近十年江苏省专转本高等数学试题分类整理.doc

江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学

专转本高数试卷结构
知识分类与历年真题
l 函数、极限和连续
l 一元函数微分学
l 一元函数积分学
l 向量代数与空间解析几何
l 多元函数微积分
l 无穷级数
l 常微分方程
时间排序与参考答案
u 2004年高等数学真题参考答案
u 2005年高等数学真题参考答案
u 2006年高等数学真题参考答案
u 2007年高等数学真题参考答案
u 2008年高等数学真题参考答案
u 2009年高等数学真题参考答案
u 2010年高等数学真题参考答案
u 2011年高等数学真题参考答案
u 2012年高等数学真题参考答案
u 2013年高等数学真题参考答案

江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学试卷结构
全卷满分150分
一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
知识分类与历年真题
一、函数、极限和连续
（一）函数
（0401）是（ ）
A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数
（0801）设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
（二）极限
（0402）当时，是关于的（ ）
A.高阶无穷小 B.同阶无穷小 C.低阶无穷小 D.等价无穷小
（0407）设，则 ．
（0601）若，则（ ）
A. B. C. D.
（0607）已知时，与是等价无穷小，则 ．
（0613)计算．
（0701）若，则（ ）
A. B. C. D.
（0702）已知当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，则正整数（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（0813）求极限：．
（0901）已知，则常数的取值分别为（ ）
A. B. C. D.
（0907）已知，则常数 ．
（1001）设当时，与是等价无穷小，则常数的值为 ( )
A. B. C. D.
（1007） ．
（1101）当时，函数是函数的( )
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小
（1107）已知，则_________．
（1201）极限（ ）
A. B. C. D.
（1301）当时，函数是函数的（ ）
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小
（1310）设，则常数 ．
（三）连续
（0413）求函数的间断点，并判断其类型．
（0501）是的（ ）
A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点
（0513）设在内连续，并满足，，求．
（0602）函数在处（ ）
A.连续但不可导 B.连续且可导 C.不连续也不可导 D.可导但不连续
（0608）若，且在处有定义，则当 时，在处连续．
（0707）设函数，在点处连续，则常数 ．
（0807）设函数，则其第一类间断点为 ．
（0808）设函数在点处连续，则＝ ．
（0902）已知函数，则为的（ ）
A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D.震荡间断点
（1123）设，问常数为何值时：
（1）是函数的连续点？
（2）是函数的可去间断点？
（3）是函数的跳跃间断点？
（1202）设，则函数的第一类间断点的个数为（ ）
A. B. C. D.
（1207）要使函数在点处连续，则需补充定义_________．
（1303）设，这点是函数的（ ）
A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D.连续点
（1307）设在点处连续，则常数 ．
二、一元函数微分学
（一） 导数与微分
（0403）直线与轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
（0409）设，，则 ．
（0415）设函数由方程所确定，求的值．
（0502）若是函数的可导极值点，则常数（ ）
A. B. C. D.
（0514）设函数由方程所确定，求、．
（0614）若函数是由参数方程所确定，求、．
（0708）若直线是曲线的一条切线，则常数 ．
（0714）设函数由方程确定，求、．
（0802）设函数可导，则下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（0814）设函数由参数方程（，）所决定，求、．
（0903）设函数在点处可导，则常数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
（0914）设函数由参数方程所确定，、．
（0923）已知函数，证明函数在点处连续但不可导．
（1008）.若，则 ．
（1014）设函数由方程所确定，求、．
（1022）设，其中函数在处具有二阶连续导数，且，，证明：函数在处连续且可导．
（1102）设函数在点处可导，且，则( )
A. B. C. D.
（1110）设函数，则_____________．
（1114）设函数由参数方程所确定，求．
（1208）设函数，则________．
（1209）设（），则函数的微分___________．
（1214）设函数由参数方程所确定，求、．
（1304）设，其中具有二阶导数，则（ ）
A. B.
C. D.
（1306）已知函数在点处连续，且，则曲线在点处切线方程为（ ）
A. B. C. D.
（1309）设函数由参数方程所确定，则 ．
（二）中值定理及导数的应用
（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？
（0507） ．
（0508）函数在区间上满足拉格郎日中值定理的 ．
（0521）证明方程：在上有且仅有一根．
（0603）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（ ）
A. B. C. D.
（0621）证明：当时，．
（0703）设函数，则方程的实根个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（0713）求极限．
（0722）设函数具有如下性质：
（1）在点的左侧临近单调减少；
（2）在点的右侧临近单调增加；
（3）其图形在点的两侧凹凸性发生改变．
试确定，，的值．
（0724）求证：当时，．
（0809）已知曲线，则其拐点为 ．
（0821）求曲线（）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．
（0823）设函数在闭区间（）上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得．
（0824）对任意实数，证明不等式：．
（0904）曲线的渐近线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（0913）求极限．
（0921）已知函数，试求：
（1）函数的单调区间与极值；
（2）曲线的凹凸区间与拐点；
（3）函数在闭区间上的最大值与最小值．
（0924）证明：当时，．
（1002）曲线的渐近线共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
（1006）设，则在区间内 ( )
A.函数单调增加且其图形是凹的 B.函数单调增加且其图形是凸的
C.函数单调减少且其图形是凹的 D.函数单调减少且其图形是凸的
（1013）求极限．
（1021）证明：当时，．
（1103）若点是曲线的拐点，则（ ）
A. B. C. D.
（1113）求极限．
（1121）证明：方程有且仅有一个小于2的正实根．
（1122）证明：当时，．
（1203）设，则函数 ( )
A.只有一个最大值 B.只有一个极小值
C.既有极大值又有极小值 D.没有极值
（1213）求极限．
（1223）证明：当时，．
（1302）曲线的渐近线共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
（1313）求极限．
（1323）证明：当时，．
三、一元函数积分学
（一）不定积分
（0410）求不定积分 ．
（0416）设的一个原函数为，计算．
（0503）若，则（ ）
A. B. C. D.
（0515）计算．
（0522）设函数的图形上有一拐点，在拐点处的切线斜率为，又知该函数的二阶导数，求．
（0604）已知，则（ ）
A. B. C. D.
（0615）计算．
（0622）已知曲线过原点且在点处的切线斜率等于，求此曲线方程．
（0704）设函数的一个原函数为，则（ ）
A. B. C. D.
（0715）求不定积分．
（0810）设函数的导数为，且，则不定积分 ．
（0815）求不定积分．
（0905）设是函数的一个原函数，则（ ）
A. B. C. D.
（0915）求不定积分．
（1015）求不定积分．
（1115）设的一个原函数为，求不定积分．
（1215）求不定积分．
（1315）求不定积分．
（二）定积分
（0404）设所围的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（0421）证明：，并利用此式求．
（0509） ．
（0516）计算．
（0609）设在上有连续的导数且，，则 ．
（0616）计算．
（0709）定积分的值为 ．
（0716）计算定积分．
（0811）定积分的值为 ．
（0816）求定积分．
（0916）求定积分：．
（1009）定积分的值为 ．
（1016）计算定积分．
（1111）定积分的值为____________．
（1116）计算定积分．
（1216）计算定积分．
（1316）计算定积分．
（1324）设函数在上连续，证明：．
（三）变限积分与广义积分
（0417）计算广义积分．
（0422）设函数可导，且满足方程，求．
（0705）设，则（ ）
A. B. C. D.
（0803）设函数，则等于（ ）
A. B. C. D.
（0908）设函数，则＝ ．
（1003）设函数，则函数的导数等于 ( )
A. B. C. D.
（1108）设函数，则____________．
（1211）设反常积分，则常数______．
（1222）已知定义在上的可导函数满足方程，试求：
（1）函数的表达式；
（2）函数的单调区间与极值；
（3）曲线的凹凸区间与拐点．
（1224）设，其中函数在上连续，且．证明：函数在处可导，且．
（1322）已知是的一个原函数，求曲线的凹凸区间、拐点．
（四）定积分的几何应用
（0523）已知曲边三角形由、、所围成，求：
（1）曲边三角形的面积；
（2）曲边三角形绕轴旋转一周的旋转体体积．
（0623）已知一平面图形由抛物线、围成．
（1）求此平面图形的面积；
（2）求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．
（0721）设平面图形由曲线（）及两坐标轴围成．
（1）求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积；
（2）求常数的值，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分．
（0822）设平面图形由曲线，与直线所围成．
（1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积；
（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分．
（0922）设是由抛物线和直线，所围成的平面封闭区域，是由抛物线和直线，及所围成的平面封闭区域，其中．试求：
（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积；
（2）求常数的值，使得的面积与的面积相等．
（1023）设由抛物线（），直线（）与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，由抛物线（），直线（）与直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，另，试求常数的值，使取得最小值．
（1024）设函数满足方程，且，记由曲线与直线，（）及轴所围平面图形的面积为，试求．
（1124）设函数满足微分方程（其中为正常数），且，由曲线（）与直线，所围成的平面图形记为D．已知D的面积为．
（1）求函数的表达式；
（2）求平面图形D绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积；
（3）求平面图形D绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
（1221）在抛物线（）上求一点，使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
（1321）设平面图形是由曲线，与直线所围成，试求：
（1）平面图形的面积；
（2）平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
四、向量代数与空间解析几何
（一）向量代数
（0510）设向量、；、互相垂直，则 ．
（0610）设，，则 ．
（0710）已知、均为单位向量，且，则以、为邻边的平行四边形面积为 ．
（0804）设向量，，则等于（ ）
A. B. C. D.
（0909）已知向量，，则与的夹角为 ．
（1010）设，，若与垂直，则常数 ．
（1109）若，，，则____________．
（1210）设向量、互相垂直，且，，则________．
（1308）已知空间三点，，，则的面积为 ．
（二）平面与直线
（0518）求过点且通过直线：的平面方程．
（0619）求过点且与二平面、都平行的直线方程．
（0719）求过点且垂直于直线的平面方程．
（0817）设平面经过点，，，求经过点且与平面垂直的直线方程．
（0917）求通过直线且垂直于平面的平面方程．
（1017）求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程．
（1117）求通过轴与直线的平面方程．
（1217）已知平面通过与轴，求通过且与平面平行，又与轴垂直的直线方程．
（1318）已知直线在平面上，又知直线与平面平行，求平面的方程．
五、多元函数微积分
（一）多元函数微分学
（0418）设，且具有二阶连续的偏导数，求、．
（0505）设，，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
（0517）已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、．
（0611）设， ．
（0620）设其中的二阶偏导数存在，求、．
（0711）设，则全微分 ．
（0717）设其中具有二阶连续偏导数，求．
（0805）函数在点处的全微分为（ ）
A. B. C. D.
（0818）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求．
（0910）设函数由方程所确定，则＝ ．
（0919）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求．
（1011）设函数，则 ．
（1018）设，其中函数具有二阶连续偏导数，求．
（1104）设为由方程所确定的函数，则（ ）
A. B. C. D.
（1118）设，其中函数具有二阶连续偏导数，求．
（1204）设在点处的全微分为 ( )
A. B. C. D.
（1218）设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求．
（1314）设函数由方程所确定，求及．
（1317）设，其中函数具有二阶连续偏导数，求．
（二）二重积分
（0411）交换二次积分的次序 ．
（0419）计算二重积分，其中由曲线及所围成．
（0504）设区域是平面上以点、、为顶点的三角形区域，区域是在第一象限的部分，则（ ）
A. B.
C. D. 0
（0511）交换二次积分的次序 ；
（0524）设为连续函数，且，（）．
（1）交换的积分次序；
（2）求．
（0606）设对一切有，，
，则（ ）
A. 0 B. C.2 D.4
（0612）为以点、、为顶点的三角形区域， ．
（0624）设，其中是由、以及坐标轴围成的正方形区域，函数连续．
（1）求的值使得连续； （2）求．
（0720）计算二重积分，其中．
（0723）设，证明：．
（0819）计算二重积分，其中是由曲线，直线，及所围成的平面区域．
（0918）计算二重积分，其中．
（1005）二次积分交换积分次序后得 ( )
A. B.
C. D.
（1019）计算，其中是由曲线，直线及轴所围成的闭区域．
（1105）若可转化为二次积分，则积分域D可表示为（ ）
A. B.
C. D.
（1119）计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．
（1205）二次积分在极坐标系下可化为（ ）
A. B.
C. D.
（1220）计算二重积分，其中是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．
（1320）计算二重积分，其中D是由曲线（）与三条直线，，所围成的平面闭区域．

六、无穷级数
（一）数项级数
（0506）正项级数（1）、（2），则下列说法正确的是（ ）
A.若（1）发散、则（2）必发散 B.若（2）收敛、则（1）必收敛
C.若（1）发散、则（2）不确定 D.（1）、（2）敛散性相同
（0605）设为正项级数，如下说法正确的是（ ）
A.若，则必收敛 B.若，则必收敛
C.若收敛，则必定收敛 D.若收敛，则必定收敛
（0706）下列级数收敛的是（ ）
A. B. C. D.
（0906）设为非零常数，则数项级数（ ）
A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.敛散性与有关
（1004）下列级数收敛的是（ ）
A. B. C. D.
（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）
A. B. C. D.
（1305）下列级数中收敛的是（ ）
A. B. C. D.
（二）幂级数
（0412）幂级数的收敛区间为 ．
（0420）把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间．
（0512）幂级数的收敛区间为 ．
（0519）把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间．
（0618）将函数展开为的幂函数（要求指出收敛区间）．
（0812）幂函数的收敛域为 ．
（0911）若幂函数（）的收敛半径为，则常数 ．
（1012）幂级数的收敛域为 ．
（1106）若的幂级数展开式为（），则系数( )
A. B. C. D.
（1112）幂级数的收敛域为_ _ _________．
（1212）幂级数的收敛域为____________．
（1312）幂级数的收敛域为 ．
七、常微分方程
（一）一阶微分方程
（0520）求微分方程满足的特解．
（0617）求微分方程的通解．
（0718）求微分方程满足初始条件的特解．
（0820）求微分方程的通解．
（0912）微分方程的通解为 ．
（1311）微分方程的通解为 ．
（二）二阶线性微分方程
（0406）微分方程的特解的形式应为（ ）
A. B. C. D.
（0712）设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 ．
（0806）微分方程的通解为（ ）
A. B.
C. D.
（0920）求微分方程的通解．
（1020）已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，试确定常数、的值，并求微分方程的通解．
（1120）已知函数是一阶线性微分方程的解，求二阶常系数线性微分方程的通解．
（1219）已知函数的一个原函数为，求微分方程的通解．
（1319）已知函数是一阶微分方程满足初始条件的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解．

时间排序与参考答案
2004年高等数学真题参考答案
1、A． 2、B． 3、C． 4、B． 5、A． 6、D．
7、． 8、． 9、． 10、．
11、． 12、．
13、解：间断点为（），当时，，为可去间断点；
当（，）时，，为第二类间断点．
14、解：原式
．
15、解：代入原方程得，对原方程求导得，对上式求导并将、代入，解得：．
16、解：因为的一个原函数为，所以，
原式
．
17、解：原式．
18、解：；
．
19、解：原式
．
20、解：．
21、证：

解得： ， 原命题证毕．
．
22、解：等式两边求导得，即，且
，，，而，
由公式求得通解：，
将初始条件代入通解，解得：，故．
23、解：设污水厂建在河岸离甲城公里处，则
（），
由解得：（公里），
唯一驻点，即为所求．
2005年高等数学真题参考答案
1、A． 2、C． 3、D． 4、A． 5、A． 6、C．
7、2． 8、． 9、． 10、5．
11、． 12、．
13、解：因为在处连续，所以，
，
解得：，故．
14、解：，．
15、解：原式
．
16、解：原式
．
17、解：，．
18、解：直线的方向向量，过点，；
所求平面的法向量，点法式为
，即．
19、解：，
收敛域为：．
20、解：，即，，而；
故通解为．
把初始条件解得：；故所求特解为：．
21、证：令，，且
，，；
由连续函数零点定理知：在内至少有一实根；
对于恒有，即在内单调递减，
故方程在上有且仅有一根； 原命题获证．
22、解：设所求函数为，则有，，；
由和解得：，即，
故，由解得：，
故，由解得：；
图1
所求函数为：．
23、解：（1）；（如图1所示）
（2）．
24、解：积分区域为：，；
（1）；
（2），．
2006年高等数学真题参考答案
1、C． 2、B． 3、C． 4、C． 5、C． 6、A．
7、2． 8、． 9、． 10、．　　　11、． 12、1．
13、解：原式．
14、解：，．
15、解：原式．
16、解：原式

．
17、解：方程变形为，即得到了形如齐次方程；
令，则，代入得：，分离变量得：；
两边积分，得：，，故．
18、解：令，则；由于（），
所以（），故
，收敛域为：．
19、解：由题意知：，；
，
故所求直线方程的对称式方程为：．
20、解：，．
21、证：令，，由解得驻点：，
比较以下函数值的大小：，，，；
所以，，故，即，原命题获证．
22、解：，，通解为：；
将代入通解解得：，故所求特解为：．
23、解：（1）；
（2）．
24、解：，；
（1），由的连续性可知：
；
（2）当时，，
当时，；
综上，．
2007年高等数学真题参考答案
1、B． 2、C． 3、C． 4、A． 5、D． 6、D．
7、． 8、1． 9、． 10、． 11、． 12、．
13、解：．
14、解：当时，；
在方程两边对求导得：，故；
将，代入解得： ．
在方程两边再次对求导得：
将，，代入解得：．
15、解：原式

．
16、解：令，则；当时，；当时，；
原式．
17、解：，
．
18、解：原方程可转化为：，相应的齐次方程的通解为：；
设原方程的通解为：，将其代入方程得：，
所以，从而，故原方程的通解为；
又，所以，于是所求特解为：．
19、解：由题意知：，；所求平面的法向量为：
，
故所求平面方程为，即．
20、解：.
21、解：（1）；
（2）由题意知：，即
，解得：．
22、解：，；
由题意得、、，即得方程组：
，解得：、、．
23、证：积分区域：，又可表示成：；
左边
右边， 原命题获证．
24、证：令，显然，在上连续；
由于，故在上单调递增，于是
当时：，即，又，
故；
当时：，即，又，
故；
综上所述，当时，总有， 原命题获证．
2008年高等数学真题参考答案
1、B． 2、A． 3、D． 4、C． 5、A． 6、B．
7、0． 8、3． 9、（2，17）． 10、． 11、． 12、．
13、解：原式．
14、解：；．
15、解：原式
．
16、解：原式．
17、解：由题意知：，，则法向量为：
，即知；
所求直线的对称式方程为：．
18、解：；
．
19、解：原式．
20、解：将原方程化简为：，而；
根据公式得到原方程的通解：．
21、解：令，那么和的偏导分别为，，
所以过曲线上任一点的切线方程为：；
当时，轴上的纵截距为：，
当时，轴上的横截距为：；
两截距之和：
，（当且仅当时等号成立）
故在点处的切线在两坐标轴上的截距之和最小，其最小值为4．
22、解：（1）；
（2）由题意得到等式：，
解得：，即．
23、证：令，那么，；
由于，并且在上连续，故存在，使得
，即， 原命题获证．
24、证：将用泰勒公式展开得到：（）
代入不等式左边：
， 原命题获证．
2009年高等数学真题参考答案
1、A． 2、B． 3、C． 4、B． 5、D． 6、C．
7、． 8、． 9、． 10、． 11、2．
12、．
13、解：．
14、解：，，，
．
15、解：原式
．
16、解：令，则；当，；当，；
原式．
17、解：已知直线的方向向量为，平面的法向量为；
根据题意知：点在所求平面上，该平面的法向量为：
；
故所求平面方程为，即．
18、解：
．
19、解：；．
20、解：原方程可化简为，而；
根据公式求得通解：．
21、解：（1）函数的定义域为，，由解得驻点：；
函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
极大值为，极小值为．
（2），由解得：，
曲线在上是凸的，在上是凹的，拐点坐标为．
（3）计算函数值：，，，通过比较知：
函数在闭区间上有，．
22、解：（1）；．
（2），，由解得：．
23、证：（1）因为，，且，所以
函数在处连续．
（2），，
即，所以函数在处不可导． 原命题获证．
24、证：令，则，，
当时，，在内单调递增，
当时，， 在上单调增加；
当时，，即； 原命题获证．
2010年高等数学真题参考答案
1、A． 2、C． 3、B． 4、D． 5、D． 6、C．
7、． 8、2． 9、． 10、． 11、． 12、．
13、解：原式．
14、解：，；．
15、解：原式

．
16、解：原式．
17、解：由题意知：，，所求直线过点且方向向量为：
；
故所求直线方程为：．
18、解：；．
19、解：．
20、解：对应的特征方程为，特征根为，则；
由于，；是特征方程的单根，可设特解为：，
，，代入原方程解得：；
故原微分方程的通解为：．
21、证：设，则
，，在内单调递增，
，也在内单调递增；
，即； 原命题获证．
22、证：，则在处连续；

，则在处可导； 原命题获证．
23、解：，
；
．
由解得：，唯一驻点，即为所求；
故当时，取得最小值为：．
24、解：由于，所以求得通解：；
又代入通解得：，即得特解：；
，，

；
故 ．
2011年高等数学真题参考答案
1、C． 2、B． 3、A． 4、B． 5、D． 6、D．
7、． 8、． 9、． 10、． 11、． 12、．
13、解：原式．
14、解：．
15、解：原式
．
16、解：原式．
17、解：设所求平面方程为：，因为该平面经过轴，所以；
又该平面经过已知直线，所以法向量互相垂直，即；
综上所述：所求平面方程为，即．
18、解：；
．
19、解：原式．
20、解：由题意知：，
特征方程：，对应齐次方程的通解为：；
令特解为，代入原方程解得：，；
故原微分方程的通解为：．
21、证：令，则，即单调递增；
又，，即在内有实根；
综上所述：在内有唯一的实根．
故方程有且仅有一个小于2的正实根． 原命题获证．
22、证：设，则，
由得驻点：，又，；
因此由极值的第二判定定理可知：为极小值，
并由单峰原理可知也为的最小值，即（）成立；
故，即． 原命题获证．
23、解：，
；
以下根据左、右极限来讨论在点处各种情形的取值：
（1）若为连续点，则，解得或；又，所以．
（2）若为可去间断点，则左、右极限必须相等，且不能等于函数值，所以．
（3）若为跳跃间断点，则，解得：．
24、解：（1）原方程可化为：，且，则通解为：
；
将代入解得：，即；
由此作出平面图形D，并求出其面积：
解得：，则此函数的表达式为：．
（2）；
（3）．
2012年高等数学真题参考答案
1、B． 2、C． 3、C． 4、A． 5、B． 6、D．
7、． 8、． 9、． 10、． 11、． 12、．
13、解：原式．
14、解：；．
15、解：原式
．
16、解：令，则，；当，；当，；
原式．
17、解：平面的法向量，直线方向向量为，
所求直线的对称式方程为：．
18、解：；．
19、解：，特征方程：，特征根：；
对应齐次方程的通解为：；
注意到不是特征根，则令特解为：，
代入原方程解得：，；，所求特解为：；
故原微分方程的通解为：．
20、解：原式．
21、解：设点，其中，则，即切线：，
整理得：；由解得：，即点；
故．
22、解：（1）在两边对求导得：，
即得微分方程：，解得：；
代入解得：，故．
（2）由解得驻点：，；
列表讨论知：在和单调递增，在单调递减；
极大值，极小值．
（3）由解得：；
列表讨论知：在是凹的，在是凸的；
拐点坐标为：．
23、证：令，则，且；
又，即在内单调递增，
于是有，即在内也单调递增；
故，即． 原命题获证．
24、证：因为，即，所以有：；
又因为在内连续，所以，则
． 原命题获证．

2013年高等数学真题参考答案
1、C． 2、C． 3、B． 4、B． 5、D． 6、A．
7、0． 8、． 9、． 10、2． 11、． 12、．
13、解：原式
．
14、解：令，则，，；
，，；
．
15、解：原式

．
16、解：令，则；
当，；当，；
原式
．
17、解：，．
18、解：由题意知：，，则所求平面的法向量：
，所求平面的点法式为：
，即平面的方程为：．
19、解：分离变量后取不定积分得：，即，
将初始条件代入，解得：；即；
微分方程的特征方程为，特征根，；
对应齐次微分方程的通解为：．
设特解为：（是单根），此时，，
代入原方程解得：，故原方程的通解为：．
20、解：利用极坐标转化为二次积分：
对应的极坐标方程是：，直线对应的极坐标方程是：；
图1

．
图2
21、解：（1）
；
（2）
．
22、解：求导数得：，，；
由解得：，注意到时，不存在；
列表讨论知：曲线的凸区间是：和，凹区间是：；
拐点坐标为：和．
23、证：设，则；
，；
（），在是单调递增的；
而，故，故在也是单调递增的，即有，
故，亦即当时，． 原命题获证．
24、证：由于，
所以，右边
左边， 原命题获证．

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