2019高考数学复习文科训练题周周测11-有答案.docx

周周测 11　直线与圆的方程综合测试 　　　　　　　　　　　　　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2018•广西柳州月考)已知直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是(　　) A.14 B.34 C.45 D.25 答案：C 解析：由直线方程2x－y－3＝0，得直线的斜率k＝2.∵直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，∴tanθ＝2，∴sin2θ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝2×21＋22＝45.故选C. 2．(2018•河南新乡一中周考)若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　) A.12，16 B.12，－16 C.16，－12 D.－16，12 答案：B 解析：∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝12时，mx＋n＝12m＋n＝12，∴3y＝－12，∴y＝－16，故直线过定点12，－16.故选B. 3．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　) A．3x－2y－4＝0 B．x＝2或3x－2y－4＝0 C．x＝2或x－2y＝0 D．x＝2或3x－2y－8＝0 答案：B 解析：解法一　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，故|4k－2＋1－2k|＝|5－2k|，故2k－1＝5－2k，解得k＝32，则直线l的方程为3x－2y－4＝0，选B. 解法二　由题意，所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线为x＝2；当所求直线与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝－4－20－4＝32，得所求的直线方程为y－1＝32(x－2)，即3x－2y－4＝0. 4．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限，则k的取值范围是(　　) A.12，1 B.0，12 C.－12，0 D.－1，－12 答案：B 解析：∵l1，l2有交点，∴k≠±1.由y＝kx－k＋1，ky－x＝2k，可得x＝kk－1，y＝2k－1k－1，即交点坐标为kk－1，2k－1k－1，因为交点在第二象限，故kk－1＜0，2k－1k－1＞0，得0＜k＜1，k＜12或k＞1，所以0＜k＜12，故选B. 5．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 答案：C 解析：因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0.又l1、l2之间的距离是5，所以|m＋3|1＋4＝5，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C. 6．(2018•四川成都崇州崇庆中学期中)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与y轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝8 B．x2＋(y＋1)2＝8 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝8 答案：A 解析：在x－y＋1＝0中，令x＝0，解得y＝1.∴圆心C(0,1)．设圆的半径为r，∵圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴r＝|1＋3|2＝22，∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝8.故选A. 7．(2018•广州一模)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为(　　) A．(0,1) B．(0，－1) C．(1,0) D．(－1,0) 答案：B 解析：圆C的方程可化为x＋k22＋(y＋1)2＝－34k2＋1，所以当k＝0时圆C的面积最大．故圆心C的坐标为(0，－1)． 8．(2018•长春三模)直线kx－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长的最小值为(　　) A．25 B.5 C．210 D.10 答案：A 解析：易知直线kx－3y＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5，当圆心到直线kx－3y＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×10－5＝25.故选A. 9．(2018•山东济宁期中)已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－2＝0被圆M截得线段的长度为(　　) A．1 B.3 C．2 D．23 答案：D 解析：由题意，a2＋1＝2＋1，∴a＝22，圆心M(22，0)到直线x－y－2＝0的距离d＝|22－0－2|2＝1，∴直线x－y－2＝0被圆M截得线段的长度为24－1＝23，故选D. 10．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋t＝0的两条切线，切点分别为P，Q若|PQ|＝4，则t的值为(　　) A．5 B．20 C．10或20 D．20或5 答案：D 解析：由题意知，圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝－t＋25，设圆心为E(3,4)，则|OE|＝5，圆的半径为25－t(t＜25)，所以|OP|＝52－(25－t)2＝t.所以sin∠OEP＝|OP||OE|＝t5，故|PQ|＝2|PE|•sin∠OEP＝2×25－t×t5＝4，得t2－25t＋100＝0，解得t＝20或t＝5，故选D. 11．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋2＝0 答案：D 解析：圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，故圆心C的坐标为(－2,2)．因为圆O与圆C关于直线l对称，所以直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于OC，又kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x－(－1)，即x－y＋2＝0.故选D. 12．若直线l：y＝k(x－4)与曲线C：x－322＋y2＝9453＜x≤3只有一个交点，则k的取值范围为(　　) A.34，－34∪－257，257 B.－257，257 C.34，－34∪－257，257 D.－257，257 答案：C 解析：曲线C：x－322＋y2＝9453＜x≤3是以C32，0为圆心，r＝32为半径的劣弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E53，253，F53，－253，又直线l：y＝k(x－4)过定点D(4,0)，当直线l与C相切时，由k32－4k2＋1＝32得k＝±34，又kDE＝－kDF＝－0－－2534－53＝－275，结合图形可知当k∈34，－34∪－257，257时，直线l：y＝k(x－4)与曲线C：x－322＋y2＝9453＜x≤3只有一个交点． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上． 13．(2018•长春二模)已知点A(1,0)，B(3,0)，若直线y＝kx＋1上存在一点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是________． 答案：－43，0 解析：解法一　设P(x0，kx0＋1)，依题意可得kPA•kPB＝－1，即kx0＋1x0－1×kx0＋1x0－3＝－1，即(k2＋1)x20＋(2k－4)x0＋4＝0，则Δ＝(2k－4)2－16(k2＋1)≥0，化简得3k2＋4k≤0，解得－43≤k≤0，故k的取值范围是－43，0. 解法二　若直线y＝kx＋1上存在点P，满足PA⊥PB，则直线y＝kx＋1与以AB为直径的圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，故|2k＋1|1＋k2≤1，即3k2＋4k≤0，故－43≤k≤0，k的取值范围为－43，0. 14．(2018•长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 答案：6x－y－6＝0 解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－(－3)＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0. 15．(2018•福建福州文博中学月考)直线3x＋y－23＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧对应的圆心角的大小为________． 答案：π3 解析：圆心到直线的距离为d＝|－23|2＝3，∴弦长为2×4－3＝2，∴弦与两个半径构成的三角形为正三角形，∴直线3x＋y－23＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧对应的圆心角的大小为π3. 16．(2017•江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA→•PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________． 答案：[－52，1] 解析：方法1：因为点P在圆O：x2＋y2＝50上， 所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52)． 因为A(－12,0)，B(0,6)， 所以PA→＝(－12－x，－50－x2)或PA→＝(－12－x，50－x2)，PB→＝(－x,6－50－x2)或PB→＝(－x,6＋50－x2)． 因为PA→•PB→≤20，先取P(x，50－x2)进行计算， 所以(－12－x)•(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2. 当2x＋5≤0，即x≤－52时，上式恒成立； 当2x＋5≥0，即x≥－52时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1. 同理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5. 又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1. 故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]． 方法2：设P(x，y)，则PA→＝(－12－x，－y)，PB→＝(－x,6－y)． ∵ PA→•PB→≤20，∴ (－12－x)•(－x)＋(－y)•(6－y)≤20， 即2x－y＋5≤0. 如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点， ∵ P在圆O上且满足2x－y＋5≤0， ∴ 点P在 上． 由x2＋y2＝50，2x－y＋5＝0得F点的横坐标为1. 又D点的横坐标为－52， ∴ P点的横坐标的取值范围为[－52，1]． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程． 解：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，又设该直线与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有 ①yA＝kxA＋1，xA－3yA＋10＝0， ②yB＝kxB＋1，2xB＋yB－8＝0. 由①解得xA＝73k－1， 由②解得xB＝7k＋2. 因为点M平分线段AB， 所以xA＋xB＝2xM， 即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14. 故所求的直线方程为y＝－14x＋1， 即x＋4y－4＝0. 18．(本小题满分12分) 已知圆M经过A(1，－2)，B(－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2. (1)求圆M的方程； (2)若P2，12为圆内一点，求经过点P被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程． 解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，则圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D； 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，则圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E. 由题意有－D－E＝2，即D＋E＝－2. 又∵A(1，－2)，B(－1,0)在圆上， ∴1＋4＋D－2E＋F＝0，1－D＋F＝0，D＋E＝－2，解得D＝－2，E＝0，F＝－3. 故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－3＝0. (2)由(1)知，圆M的方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心为M(1,0)． 当直线l过定点P2，12且与过此点的圆的半径垂直时，l被圆截得的弦长最短，此时kPM＝0－121－2＝12， ∴kl＝－1kPM＝－2，于是直线l的方程为y－12＝－2(x－2)，即4x＋2y－9＝0. 19．(本小题满分12分) (2018•黑龙江鸡西虎林一中第一次月考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点． (1)当l经过圆心C时，求直线l的方程； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； (3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长． 解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－12x－2，即x＋2y－6＝0. (3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 圆心到直线l的距离为12，圆的半径为3，所以弦AB的长为34. 20．(本小题满分12分) 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过P点且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程． 解析：(1)∵⊙C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16， ∴圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4. 设l：y＝kx＋5，由直线l被⊙C截得的弦长为43及⊙C的半径r＝4知⊙C的圆心到直线l的距离d＝2，∴|－2k－6＋5|1＋k2＝2，∴k＝34；当k不存在时，直线l为x＝0，满足题意． ∴l的方程为y＝34x＋5或x＝0. (2)设弦的中点为M(x，y)，将y＝kx＋5代入⊙C的方程中，得(1＋k2)x2＋2(2－k)x－11＝0. 设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k－41＋k2， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋10＝2k2－4k1＋k2＋10＝12k2－4k＋101＋k2. ∵M为AB的中点， ∴x＝x1＋x22＝k－21＋k2，y＝y1＋y22＝6k2－2k＋51＋k2， 消去k，得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 当k不存在时，过点P的弦所在的直线为x＝0，代入⊙C的方程，得y2－12y＋24＝0，此时点M的坐标为(0,6)．点M(0,6)满足方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0，∴过点P的⊙C的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 21．(本小题满分12分) 已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求两圆公共弦长； (2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程． 解析：(1)两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线方程． 又圆C1的圆心C1(1，－5)到公共弦的距离d＝|1＋10＋4|5＝35， 圆C1的半径r1＝50＝52， 由d2＋(L2)2＝r21(L为公共弦长)，得L＝2r21－d2＝25，即公共弦长为25. (2)直线C1C2的方程为2x＋y＋3＝0， 直线C1C2与相交弦所在直线x－2y＋4＝0的交点为(－2,1)，即为所求圆的圆心． 又因为所求圆的半径为L2＝5， 所以以相交弦为直径的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
22．(本小题满分12分) (2018•江苏宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆心为O1(9,0)，且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21. (1)求圆O1的标准方程； (2)过定点P(a，b)作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值． 解析：(1)∵圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离是21，∴圆O1的半径为4.∵圆心为O1(9,0)，∴圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16. (2)当直线l的斜率存在时，设方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y－ka＋b＝0. ∴O，O1到直线l的距离分别为h＝|ka－b|1＋k2，h1＝|－9k＋ka－b|1＋k2， ∴d＝264－|ka－b|21＋k22， d1＝216－|－9k＋ka－b|1＋k22. ∵d与d1的比值总等于同一常数λ， ∴64－|ka－b|21＋k22＝λ216－|－9k＋ka－b|1＋k22， ∴[64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2]k2＋2b[a－λ2(a－9)k＋64－b2－λ2(16－b2)＝0. 由题意，上式对任意实数k恒成立，∴64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0,2b[a－λ2(a－9)]＝0,64－b2－λ2(16－b2)＝0同时成立． ①如果b＝0，则64－16λ2＝0， ∴λ＝2(舍去负值)，从而a＝6或18； ∴λ＝2，P(6,0)，P(18,0)． ②如果a－λ2(a－9)＝0，显然a＝9不满足，则λ2＝aa－9，代入64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0，从而得3a2－43a＋192＝0，Δ＝432－4×3×192＝－455＜0，故方程无解，舍去． 当点P的坐标为(6,0)时，若直线l的斜率不存在，此时d＝47，d1＝27，∴dd1＝2也满足．当点P的坐标为(18,0)，若直线l的斜率不存在，此时直线l与两圆都相等，故不满足． 综上，满足题意的λ＝2，点P有两个，坐标分别为(6,0)，(18,0)．

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