2017高考数学一轮考点训练算法初步与框图推理与证明有答案.docx

第十二章 算法初步与框图、推理与证明 考纲链接1.算法的含义、程序框图 (1)了解算法的含义，了解算法的思想 (2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环 2基本算法语句 了解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义 3框图 (1)通过具体实例进一步认识程序框图 (2)通过实例了解工序的流程图 (3)能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用(4)通过实例了解结构图 (5)会运用结构图梳理已学过的知识结构、整理收集到的信息资料 4了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用 5了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理 6了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点 7了解反证法的思考过程和特点 12.1算法、程序框图、结构图1算法的概念及特点 (1)算法的概念 在数学中，算法通常是指按照一定_解决某一类问题的_和_的步骤 (2)算法的特点之一是具有_性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有_性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有_性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题 2程序框图 (1)程序框图的概念 程序框图又称流程图，是一种用_、_及_来表示算法的图形 (2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符号 名称 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N” 连接程序框 连接程序框图的两部分 3.结构图 结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成 4算法的基本逻辑结构 (1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按_的顺序进行的它是由若干个_的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式 (2)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式 (3)循环结构 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是_反复执行的步骤称为_ 循环结构有如下两种形式： 如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环因此，这种循环结构称为_ 如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环因此，这种循环结构称为_自查自纠： 1(1)规则明确有限(2)确定有序有穷 2(1)程序框流程线文字说明 (2)终端框(起止框)输入、输出框 处理框(执行框)判断框流程线 连接点 4(1)从上到下依次执行(3)循环结构循环体 直到型循环结构当型循环结构下列各式中的S值不可以用算法求解的是() AS1234 BS1222321002 CS11213110000 DS1234 解：由算法的有限性知，D不正确，而A，B，C都可以通过有限步骤操作，输出确定结果，故选D. 给出下列算法： 第一步，输入正整数n(n1) 第二步，判断n是否等于2，若n2，则输出n；若n2，则执行第三步 第三步，依次从2到n1检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步 第四步，输出n. 则输出的n的值是() A奇数 B偶数 C质数 D合数 解：根据算法可知n2时，输出n的值为2；若n3，输出n的值为3；若n4，2能整除4，则重新输入n的值，故输出的n的值为质数故选C. (2014北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为() A1 B3 C7 D15 解：由程序框图知：S121227.故选C. (2014辽宁)执行下面的程序框图，若输入x9，则输出y_ 解：输入x9，则y5，|yx|41，不满足条件；x5，y113，|yx|431，不满足条件；x113，y299，|yx|49x1； 求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，. A2 B3 C4 D5 解：可称为算法，不是，故选B.类型二经典算法 “韩信点兵”问题韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从13报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从15报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从17报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数请设计一个算法，求出士兵至少有多少人 解：在本题中，士兵从13报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推 (算法一)步骤如下： 第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4； 第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，； 第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18； 第四步：依次加上35，得18，53，88，； 第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数 (算法二)步骤如下： 第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2； 第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，； 第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8； 第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3； 第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数点拨： 给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来 解：算法如下： 第一步：把银元分成3组，每组3枚； 第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组内； 第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元 类型三顺序结构 已知点P(x0，y0)和直线l：AxByC0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图 解：算法如下： 第一步：输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C. 第二步：计算z1Ax0By0C. 第三步：计算z2A2B2. 第四步：计算dz1z2. 第五步：输出d. 流程图如图所示点拨： 顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是() A75，21，32 B21，32，75 C32，21，75 D75，32，21 解：该程序框图的执行过程是：输入21，32，75；x21；a75；c32；b21；输出75，21，32.故选A. 类型四条件结构 (2015深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函数：f(x)3x，f(x)sinx，f(x)x3，f(x)x1x，那么输出的函数f(x)为() Af(x)3x Bf(x)sinx Cf(x)x3 Df(x)x1x 解：依题意得，输出的函数应满足：f(x)f(x)(xR)，即函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(xm)f(x)，其中m0，即函数f(x)是定义在R上的增函数对于A，函数f(x)3x不是奇函数；对于B，函数f(x)sinx不是定义在R上的增函数；对于C，函数f(x)x3既是奇函数又是定义在R上的增函数；对于D，函数f(x)x1x的定义域不是实数集综上所述，只能输出f(x)x3，故选C.点拨： 条件结构的运用与数学的分类讨论有关设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构(2015全国卷)如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a() A0 B2 C4 D14 解：执行该程序，输入a，b的值依次为a14，b18；a14，b4；a10，b4；a6，b4；a2，b4；ab2，此时退出循环，输出的a2.故选B. 类型五循环结构 (2014安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是() A34 B55 C78 D89 解：运行程序：x1，y1，z2；x1，y2，z3；x2，y3，z5；x3，y5，z8；x5，y8，z13；x8，y13，z21；x13，y21，z34；x21，y34，z55，跳出循环，输出结果是55.故选B.点拨： 如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的表述恰当、准确(2015陕西)根据下边的框图，当输入x为2006时，输出的y() A28 B10 C4 D2 解：初始条件：x2006.第1次运行：x2004；第2次运行：x2002；第3次运行：x2000；第1003次运行：x0；第1004次运行：x2，不满足条件，跳出循环，所以输出的y32110，故选B. 类型六结构图 总结高中所有有关函数的内容，画出知识结构图 解：如图所示：点拨： 画结构图时，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来标明各要素之间的关系某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员 解：如图所示：1设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则 2画程序框图首先要进行结构选择，套用格式若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，就必须引入条件结构；如果问题涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，应用循环结构当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构 3循环结构的循环控制 通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否用循环结构来描述算法，在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：(1)确定循环变量与初始条件；(2)确定循环体；(3)确定终止条件注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在解决同一问题时恰好相反解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当循环次数较多时，可先循环几次，找出规律要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误 4在具体绘制程序框图时，要注意以下几点： (1)流程线上要标有执行顺序的箭头 (2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)” (3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错 (4)判断框内条件常用“”“”“”“”“”等符号，它们的含义是各不相同的，要根据所选循环结构的类型，正确地进行选择 5结构图与流程图的异同 相同点：绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，先确定组成系统的基本要素，以及这些要素之间的关系，然后画出框图表示整个系统 不同点：流程图描述具有时间特征的动态过程，结构图刻画静态的系统结构流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系 1结合下面的算法： 第一步：输入x. 第二步：判断x是否小于0，若是，则输出x2，否则执行第三步 第三步：输出x1. 当输入的x的值为1，0，1时，输出的结果分别为() A1，0，1 B1，1，0 C1，1，0 D0，1，1 解：根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x的值为1，0，1时，输出的结果分别为1，1，0，故选C. 2如图的程序框图输出的结果是() A4 B3 C2 D0 解：该算法首先将1，2，3三个数分别赋给x，y，z；然后先让x取y的值，即x变成2，再让y取x的值，即y的值是2，接着让z取y的值，即z的值为2，从而最后输出z的值为2.故选C. 3(2014湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于() A6，2 B5，1 C4，5 D3，6 解：由程序框图可得 S2t213，t2，0），t3，t0，2， 其值域为3，6故选D. 4(2015福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为() A2 B1 C0 D1 解：执行程序，得S0，i2；S1，i3；S1，i4；S0，i5；S0，i65，跳出循环，输出S0.故选C. 5(2014重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是() As12 Bs35 Cs710 Ds45 解：当输出k的值为6时，s19108978710，结合各选项知，C符合要求故选C. 6(2015全国课标)执行如图所示的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n() A5 B6 C7 D8 解法一：执行程序，S12，m14，n1；S14，m18，n2；S18，m116，n3；S116，m132，n4；S132，m164，n5；S164，m1128，n6；S11286，故n7.故选C. 7(2015安徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为_ 解：各次循环中变量a，n的取值如下表所示： a 1.5 1.4 1.416n 2 3 4 当a1.416时，跳出循环，输出的n为4.故填4. 8(2014湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a815，则I(a)158，D(a)851)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b_ 解法一：当a123时，b321123198123； 当a198时，b981189792198； 当a792时，b972279693792； 当a693时，b963369594693； 当a594时，b954459495594； 当a495时，b954459495a， 终止循环，输出b495. 解法二：设I(a)100x10yz，D(a)100z10yx，xyz，x，y，zN*，则D(a)I(a)99(zx)，因此各位数字都不是0且没有重复数字，而且是99的倍数的三位数有：198，297，396，495，594，693，792，891，经检验知只有495满足题意故填495. 9某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜三者之一，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜请设计安全过河的算法 解：第一步，人带羊过河20 20