2018高三数学全国二模汇编理科专题07圆锥曲线.doc

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】

一、单选题
1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 2
【答案】A

点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知是抛物线的焦点， 为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最小值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C

设切点，由的导数为，则的斜率为.
∴，则.
∴，
∴
故选C．
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，
这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )

A. 23 B. 42 C. 12 D. 52
【答案】A

【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交于，则有，抛物线的极坐标方程为，所以 ，
，所以，即证。
4．【2018陕西咸阳高三二模】双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为： ，其斜率为： ，
其中一条渐近线与直线平行，则： ，
则双曲线的离心率： .
本题选择A选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
5．【2018湖南衡阳高三二模】已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )
A. 3 B. C. D. 1
【答案】D

6．【2018陕西高三二模】已知点分别为双曲线的左、右两个焦点，点是双曲线右支上一点，若点的横坐标时，有，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
【答案】A

7．【2018陕西高三二模】已知,点是外一点，则过点的圆的切线的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，即（ 故圆心是 ，半径是4，点 点
是外一点，显然 是过点的圆的一条切线，
设另一条切线和圆相切于 则的斜率是直线的方程是：
故
解得： 故切线方程是
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线方程问题，考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离，解题时应注意切线斜率不存在的情况.
8．【2018河南商丘高三二模】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线的右支上存在点，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9．【2018四川德阳高三二诊】如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】设 ，则由过抛物线的焦点的直线的性质可得

又 ，可得

分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，则 同理可得，
故选B.
10．【2018河南商丘高三二模】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相切，记到直线的距离分别为，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B

11．【2018四川德阳高三二诊】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】双曲线的离心率为，则 故其一条渐近线不妨为 ，
圆的圆心，半径为2，
双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，
可得圆心到直线的距离为：
故选D．
12．【2018重庆高三4月二诊】已知双曲线（， ）的左右焦点分别为， ，点在双曲线的左支上， 与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D

点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
13．【2018甘肃兰州高三二模】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点， 为垂足，若直线的斜率，则线段的长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C

14．【2018安徽马鞍山高三二模】已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设,

由题得，
所以，故选C.
点睛：本题的难点在于计算出要观察变形
,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.
15．【2018安徽马鞍山高三二模】如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）

A. B. 2 C. D.
【答案】C

16．【2018广东茂名高三二模】以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件可得，，∴，即，
∴
故选：B
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
17．【2018河北唐山高三二模】椭圆右焦点为，存在直线与椭圆交于两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆的离心率 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B

18．【2018河北邯郸高三一模】设双曲线： 的左顶点与右焦点分别为， ，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（ ）
A. 存在唯一的，且
B. 存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内
C. 存在唯一的，且
D. 存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内
【答案】A
【解析】由题意可设，可得的垂心H，因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以
，所以存在唯一的，且，当时无零点，选A.
点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
19．【2018安徽合肥高三质检二】已知双曲线的左，右焦点分别为， ， ， 是双曲线上的两点，且， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设， 是双曲线左支上的两点，

点睛：
(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
20．【2018湖南郴州高三二模】如图， 是抛物线 ()的焦点，直线过点且与抛物线及其准线交于, , 三点，若,，则抛物线的标准方程是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|=a，则|BC|=3a，|BD|=a，
∴，
在直角三角形ACE中，∵|AB|=9，|AC|=9+3a，
∴3|AE|=|AC|，
∴=9+3a，即a=3，
∵BD∥FG，∴，即，解得p=4，
∴抛物线的方程为y2=8x．
故选：C．
二、填空题
21．【2018黑龙江大庆高三质检二】已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足
，则__________．
【答案】.

点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
22．【2018河南郑州高三二模】已知椭圆的右焦点为,且离心率为， 的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0. 为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．
【答案】

【点睛】
点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程
为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
①

②
由等式可知：其中直线的斜率， 中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法。
23．【2018陕西咸阳高三二模】具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角轴大小为，已知在内的曲线的方程是，曲线在平面内射影的方程，则的值是__________．

【答案】

24．【2018湖南衡阳高三二模】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点，若,则直线的斜率为__________．
【答案】
【解析】由题意得， ，由，配方为，可得，
所以直线过圆心 ，可设直线的方程为，联立
，化为， ，
，由，可得，故答案为
.
25．【2018上海普陀区高三二模】点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为__________.
【答案】

【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；②图象法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.
26．【2018宁夏银川高三4月质检】设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点且的面积为，则该抛物线的方程为__________．
【答案】或
【解析】根据题意作出如图所示的图象：

其中，，为双曲线的准线，且准线方程为，，.

点睛：解答本题的关键是借助题设条件，解答本题的关键是利用三角形中位线的性质得点的纵坐标，再根据三角形面积，数形结合求得，然后再依据已知条件建立方程求出，使得问题获解.
三、解答题
27．【2018河南郑州高三二模】已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ) 是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) 存在定点.

试题解析：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故．
所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中， 曲线方程为.
(Ⅱ)假设存在满足题意的定点，设设直线的方程为， ．由消去，得
由直线过椭圆内一点作直线故，由求根公式得：

由得,得直线得与斜率和为零.故

存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．
【点睛】求曲线方程常见有定义法、几何转化法、相关点法、参数法等，本题是几何法，对于有明显几何意义关系的，如本题两圆内切，可先写出几何关系，再转化为所求点的几何关系，即可求出轨迹方程。
28．【2018陕西咸阳高三二模】已知， ，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？
【答案】（1）；（2）.

法2：设，则曲线在点处切线方程为，令，得，据此可得圆的方程为，讨论可得为直径的圆过轴上一定点.
试题解析：
（1）设，则依题意得，又， ，所以有
，整理得，即为所求轨迹方程.

设为以为直线的圆上一点，则由，
得，
整理得，
由的任意性得且，解得，
综上知，以为直径的圆过轴上一定点.
法2：设，则曲线在点处切线： ，令，得
，设，则由得
，即，
由的任意性得且，解得，
综上知，以为直径的圆过轴上一定点.
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
29．【2018北京顺义高三二模】已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点 满足条件.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明： .
【答案】(1) ;(2)见解析.

试题解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为：
∴，
则，
∵，解得
（Ⅱ）方法一：
①若直线的斜率不存在，则， ，符合题意

∴
∵，
∴
方法二：依题意可设直线的方程为： ，并设.—5分
联立方程组，消去，得
∴,
∵

【点睛】本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
30．【2018湖南衡阳高三二模】已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.
①求的最大值；
②当取得最大值时，求的值.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据离心率为、圆心到直线距离等于半径，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆 的方程；(2) 直线与圆相切得： ，将直线代入椭圆的方程得：
①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果；②当取得最大值时， ， .

(2)由直线与圆相切得： .
设.将直线代入椭圆的方程得：

,且
.

设点到直线的距离为,故的面积为：
,
当.等号成立.故的最大值为1.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
31．【2018四川德阳高三二诊】已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）.（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）设，，，由，可得由，所以代入即可求得椭圆方程；
（2）由题意设直线的方程为：，，，
将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得则
，因此存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，使得与的斜率之积为常数．

（2）由题意设直线的方程为：，，，
由得：，
所以.
故 ，
，
假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则

.
当，且时，为常数，解得.
显然当时，常数为；当时，常数为，
所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为.
32．【2018上海黄浦高三二模】已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，若的面积(是坐标系原点)，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.

试题解析：(1)结合题意，可得.
又，于是，，化简得
.
因此，所求动点的轨迹的方程是.
(2) 联立方程组
得.
设点，则
于是，弦，
点到直线的距离.
由，得 ，化简得
，解得，且满足，即都符合题意.
因此，所求直线的方程为.
33．【2018重庆高三二诊】椭圆： 的左右焦点分别为， ，左右顶点分别为， ， 为椭圆上的动点（不与， 重合），且直线与的斜率的乘积为
．

（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于， ， ， 四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1) (2)见解析， 经过定点为

试题解析：
（1）设，由题，整理得，
，整理得，
结合，得， ，
所求椭圆方程为．

点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
34．【2018安徽马鞍山高三质监二】直线与抛物线交于两点，且
，其中为原点.
（1）求此抛物线的方程；
（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.
【答案】（1）（2）2
【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用韦达定理和数量积公式把转化成p的方程，再解方程得解. (2)第（2）问，分别计算出与的面积，再计算出它们的面积比.

（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.
设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，
所以，
，
所以与的面积比为2.
点睛：本题的技巧在第（2）问，计算与的面积时，要注意灵
活.,.计算准了，后面的面积比就容易求解了.
35．【2018河北唐山高三二模】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.
（1）若,求直线的方程；
（2）线段的垂直平分线与直线轴， 轴分别交于点，求 的最小值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】试题分析：（1）第（1）问，设出直线l的方程，把直线的方程和抛物线方程联立，得到韦达定理，根据韦达定理和已知直线的方程.(2)先计算出点M,N,C,D,F的坐标，再计算出两个三角形的面积，再求，最后利用基本不等式求它的最小值.

（2）由（1）可知，m≠0，C(0，－ )，D(2m2＋1，2m)．
则直线MN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，则
M(2m2＋3，0)，N(0，2m3＋3m)，F(1，0)，
S△NDC＝·|NC|·|xD|＝·|2m3＋3m＋|·(2m2＋1)＝，
S△FDM＝·|FM|·|yD|＝·(2m2＋2)·2|m|＝2|m| (m2＋1)，
则＝＋1≥2，
当且仅当m2＝，即m2＝时取等号．
所以， 的最小值为2．
点睛：本题第（2）问，求 的最小值，主要利用了函数的方法，先求出＝，再想方法求它的最值.函数的思想是高中数学处理最值问题常用的思想，大家要理解掌握并灵活运用.
36.【2018河北石家庄高三一模】已知椭圆： 的左、右焦点分别为， ，且离心率为， 为椭圆上任意一点，当时， 的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线， 分别与椭圆交于点， ，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证： 为定值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设由题，由此求出,可得椭圆的方程；

设直线的方程为，则由消去通过运算可得
，同理可得，由此得到直线的斜率为，
直线的斜率为，进而可得.
试题解析：（1）设由题，
解得，则，
椭圆的方程为.

当直线的斜率不存在时，同理可得.
当直线、的斜率存在时，，
设直线的方程为，则由消去可得：
，
又，则，代入上述方程可得
，
，则
，