全国高考理科数学试题及答案全国卷1.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．

3．在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，且为正实数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．e2x-1 B．e2x C．e2x+1 D． e2x+2
7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．若直线通过点，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
D
B
C
A
A．96 B．84 C．60 D．48

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修选修Ⅰ）
第Ⅱ卷

注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
13．13．若满足约束条件则的最大值为 ．
14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设的内角所对的边长分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．

18．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

C
D
E
A
B

19．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

21．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．

参考答案

一、选择题
1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B
7、D 8、A 9.D 10.D． 11.B． 12.B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13.答案：9． 14. 答案：2. 15.答案：. 16.答案：.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得
a=
acosB-bcosA=()c
=
=
=
依题设得
解得tanAcotB=4

(II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0
tan(A-B)=
=
≤，
且当tanB=时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为

18．解：
(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，
由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE
（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。
作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE=，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
CG=
GE=
cos∠CGE=
所以二面角C-AD-E为arccos()

解法二：
（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A（0,0,t），由已知条件有
C(1,0,0), D(1,,0), E(-1, ,0),

所以，得AD⊥CE
（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，
设F（x,0,z）则=(x-1,0,z),

故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，
∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE=，得CF=
又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0，）
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|
故G[]

又

所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。
由cos()=
知二面角C-AD-E为arccos()

（19）解：
（Ⅰ）f´(x)=3x2+2ax+1，判别式Δ=4(a2-3)
（i）若a>或a<，则在上f´(x)>0，f(x)是增函数；
在 内f´(x)<0，f(x)是减函数；
在上f´(x)>0，f(x)是增函数。
（ii）若<a<，则对所有x∈R都有f´(x)>0，故此时f(x)在R上是增函数。
（iii）若a=，则f´()=0，且对所有的x≠都有f´(x)>0，故当a=时，f(x)在R上是增函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a>或a<时，f(x)在内是减函数。
因此 ≤ ①
且 ≥ ②
当|a|>时，由①、②解得a≥2
因此a的取值范围是[2,+∞）。

（20）解：
记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，
B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，
A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B2独立。
（Ⅰ）
，，。
P()=P(A1+A2·B2)
=P(A1)+P(A2·B2)
=P(A1)+P(A2)·P(B2)
=
=
所以 P(A)=1-P()==0.72
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.
P(B1)=，P(B2)=，P(ξ=2)=P(B1)=，P(ξ=3)=P(B2)= ，
所以Eξ=（次）。

（21）解：
（Ⅰ）设双曲线方程为(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c2=a2+b2
不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0
则 ，
。
因为2+2=2，且
=2-，
所以2+2=(2-)2，
于是得tan∠AOB=。
又与同向，故∠AOF=∠AOB，
所以
解得 tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。
因此 。
所以双曲线的离心率e==
（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为
x2-4y2=4b2 ①
由l1的斜率为，c=b知，直线AB的方程为
y=-2(x-b) ②
将②代入①并化简，得
15x2-32bx+84b2=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则
x1+x2=，x1·x2= ③
AB被双曲线所截得的线段长
l= ④
将③代入④，并化简得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6
所以双曲线的方程为

22、解：
（I）当0<x<1时
f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0
所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数，
（II）当0<x<1时，f(x)=x-xlnx>x
又由（I）有f(x)在x=1处连续知，
当0<x<1时，f(x)<f(1)=1
因此，当0<x<1时，0<x<f(x)<1 ①
下面用数学归纳法证明： 0<an<an+1<1 ②
(i)由0<a1<1, a2=f(a1)，应用式①得0<a1<a2<1，即当n=1时，不等式②成立
(ii)假设n=k时，不等式②成立，即0<ak<ak+1<1
则由①可得0<ak+1<f(ak+1)<1，即0<ak+1<ak+2<1
故当n=k+1时，不等式②也成立
综合(i)(ii)证得：an<an+1<1
(III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b
否则，若am<b(m≤k)，则由0<a1≤am<b<1(m≤k)知，
amlnam≤a1lnam<a1lnb<0 ③
ak+1=ak-aklnak
=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak
……
=a1-amlnam
由③知amlnam<k (a1lnb)
于是ak+1>a1+k|a1lnb|
≥a1+(b-a1)
=b