江苏省专转本高等数学模拟试题二.doc

2010江苏省专转本高等数学模拟试题二一. 选择题： *1. 设函数，是的反函数，则（ ） A. B. C. D. 令 ，反函数为，选B *2. 若是的极值点，则（ ） A. 必定存在，且 B. 必定存在，但不一定等于零 C. 可能不存在 D. 必定不存在 应选C。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在 *3. 设有直线，则该直线必定（ ） A. 过原点且垂直于x轴 B. 过原点且平行于x轴 C. 不过原点，但垂直于x轴 D. 不过原点，且不平行于x轴 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，故直线与x轴垂直，故应选A。 *4. 幂级数在点处收敛，则级数（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与有关 在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。 5. 对微分方程，利用待定系数法求其特解时，下面特解设法正确的是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题： *6. _. 7. 设，则_. *8. 设，则_. 解： *9. _. 解 10. 设，则_. *11. 已知，则过点且同时平行于向量和的平面的方程为_. 面的法向量为 平面的方程为即 12. 微分方程的通解是_. *13. 幂级数的收敛区间是_. 解：令， 由解得，于是收敛区间是 14. 设，则与同方向的单位向量_. *15. 交换二次积分的次序得_. 解：积分区域如图所示：D：，于是 三. 解答题： *16. 计算 解： *17. 设，求 解： 18. 判定函数的单调区间 19. 求由方程所确定的隐函数的微分 *20. 设函数，求 解：设，则，两边求定积分得 解得：，于是 21. 判定级数的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？ 22. 设，求 23. 求微分方程的通解 *24. 将函数展开为麦克劳林级数 解： （） 即 25. 设，求 26. 求函数在条件之下的最值。 *27. 求曲线的渐近线 解：（1） 曲线没有水平渐近线 （2），曲线有铅直渐近线 （3） 所以曲线有斜渐近线 *28. 设区域为D：，计算 解：积分区域如图所示（阴影部分） 参考答案一. 1. 令 ，反函数为，选B 2. 应选C。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在 3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，故直线与x轴垂直，故应选A。 4. 在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。 5. 特征根为，由此可见（）是特征根，于是可设，应选C。二. 6. 7. 8. 解： 9. 解 10. （） 11. 平面的法向量为 平面的方程为即 12. 解： 通解为 13. 解：令， 由解得，于是收敛区间是 14. ， 15. 解：积分区域如图所示：D：，于是 三. 16. 解： 17. 解： 18. 解： 当时，函数单调增加；当或时，函数单调减少，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 19. 解：方程两边对求导（注意是的函数）： 解得 20. 解：设，则，两边求定积分得 解得：，于是 21. 解：（1）先判别级数的收敛性 令 发散 发散 （2）由于所给级数是交错级数且 由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。 22. 解： 23. 先求方程的通解： 特征方程为 ，特征根为，于是齐次方程通解为 （1） 方程中的，其中不是特征根，可令 则， 代入原方程并整理得 ， （2） 所求通解为 24. 解： （） 即 25. 解：因由得 ，从而 26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值 当时，函数取到最大值 当时，函数取到最小值0 27. 解：（1） 曲线没有水平渐近线 （2），曲线有铅直渐近线 （3） 所以曲线有斜渐近线 28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）