上财考研数分和高代大纲实用资料(00001).doc

上财大纲601 数学分析数学分析考试是为招收数学各专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试。它的主要目的是测试考生对数学分析各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试的考生。一、考试的基本要求要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。二、考试方法和考试时间数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150 分，考试时间为180 分钟。三、考试内容和考试要求1、极限和函数的连续性考试主要内容映射与函数；数列的极限、函数的极限；连续函数、函数的连续性和一致连续性；R 中的点集、实数系的连续性；函数和连续函数的各种性质。考试要求（1）透彻理解和掌握数列极限，函数极限的概念。掌握并能运用-N，-X，- 语言处理极限问题。熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。（2）熟练掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。（3）熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆盖定理，Cauchy 收敛准则；并理解相互关系。（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的；并理解两者的相互关系。函数连续性的定义(点，区间)，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念。（5）熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理；了解Contor定理。2、一元函数微分学考试主要内容微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。考试要求（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。理解单侧导数、可导性与连续性的关系，掌握导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。（3）熟练掌握Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理以及Taylor 展式。（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。3、一元函数积分学考试主要内容定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。5考试要求（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。（2）掌握定积分的概念，包括Darboux 和，上、下积分及可积条件与可积函数类。（3）掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。（4）能用定积分表达和计算如下几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心。（5）理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法；积分第二中值定理。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。4、无穷级数考试主要内容数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。考试要求（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy 判别法，DAlembert判别法与积分判别法。（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz 判别法。掌握绝对收敛级数的性质。（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass 判别法。Abel 判别法、Cauchy 判别法、Dirichlet 判别法和Dini 判别法。熟练掌握函数项级数一致收敛性的性质及其应用。（5）掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard 定理和Abel 第一定理。（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。（7）掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶（Fourier）级数的概念与性质；能正确地叙述傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数并简单的应用。5、多元函数微分学与积分学考试主要内容多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。考试要求（1）理解平面及Rn 空间点集的基本概念，多元函数的极限，累次极限，连续性概念；了解闭集套定理，有限覆盖定理。掌握多元函数极限、连续与一致连续概念及其性质，偏导数、方向导数、高阶偏导数和全微分等概念以及和连续关系，会求多元函数的极限、偏导数方向导数、高阶偏导数和全微分。（2）掌握隐函数存在定理。会求隐函数的导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程（3）会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。（4）了解可求面积、体积概念。熟练掌握重积分（包括广义的）、两类曲线积分和两类曲面积分的概念与计算，会求图形的面积，体积及物体的质量与重心。（5）熟练掌握Gauss 公式、Green 公式和Stoks 公式及其应用。（6）形式微分。66、含参变量积分考试主要内容含参变量积分的概念、性质。考试要求（1）熟练掌握含参变量常义积分的概念与性质以及应用。（2）熟练掌握变上限积分。（3）Euler 积分。817 高等代数一、多项式1. 数域1.1 理解数域的概念.1.2 会判别数集是否是数域.2. 一元多项式2.1 理解一元多项式的概念, 知道多项式次数的定义.2.2 掌握多项式的基本运算及运算前后次数的关系.2.3 理解两个多项式相等的概念.3. 整除3.1 掌握多项式的带余除法.3.2 理解整除的概念.3.3 掌握整除的一些基本性质.4. 最大公因式4.1 理解最大公因式的概念及基本结论.4.2 掌握求最大公因式的计算方法(辗转相除法).4.3 理解多项式互素的概念及基本性质.5. 因式分解5.1 清楚不可约多项式的定义及其基本性质.5.2 理解因式分解定理.5.3 理解重因式的概念, 会利用导数判别多项式是否有重因式的方法.6. 多项式函数6.1 理解多项式函数的概念6.2 掌握余数定理.6.3 理解多项式根(零点)及重根的概念.6.4 知道根与多项式相等的结论.7. 复系数与实系数多项式的因式分解7.1 清楚代数基本定理.7.2 领会复系数多项式的因式分解.7.3 清楚实系数多项式的共轭复根问题.7.4 领会实系数多项式的因式分解.8. 有理系数多项式8.1 清楚有理系数多项式与整系数多项式的关系.8.2 理解本原多项式的概念及其基本性质.8.3 掌握整系数多项式有有理根的必要条件.8.4 掌握Eisenstein 判别法.二、行列式1. 排列与逆序1.1 理解排列与逆序的概念.1.2 理解对换的概念与性质.2. n 阶行列式的定义及基本性质2.1 掌握二阶三阶行列式的特征及其对角线计算法.2.2 理解n 阶行列式的定义（三个特征）.2.3 会利用行列式的定义计算一些特殊行列式的值.2.4 掌握行列式的基本性质.3. 行列式的展开3.1 理解行列式的余子式与代数余子式的概念.3.2 理解行列式按一行一列展开的公式.3.3 清楚范德蒙行列式的结论, 并由此计算一些范德蒙型行列式的值.4. 行列式的计算4.1 掌握一些行列式的基本计算方法: 三角化, 展开法，递推法，归纳法, 加边法，析因子法.5. 克莱姆法则5.1 掌握克莱姆法则.5.2 克莱姆法则应用于齐次方程组的一些结论.6. Laplace 展开定理6.1 理解k 阶子式及其余子式代数余子式的概念.6.2 理解Laplace 展开定理.6.3 掌握行列式乘法规则(联系矩阵乘法的行列式).三、矩阵1. 矩阵及其基本运算1.1 理解矩阵的概念, 理解矩阵相等的定义.371.2 了解一些特殊矩阵的结构, 如方矩阵, 三角形矩阵, 对角矩阵, 数量矩阵, 单位矩阵, 零矩阵.1.3 掌握矩阵的基本运算及其运算规则.1.4 清楚矩阵的幂与矩阵多项式的定义.1.5 清楚矩阵的转置及性质, 理解对称矩阵与反对称矩阵的定义.2. 矩阵的逆2.1 理解逆矩阵的定义及其基本性质.2.2 清楚矩阵行列式的定义及矩阵相乘行列式的结论(乘法规则).2.3 理解伴随矩阵的定义及性质.2.4 掌握逆矩阵存在的充分必要条件.2.5 知道用伴随矩阵表示逆矩阵的公式.3. 矩阵的初等变换与初等矩阵3.1 掌握矩阵的初等变换定义.3.2 掌握线性方程组的矩阵描述以及高斯消元法与初等变换的关系.3.3 理解消元法的基本思想，掌握解方程组的消元法.3.4 理解矩阵等价的定义及性质. 理解矩阵的标准形.3.5 掌握初等矩阵的定义及其结构.3.6 掌握初等矩阵的性质及其与初等变换的关系.3.7 掌握用初等变换求逆矩阵的方法.4. 矩阵的分块4.1 掌握矩阵的分块表示, 理解矩阵分块的目的.4.2 掌握分块矩阵的基本运算.4.3 掌握块初等变换在22 分块矩阵上的应用.四、线性方程组1. n 维向量1.1 理解n 维向量的概念，习惯于向量的列形式表示.1.2 掌握向量的基本运算.2. 向量的线性相关性2.1 理解向量组的线性组合概念，理解向量（组）的线性表示概念以及向量组等价概念；清楚向量的线性表示与线性方程组是否有解的等价关系.2.2 理解向量组的线性相关性概念，清楚向量组的线性相关性与齐次线性方程组是否有非零解的等价关系.2.3 理解向量组的极大线性无关组与秩的概念，并熟知有关结论.3. 矩阵的秩3.1 理解矩阵秩的概念以及关于子式的一个充分必要条件.3.2 理解秩在初等变换下的不变性，掌握用初等变换法求矩阵的秩以及向量组秩.3.3 熟知矩阵秩的有关结论.4. 线性方程组4.1 熟知线性方程组的矩阵形式和向量形式，掌握方程组有解判别定理以及判别解各种情形的条件.4.2 理解线性方程组解的结构与齐次线性方程组基础解系的概念.4.3 掌握用初等变换方法，求齐次与非齐次线性方程组的通解（包括含参数的方程组）.五、线性空间1. 线性空间381.1 理解线性空间的定义, 特别是对于数域的理解和加法与数乘两种运算的理解以及关于运算的封闭性的理解.1.2 熟知一些常见的线性空间，如Rn 空间，Rmn空间， R x n 空间， Ca,b 空间等，清楚这些空间上所定义的线性运算.1.3 熟知线性空间上的一些简单性质.2. 基与维数2.1 理解线性空间基与维数的概念, 注重其本质的含义.2.2 熟知一些常见线性空间中的一组基和它们的维数.2.3 理解坐标的概念，清楚坐标与Rn 空间中元素在概念上的区别与形式上的一致性.2.4 理解过度矩阵的概念，熟知基变换公式与坐标变换的公式.3. 线性子空间3.1 理解线性子空间的概念以及关于线性运算的封闭性的本质.3.2 熟知由一组向量张成的子空间概念及有关性质.3.3 理解子空间的交与和的概念，熟知维数公式.3.4 理解子空间直和的概念，熟知子空间构成直和的各充分必要条件.4. 同构4.1 了解映射的概念，1-1 对应的概念以及逆映射的概念.4.2 了解同构映射与线性空间同构的概念.4.3 了解n 维线性空间到Rn 的同构映射与同构关系.六、线性变换1. 线性变换及基本运算1.1 理解线性变换的概念, 熟知一些线性变换的基本性质.1.2 熟知线性变换的线性运算与乘法运算及其运算规律.2. 线性变换的矩阵2.1 理解线性变换的矩阵概念, 理解线性变换与矩阵的1-1 对应关系，以及运算间的对应关系.2.2 会写出一些线性变换在一组基下的矩阵.2.3 清楚线性变换在不同基下的矩阵相似性关系.3. 特征值与特征向量3.1 理解线性变换和矩阵的特征值特征向量概念, 清楚线性变换与对应矩阵的特征值特征向量的关系.3.2 掌握计算特征值与特征向量的方法.3.3 熟知特征值特征向量的基本性质，清楚矩阵的相似性在特征值问题上的不变性.3.4 了解Hamilton-Caylay 定理的结论，了解矩阵最小多项式的概念及其基本性质.4. 相似于对角矩阵4.1 熟知矩阵相似于对角矩阵的条件，知道对应于线性变换的结论.4.2 清楚特征子空间的概念及特征值的代数重数与几何重数的概念.5. 不变子空间5.1 理解线性变换（矩阵）值域与核的概念, 清楚有关性质与结论.5.2 理解线性变换（矩阵）不变子空间的概念，了解有关性质与结论.七、内积空间1. 内积空间391.1 理解内积空间的概念, 理解向量内积的定义及其基本性质. 理解向量长度和距离的概念.1.2 熟知一些常见的内积空间，如Rn 空间， R x n 空间等，清楚这些空间上所定义的内积.2. 标准正交基2.1 理解向量正交的概念；理解（标准）正交基的概念.2.2 掌握向量组的标准正交化过程.3. 正交变换3.1 理解正交矩阵的概念及其性质.3.2 理解正交变换的概念及其性质.4. 正交补空间4.1 理解子空间的正交补空间的概念.4.2 熟知正交补空间的性质.4.3 了解正交投影的概念.4.4 了解最小二乘问题的提法以及一些理论结果.5. 实对称矩阵的相似性5.1 了解对称变换的概念.5.2 熟知实对称矩阵的特征值特征向量的性质.5.3 掌握对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算方法.6. 酉空间6.1 了解酉空间的概念.6.2 了解酉变换的概念.6.3 了解Hermite 矩阵的概念及其特征值的性质.八、二次型1. 二次型的概念1.1 掌握二次型及其矩阵表示.1.2 理解二次型的非退化线性替换与矩阵合同的联系.2. 二次型的标准形2.1 清楚二次型标准形的概念及其结论，并知道矩阵语言的描述.2.2 掌握化二次型为标准形的方法，配方法，初等变换法，正交变换法.3. 二次型的规范形3.1 理解二次型的惯性定理，清楚规范形的唯一性.4. 正定性4.1 理解正（半）定二次型与正（半）定矩阵等概念.4.2 掌握正定矩阵的几个充分必要条件及判别方法.九、 - 矩阵1. -矩阵1.1 清楚 -矩阵的定义以及有关基本性质.1.2 理解 -矩阵可逆的条件.2. -矩阵的标准形402.1 掌握 -矩阵的初等变换（初等矩阵）以及等价的概念.2.2 清楚 -矩阵的标准形定义，并且掌握化 -矩阵为标准形的方法.3. 三个因子3.1 理解 -矩阵的行列式因子、不变因子的概念以及相互关系.3.2 理解行列式因子、不变因子的不变性性质.3.3 理解特征矩阵的的概念以及矩阵初等因子概念.3.4 理解上述三种因子的相互关系，并掌握计算这些因子的方法.3.5 清楚矩阵相似的条件.4. Jordan 标准形4.1 清楚矩阵的Jordan 标准形以及矩阵相似Jordan 标准形的结论.4.2 掌握利用初等因子写出矩阵的Jordan 标准形.十、双线性函数1. 对偶空间1.1 了解线性函数的概念.1.2 了解对偶基与对偶空间的概念.2. 双线性函数2.1 了解双线性函数的概念.2.2 了解双线性函数与矩阵的对应关系.2.3 了解对称双线性函数的概念.