ，即， +,只需证,
x
试题解析：（Ⅰ） ， 由题设得， ，
在处的切线方程为

下证：当时，
设，则，
在上单调递减，在上单调递增，又
，∴，
所以，存在，使得，
所以，当时， ；当时， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，∴，当且仅当时取等号，故
.
又，即，当时，等号成立.
【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明x。所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明。
15．【2018青海宁夏高三一模】已知函数（）在处的切线与直线
平行.
（1）求的值并讨论函数在上的单调性；
（2）若函数（为常数）有两个零点（）
①求实数的取值范围；
②求证：
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析.

试题解析：
（1），
，∴.
∴
令，
则
∴时， ； 时， .
则在上单调递增，在上单调递减.
∴在时， ，
即时， ，
∴函数在上单调递减.
（2）①由条件可知， ，
则
∴在上单调递减，在上单调递增；
要使函数有两个零点，则
∴.

点睛：一般涉及导数问题中的证明，可考虑构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，极值，最值等问题，往往可解决此类证明题，本题就是构造函数后，利用导数确定其单调性，再根据，确定自变量的大小关系，从而求证不等式成立.
16．【2018陕西咸阳高三二模】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2） 若函数有两个零点， ，且，证明： .
【答案】（1）当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）由函数的解析式了的， ，分类讨论有：当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；

试题解析：
（1）， ，
当时， ，知在上是递减的；
当时， ，知在上是递减的，在上递增的.
（2）由（1）知， ， ，
依题意，即，
由得， ， ， ，
由及得， ，即，
欲证，只要，
注意到在上是递减的，且，
只要证明即可，
由得，
所以

， ，
令， ，
则，知在上是递增的，于是，即
，
综上， .

17．【2018北京顺义高三二模】已知函数,其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .

试题解析：（Ⅰ）当时，
∴
则，又
∴曲线在点处的切线方程为：
（Ⅱ）函数定义域为，且
下面对实数进行讨论：

18．【2018湖南衡阳高三二模】已知函数 .
(1)当时，证明： ；
(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）时， 即证,只需证明,利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，从而可得原不等式成立；(2) 依题在上恒成立，讨论三种情况：①当时，
单调递增； ,符合题意；②当时， ,不符合题意，舍去；③当存在部分不合题意，综合三种情况可得结果.
试题解析：证明：(1)当时，即证： ,
,令，
则,当时，有.
当时， 单调递增；
当时，有.当时， 单调递减， .取等号条件不不⼀致，
（此问可以参考如图理解）. .

①当时， 单调递增； ,符合题意
②当时， ,不符合题意，舍去.
③当.
,当时， 在时单调递减，
当时， 在单调递减， ，不符合题意舍去.
综上： .
19．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知，函数.
（I）当为何值时， 取得最大值？证明你的结论；
（II） 设在上是单调函数，求的取值范围；
（III）设，当时， 恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2) （3）

试题解析：
（I）∵，
∴
由得
则
∴在和上单调递减，在上单调递增
又时，且在上单调递增
∴
∴有最大值，当时取最大值.
（II）由（I）知

或
或

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.
20．【2018陕西高三二模】已知函数,直线与曲线切于点且与曲线切于点.
(1) 求的值和直线的方程；
(2)求证： .
【答案】（1）, ；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）分别求出的导数，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和切线方程；
(2)由(1)知， ，则即为证明.
设,通过求导研究函数的性质可得
.当时，等号成立.再设，则.命题得证.

(2)由，得
.
.
由(1)知， ，则
.
设,则.
当时， ；
当时， .
在单调递减，在单调递增，
.当时，等号成立.
设，则.
当且仅当时，等号成立.
又与不同时为0， .
.
故.
21．【2018海南高三二模】已知函数.
（1）证明：直线与曲线相切；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）

（2）解：设，则，
当时， ，
若， ，则，∴在上递增，从而.此时， 在上恒成立.
若，令 ，当时， ；
当时， .∴ ，
则不合题意.
故的取值范围为.
22．【2018河南商丘高三二模】已知函数.

（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；
（2）当时，求证：且，有.
【答案】（1），；（2）证明见解析.

试题解析：（1）函数的定义域为，且当时，．
又直线恰好通过原点，
∴函数的图象应位于区域Ⅳ内，
于是可得，
即．
∵，∴．
令，则．
∴时，，单调递增；
时，，单调递减．
∴
∴的取值范围是．

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
23．【2018四川德阳高三二诊】已知函数且.
（1）求实数的值；
（2）令在上的最小值为，求证：.
【答案】（1）.（2）见解析.
试题解析：（1）法1：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由于，所以当时，，不合题意.
当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即 .
所以要使在时恒成立，则只需，
亦即，
令，则，
所以当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增.
又，所以满足条件的只有2，
即.
法2：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，
令，由于，故 ，
所以为函数的最大值，同时也是一个极大值，故.
又，所以，
此时，当时，，当时，，
即：在上单调递增；在上单调递减.
故合题意.

24．【2018重庆高三二诊】已知函数， （， ）.
（1）若， ，求函数的单调区间；
（2）若函数与的图象有两个不同的交点， ，记，记， 分别是， 的导函数，证明： ．
【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减(2)见解析
【解析】试题分析：（1）由题意，得到，求得，利用导数即可判定函数单调性，求解单调区间；

试题解析：
（1）， ，
在上单调递增，在上单调递减．　
（2），
，
， ，
，即，
，
不妨设，令（），
下证,即，即，
， ，所以，
∴， ．
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式证明等问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
25．【2018安徽宣城高三二调】已知函数 (其中， ).
（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由.
【答案】（1）或；（2）

试题解析：（1）函数的定义域是， .
若在其定义域內递增，则.
∵
∴，
若在其定义域内递减，则
∵， 时，
∴；
综上， 或.

令， ，
令，
而， ，
故存在，使得在递减，在递增
∴或
∵
∴.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
26．【2018安徽马鞍山高三二模】已知函数.
（1）若对恒成立，求的取值范围；
（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.
【答案】（1）（2）见解析

试题解析：
（1）法一：记，
则，，
①当时，
∵，∴，∴在上单减，
又，∴，即在上单减，
此时，，即,所以a≥1.
②当时，
考虑时，，∴在上单增，
又，∴，即在上单増，,不满足题意.
综上所述，.
法二：当时，等价于，
，记，则，
∴在上单减，∴，
∴，即在上单减，，故.

点睛：本题的难点在第（2）问，先要把证明的不等式化简，由于的左边无法化简，所以要对左边进行化简，对不等式进行转化，不等式两边要取对数.再利用第（1）问的结论对数列的通项进行放缩，再求和，再证明不等式.
27．【2018广东茂名高三二模】已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（1），对a分类讨论，从而得到的单调性；
（2），则，对a分类讨论，研究函数的图象走势，从而得到的取值范围.
试题解析：
（1）由已知的定乂域为，又，
当时，恒成立；
当时，令得；令得.
综上所述，当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数.

当时，，∴，∴在上为增函数；
当时，，∴，∴在上为减函数；
当时，，∴，∴在上为增函数.
∵，∴在上只有一个零点 1，且。
∴
，
，
.
∵，又当时，.∴
∴在上必有一个零点.
∴
.
∵，又当时，，∴.
∴在上必有一个零点.
综上所述，故的取值范围为.
28．【2018河南高三4月适应性考试】已知函数.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.
【答案】（1）（2）3

试题解析：（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.
.
当时，，∴在上单调递增；
当时，，∴在上单调递减.
∴.
又∵时，，∴时，.
又∵时，.
综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.
（2）因为函数有两个极值点，
由，得有两个不同的根，（设）.
由（1）知，，，且，
且函数在，上单调递减，在上单调递增，
则 .
令，
则 ，
所以函数在上单调递增，
故，.又，；，，
所以函数恰有三个零点.
点睛：对于零点问题的处理，一般利用图像法分析解答.先求出函数的单调性、奇偶性、周期性、端点的取值等情况，再画出函数的图像分析函数的零点的个数.本题第（2）问，就是利用这种方法处理的.
29．【2018河北石家庄高三一模】已知函数， ，在处的切线方程为.
（1）求， ；
（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： .
【答案】（1）， ；（2）见解析

解析：（1）由题意，所以，
又，所以，
若，则，与矛盾，故， .
（2）由（Ⅰ）可知， ，
设在(-1，0)处的切线方程为，
易得， ，令
即， ，
当时，
当时，

设的根为，则，
又函数单调递减，故，故，
设在(0,0)处的切线方程为，易得，
令， ，
当时， ，
当时，

故函数在上单调递增，又，
所以当时， ，当时， ，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
， ，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故，
又，
.
点睛：本题主要考查了运用导数几何意义求出解析式和利用导数证明不等式成立，在证明不等式时通过构造新函数，结合单调性证得大小关系，适当的放缩得出结论，本题需要较强的构造和分析，较为困难，属于难题。
30．【2018河北唐山高三二模】设 .
（1）证明： 在上单调递减；
（2）若，证明： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导,证明0＜x＜1时, f¢(x)＜0 .(2)第（2）问，
分0＜a≤和＜a＜1两种情况证明，每一种情况都是先通过求单调性再求函数的最小值大于1.

（2）g¢(x)＝axlna＋axa－1＝a(ax－1lna＋xa－1)，
当0＜a≤时，lna≤－1，所以ax－1lna＋xa－1≤xa－1－ax－1．
由（Ⅰ）得，所以(a－1)lnx＜(x－1)lna，即xa－1＜ax－1，
所以g¢(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，
即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．
当＜a＜1时，－1＜lna＜0．

点睛：本题的难点在第（2）问，当0＜a≤时求导之后，怎么证明g¢(x)＝axlna＋axa－1＝a(ax－1lna＋xa－1)＜0，其中用到了第一问的结论，不然不是很好判断导数的正负.