2023年考研数学必背公式大全.doc

硕士硕士统一入学考试
数学公式大全

导数公式：
基本积分表：
三角函数有理式积分：

某些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：
·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理： ·余弦定理：
·反三角函数性质：
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分近似计算：

定积分应用有关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上应用：
方向导数与梯度：

多元函数极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

某些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为周期函数傅立叶级数：
微分方程有关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式通解
两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

线性代数某些

1、行列式
1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；
2. 代数余子式性质：
①、和大小无关；
②、某行（列）元素乘以其他行（列）元素代数余子式为0；
③、某行（列）元素乘以该行（列）元素代数余子式为；
3. 代数余子式和余子式关系：
4. 设行列式：
将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；
将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；
将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；
将主副角线翻转后，所得行列式为，则；
5. 行列式重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素乘积；
②、副对角行列式：副对角元素乘积；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素乘积；
④、和：副对角元素乘积；
⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标连乘积；
⑦、特性值；
6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
7. 证明措施：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、运用秩，证明；
⑤、证明0是其特性值；
2、矩阵
1. 是阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
行（列）向量组线性无关；
齐次方程组有非零解；
，总有唯一解；
与等价；
可体现到若干个初等矩阵乘积；
特性值全不为0；
是正定矩阵；
行（列）向量组是一组基；
是中某两组基过渡矩阵；
2. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；
3.

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 有关分块矩阵重要结论，其中均、可逆：
若，则：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
②、；（主对角分块）
③、；（副对角分块）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
3、矩阵初等变换与线性方程组
1. 一种矩阵，总可通过初等变换化为原则形，其原则形是唯一确定：；
等价类：所有与等价矩阵构成一种集合，称为一种等价类；原则形为其形状最简朴矩阵；
对于同型矩阵、，若；
2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必要为1；
③、每行首个非0元素所在列其她元素必要为0；
3. 初等行变换应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、 若，则可逆，且；
②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；
③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，假如，则可逆，且；
4. 初等矩阵和对角矩阵概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵，乘各行元素；右乘，乘各列元素；
③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；
⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；
5. 矩阵秩基本性质：
①、；
②、；
③、若，则；
④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵秩）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、假如是矩阵，是矩阵，且，则：（※）
Ⅰ、列向量所有是齐次方程组解（转置运算后结论）；
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵，则；
6. 三种特殊矩阵方幂：
①、秩为1矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）形式，再采用结合律；
②、型如矩阵：运用二项展开式；
二项展开式：；
注：Ⅰ、展开后有项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合性质：；
③、运用特性值和相似对角化：
7. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵秩：；
②、伴随矩阵特性值：；
③、、
8. 有关矩阵秩描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式所有为0；（两句话）
②、，中有阶子式所有为0；
③、，中有阶子式不为0；
9. 线性方程组：，其中为矩阵，则：
①、与方程个数相似，即方程组有个方程；
②、与方程组得未知数个数相似，方程组为元方程；
10. 线性方程组求解：
①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由个未知数个方程方程组构成元线性方程：
①、；
②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）
③、（所有按列分块，其中）；
④、（线性表出）
⑤、有解充要条件：（为未知数个数或维数）
4、向量组线性有关性
1. 个维列向量所构成向量组：构成矩阵；
个维行向量所构成向量组：构成矩阵；
具有有限个向量有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组线性有关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量线性表出 与否有解；（线性方程组）
③、向量组互相线性体现 与否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵与行向量组等价充足必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)
4. ；(例15)
5. 维向量线性有关几何意义：
①、线性有关 ；
②、线性有关 坐标成比例或共线（平行）；
③、线性有关 共面；
6. 线性有关与无关两套定理：
若线性有关，则必线性有关；
若线性无关，则必线性无关；（向量个数加加减减，两者为对偶）
若维向量组每个向量上添上个分量，构成维向量组：
若线性无关，则也线性无关；反之若线性有关，则也线性有关；（向量组维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性体现，且线性无关，则(二版定理7)；
向量组能由向量组线性体现，则；（定理3）
向量组能由向量组线性体现
有解；
（定理2）
向量组能由向量组等价（定理2推论）
8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；
①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解
②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；
③、矩阵等价：（、可逆）；
9. 对于矩阵与：
①、若与行等价，则与行秩相等；
②、若与行等价，则与同解，且与任何对应列向量组具有相似线性有关性；
③、矩阵初等变换不变化矩阵秩；
④、矩阵行秩等于列秩；
10. 若，则：
①、列向量组能由列向量组线性体现，为系数矩阵；
②、行向量组能由行向量组线性体现，为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组解一定是解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 只有零解只有零解；
②、 有非零解一定存在非零解；
12. 设向量组可由向量组线性体现为：（题19结论）
（）
其中为，且线性无关，则组线性无关；（与列向量组具有相似线性有关性）
（必要性：；充足性：反证法）
注：当时，为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵，存在， 、列向量线性无关；（）
②、对矩阵，存在， 、行向量线性无关；
14. 线性有关
存在一组不全为0数，使得成立；（定义）
有非零解，即有非零解；
，系数矩阵秩不不小于未知数个数；
15. 设矩阵秩为，则元齐次线性方程组解集秩为：；
16. 若为一种解，为一种基本解系，则线性无关；（题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵或（定义），性质：
①、列向量都是单位向量，且两两正交，即；
②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；
③、若、正交阵，则也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘掉施密特正交化和单位化；
2. 施密特正交化：
；

;
3. 对于一般方阵，不一样特性值对应特性向量线性无关；
对于实对称阵，不一样特性值对应特性向量正交；
4. ①、与等价 通过初等变换得到；
，、可逆；
，、同型；
②、与协议 ，其中可逆；
与有相似正、负惯性指数；
③、与相似 ；
5. 相似一定协议、协议未必相似；
若为正交矩阵，则，（协议、相似约束条件不一样，相似更严格）；
6. 为对称阵，则为二次型矩阵；
7. 元二次型为正定：
正惯性指数为；
与协议，即存在可逆矩阵，使；
所有特性值均为正数；
各阶次序主子式均不不不小于0；
；(必要条件)

概率论与数理记录某些

1．随机事件及其概率
吸取律：

反演律：

2．概率定义及其计算

若
对任意两个事件A，B，有
加法公式：对任意两个事件A，B，有

3．条件概率
乘法公式

全概率公式

Bayes公式

4．随机变量及其分布
分布函数计算

5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布

(2) 二项分布
若P ( A ) = p

* Possion定理

有
(3) Poisson 分布

6．持续型随机变量
(1) 均匀分布

(2) 指数分布

(3) 正态分布 N (m ，s 2 )

* N (0,1) — 原则正态分布

7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )分布函数

边缘分布函数与边缘密度函数

8. 持续型二维随机变量
(1) 区域G 上均匀分布，U ( G )

(2) 二维正态分布
9. 二维随机变量 条件分布

10. 随机变量数字特性
数学期望

随机变量函数数学期望
X k 阶原点矩
X k 阶绝对原点矩
X k 阶中心矩
X 方差
X ,Y k + l 阶混合原点矩
X ,Y k + l 阶混合中心矩

X ,Y 二阶混合原点矩
X ,Y 二阶混合中心矩 X ,Y 协方差

X ,Y 有关系数

X 方差
D (X ) = E ((X - E(X))2)

协方差

有关系数
简朴整顿了一下，中心极限定理及数理记录某些多概念少公式故未详细列出，有问题可以给我来信，但愿能与人们多交流。