2018高中数学统计案例1213相关系数可线性化的回归分析学案北师大版.docx

1.2　相关系数
1.3　可线性化的回归分析
学习目标　1.了解线性相关系数r的求解公式，并会初步应用.2.理解回归分析的基本思想.
3.通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．

知识点一　相关系数
1．相关系数r的计算
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r＝＝
＝.
2．相关系数r的性质
(1)r的取值范围为[－1,1]．
(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高．
(3)|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．
3．相关性的分类
(1)当r>0时，两个变量正相关．
(2)当r<0时，两个变量负相关．
(3)当r＝0时，两个变量线性不相关．

知识点二　可线性化的回归分析
曲线方程
曲线图形
变换公式
变换后的线性函数
幂函数曲线
y＝axb

c＝lna
v＝lnx
u＝lny
u＝c＋bv
指数曲线
y＝aebx

c＝lna
u＝lny
u＝c＋bx
倒指数曲线

c＝lna
v＝
u＝lny
u＝c＋bv
对数曲线
y＝a＋blnx

v＝lnx
u＝y
u＝a＋bv

1．回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．(　√　)
2．若r＝0，则说明两变量是函数关系．(　×　)
3．样本相关系数的范围是r∈(－∞，＋∞)．(　×　)

类型一　线性相关系数及其应用
例1　下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝，a＝－b.
解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28，＝0.55.
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103，
a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将2020年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
反思与感悟　(1)散点图只能直观判断两变量是否具有相关关系．
(2)相关系数能精确刻画两变量线性相关关系的强弱．
跟踪训练1　变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的相关系数r的最接近的值为(　　)

A．1B．－0.5C．0D．0.5
考点　
题点　
答案　C
解析　从散点图中，我们可以看出，x与y没有线性相关关系，因而r的值接近于0.
类型二　可线性化的回归分析
例2　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(xi－)2
(wi－)2
(xi－)
·(yi－)
(wi－)·
(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8

表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)当年宣传费x＝49时，年销售量的预报值是多少？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β＝，α＝－β.
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于d＝＝＝68，
c＝－d＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68.
(3)由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值y＝100.6＋68＝576.6.
反思与感悟　由样本数据先作散点图，根据散点图的分布规律选择合适的函数模型．如果发现具有线性相关头系，可由公式或计算器的统计功能，求得线性回归方程的两个参数．如果发现是指数型函数或二次函数，可以通过一些代数变换，转化为线性回归模型．
跟踪训练2　在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1

求y关于x的回归方程．
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
解　由数值表可作散点图如图，

根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设y＝，令t＝，则y＝kt，原数据变为：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1

由置换后的数值表作散点图如下：

由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
i
ti
yi
tiyi
t
1
4
16
64
16
2
2
12
24
4
3
1
5
5
1
4
0.5
2
1
0.25
5
0.25
1
0.25
0.0625
∑
7.75
36
94.25
21.3125

所以＝1.55，＝7.2.
所以b＝≈4.1344，
a＝－b≈0.8.
所以y＝4.1344t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是y＝＋0.8.

1．给定y与x是一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则(　　)
A．y与x的线性相关性很强
B．y与x线性不相关
C．y与x正线性相关
D．y与x负线性相关
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　D
解析　因为|r|＝|－0.690|<0.75，
所以y与x的线性相关性一般，
又因为r＝－0.690<0，
所以y与x负线性相关．
2．某种细胞在培养正常的情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128

根据表中的数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于(　　)
A．200B．220C．240D．260
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
答案　A
解析　由表可得时刻t(单位：分)与细胞数n满足回归方程n＝，由此可知n＝1000时，t接近200.
3．对于回归分析，下列说法错误的是(　　)
A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　D
解析　∵相关系数|r|≤1，∴D错误．
4．由两个变量x与y的散点图可看出样本点分布在一条曲线y＝x2的附近，若要将其线性化，则只需要设________即可．
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
答案　t＝x2
解析　设t＝x2，则y＝t为线性回归方程．
5．一唱片公司研究预支出费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得到如下的资料：i＝28，＝303.4，i＝75，＝598.5，
iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________．
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　0.3
解析　根据公式得相关系数
r＝＝＝0.3，
所以|r|＝0.3.

1．散点图的优点是直观．但是有时不能准确判断，尤其数据较多时，不易作出散点图．这时可根据线性相关系数r来判断．
2．对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决.

一、选择题
1．若两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归方程为y＝bx＋a，那么(　　)
A．b·r>0 B．b·r<0
C．a·r>0 D．a·r<0
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　A
解析　对于回归方程y＝bx＋a，当b>0时，x和y正相关，则r>0；
当b<0时，x和y负相关，则r<0.
综上所述，b·r>0.
2．关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法：
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
其中正确的有(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　D
解析　根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：
当r为正数时，表示变量x，y正相关；
当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；
|r|越接近于1，相关程度越强；
|r|越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确．
3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：

甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85

则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是(　　)
A．甲B．乙C．丙D．丁
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　D
解析　由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性更强，故选D.
4．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，为将y转化为关于t的线性回归方程，则需作变换t等于(　　)
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不对
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
答案　C
解析　y关于t的线性回归方程，实际上就是y关于t的一次函数，
因为y＝a2＋(a≠0)，
故选C.
5．对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为(　　)
A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx
C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
答案　A
解析　对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝lny，c＝lna代入，不难得出u＝c＋bx.
6．某奶茶店为了了解奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的奶茶的杯数与气温的对照表：
气温x(℃)
26
19
14
10
4
－1
杯数y
201
242
339
383
505
640

经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么，对于气温x(℃)与奶茶销售量y(杯)这两个变量，下列判断正确的是(　　)
A．呈正相关，其回归直线经过点(12,385)
B．呈负相关，其回归直线经过点(12,385)
C．呈正相关，其回归直线经过点(12,386)
D．呈负相关，其回归直线经过点(12,386)
考点　线性回归直线方程
题点　样本点中心的应用
答案　B
解析　画出散点图(图略)可知成负相关，
又根据表中数据可得＝＝12，
＝＝385，故选B.
7．有一组数据如下表：
X
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
Y
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93

现准备从以下函数中选择一个能够近似地表示这组数据满足的规律，其中拟合最好的是(　　)
A．y＝－2x－2 B．y＝log2x
C．y＝2x－1＋1 D．y＝x2－
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
答案　D
解析　把X看作自变量，Y看作其函数值，从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快．
A选项中一次函数是以一个恒定的幅度变化，其图像是直线，不符合本题的变化规律．
B选项为对数型函数，随着X的增大Y的递增速度不断变慢，不符合本题的变化规律．
C选项为指数型函数，随着X的增大Y的递增速度不断变快，但增长速度超出题目中Y的增长速度，不符合本题的变化规律．
D选项是二次函数，对比数据知，其最接近这组数据的变化趋势．故选D.
8.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图，以下说法正确的是(　　)

A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．由直线l可知，r一定小于0
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　D
解析　因为r的符号与线性回归方程y＝a＋bx斜率符号相同，故r一定小于0.
二、填空题
9．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　1
解析　根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线y＝x＋1上时，相关系数为1.
10．若已知(yi－)2是(xi－)2的4倍，(xi－)(yi－)是(xi－)2的1.5倍，则相关系数r的值为________．
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　
解析　由r＝，得r＝.
11．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令z＝lny，求得线性回归方程为z＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为______．
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
答案　y＝e0.25x－2.58
解析　因为z＝0.25x－2.58，z＝lny，
所以y＝e0.25x－2.58.

三、解答题
12．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(数据：＝3.16×10－12，＝45.7，＝－11.5，
(Ii－)2＝1.56×10－11，
(Wi－)2＝0.51，
(Ii－)(Di－)＝6.88×10－11，
(Wi－)(Di－)＝5.1，
其中Wi＝lgIi，＝i)
根据给出的数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D＝a＋blgI；
附：对于一组数据(μ1，υ1)，(μ2，υ2)，…，(μn，υn)，其回归直线υ＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β＝，α＝－β.
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
解　令Wi＝lgIi，先建立D关于W的线性回归方程，
由于b＝＝＝10，
∴a＝－b＝160.7，
∴D关于W的线性回归方程为D＝10W＋160.7，
∴D关于I的回归方程为D＝10lgI＋160.7.
四、探究与拓展
13．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0，平移坐标系，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．
考点　线性相关系数
题点　线性相关系数的应用
答案　一、三
解析　因为r>0时，b>0，
所以大多数的点都落在第一、三象限．
14．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(万册)有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15

令μ＝，检验每册书的成本费y与μ之间是否具有线性相关关系，若有，求出y对μ的回归方程．
(参考数据：＝1.413014，＝171.803，iyi＝15.20878)
考点　非线性回归分析
题点　非线性回归分析
解　设μ＝，则y与μ的数据关系如下表所示：
μ
1
0.5
0.33
0.2
0.1
0.05
0.033
0.02
0.01
0.005
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15

由上表可以得到＝×(1＋0.5＋…＋0.005)＝0.2248，
＝×(10.15＋5.52＋…＋1.15)＝3.14，
则r＝≈0.9998.
由于r的值非常接近于1，这表明两个变量的线性相关关系很强，从而求y与μ的回归方程有意义．
又b＝≈8.98，
则a＝－b＝3.14－8.98×0.2248≈1.12，
所以y关于μ的回归方程为y＝1.12＋8.98μ.