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周周测2 函数综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2018•贵阳二模)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A．y＝－2x＋1 B．y＝1x C．y＝lgx D．y＝x3 答案：B 解析：y＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lgx在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B. 2．(2018•太原一模)设函数f(x)，g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是( ) A．f(x)＋g(x)是奇函数 B．f(x)－g(x)是偶函数 C．f(x)g(x)是奇函数 D．f(x)g(x)是偶函数 答案：C 解析：∵f(x)，g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)g(x)，则F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－F(x)，∴F(x)＝f(x)g(x)为奇函数．故选C. 3．(2018•广东三校联考)设函数f(x)＝x2＋2x，x＜0，－x2，x≥0，若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3) B．[－3，＋∞) C．[－3，3] D．(－∞，3] 答案：D 解析：令f(a)＝t，则f(t)≤3⇔t＜0，t2＋2t≤3或t≥0，－t2≤3，解得t≥－3，则f(a)≥－3⇔a＜0，a2＋2a≥－3或a≥0，－a2≥－3，解得a＜0或0≤a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]，故选D. 4．(2018•湖南长沙雅礼中学月考)若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(2 )，则a，b，c满足( ) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 答案：B 解析：因为偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．又因为0<log45<log49＝log23<2<2 ，所以f(log45)<f(log23)<f(2 )，即b<a<c.故选B. 5．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝13x－1，则f25，f54，f12的大小关系是( ) A．f25>f12>f54 B．f25>f54>f12 C．f12>f25>f54 D．f54>f12>f25 答案：D 解析：因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f25＝f85，f12＝f32，当x≥1时，f(x)＝13x－1单调递减，由54<32<85，可得f85<f32<f54，即f25<f12<f54，故选D. 6．(2018•山东菏泽一模，10)设min{m，n}表示m、n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝min12x－2，log2(4x)(x>0)，若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．0 答案：C 解析：令12x－2＝log2(4x)，解得x＝1， 易知当0<x≤1时，12x－2≥log2(4x)， 当x>1时，12x－2<log2(4x)， ∴g(x)＝min12x－2，log2(4x)(x>0)＝log2(4x)，0<x≤1，12x－2，x>1， ∴当0<x≤1时，g(x)的值域为(－∞，2]， 当x>1时，g(x)的值域为(0,2)， ∴g(x)的值域为(－∞，2]． 易得f(x)＝(x＋4)2－2，其图象开口向上，对称轴为x＝－4，则当－4≤a≤－3时，函数f(x)在[－5，a]上的值域为[－2，－1]，显然满足题意； 当a>－3时，函数f(x)在[－5，a]上的值域为[－2，a2＋8a＋14]， 要满足∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立， 只需a2＋8a＋14≤2，则－3<a≤－2， 综上所述，满足题意的a的取值范围为[－4，－2]，∴a的最大值为－2，故选C. 解题关键 由∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，得f(x)在[－5，a]上的值域是g(x)在(0，＋∞)上值域的子集是解题的关键． 7．(2018•福建连城朋口中学期中)若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(1，＋∞) 答案：B 解析：令u＝2－ax，因为a>0，所以u是关于x的减函数，当x∈[0,1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax>0在x∈[0,1]时恒成立，所以umin>0，即2－a>0，a<2. 要使函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则y＝logau在其定义域上必为增函数，故a>1. 综上所述，1<a<2.故选B. 易错警示 忽略真数大于0致错 在解决真数含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，会使所求参数取值范围扩大致误． 8．(2018•重庆第八中学月考)函数f(x)＝ax＋bx2＋c的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A．a>0，c>0 B．a>0，c<0 C．a<0，c>0 D．a<0，c<0 答案：A 解析：由f(0)＝0，得b＝0，f(x)＝axx2＋c.由x>0时，f(x)>0，且f(x)的定义域为R，故a>0，c>0.故选A. 9．(2018•山西太原二模，7)函数f(x)＝ln|x－1||1－x|的图象大致为( )
答案：D 解析：函数f(x)＝ln|x－1||1－x|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x＝1对称，排除B、C.取特殊值，当x＝12时，f(x)＝2ln12<0，故选D. 10．(2018•福建南平浦城期中)已知函数f(x)＝|ln|x－1||＋x2与g(x)＝2x，则它们所有交点的横坐标之和为( ) A．0 B．2 C．4 D．8 答案：C 解析：令f(x)＝g(x)，即|ln|x－1||＋x2＝2x，∴|ln|x－1||＝2x－x2，分别作出y＝|ln|x－1||和y＝－x2＋2x的函数图象如图，显然函数图象有4个交点．设横坐标依次为x1，x2，x3，x4.∵y＝|ln|x－1||的图象关于直线x＝1对称，y＝－x2＋2x的图象关于直线x＝1对称，∴x1＋x4＝2，x2＋x3＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.故选C. 11．函数f(x)＝2x－1＋ln1x的零点所在的大致区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(0,1)，(2,3) 答案：D 解析：方法一 求函数f(x)＝2x－1＋ln1x的零点所在的大致区间，等价于求2x－1＋ln1x＝0的解所在的大致区间，等价于求2x－1＝－ln1x的解所在的大致区间，等价于求2x－1＝lnx的解所在的大致区间，等价于求y＝2x－1与y＝lnx的图象在(0，＋∞)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示)， 由图可得，选D. 方法二 由f(x)＝2x－1＋ln1x可得其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，且f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1，＋∞)， 因为f1e3＝21e3－1＋ln11e3＝2e31－e3＋3＝3－e31－e3>0， f1e＝21e－1＋ln11e＝2e1－e＋1＝1＋e1－e<0， 所以函数f(x)＝2x－1＋ln1x在区间(0,1)内有零点． 因为f(2)＝22－1＋ln12＝2－ln2>0，f(3)＝23－1＋ln13＝1－ln3<0， 所以函数f(x)＝2x－1＋ln1x在区间(2,3)内有零点． 综上所述，函数f(x)＝2x－1＋ln1x的零点所在的大致区间为(0,1)，(2,3)．故选D. 12．(2017•山东卷)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( ) A．(0,1]∪[23，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0，2]∪[23，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞) 答案：B 解析：①当0<m≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝(mx－1)2与y＝x＋m的图象，如图． 易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点； ②当m>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝(mx－1)2与y＝x＋m的图象，如图． 要满足题意，则(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0(舍去)，∴m≥3. 综上，正实数m的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．故选B. 方法总结 已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法： ①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围． ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决． ③数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)． ∵f(a)<f(2)， ∴f(|a|)<f(2)， ∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴|a|>2，即a>2或a<－2. ∴实数a的取值范围是a>2或a<－2. 14．(2018•云南曲靖一中月考)已知函数f(x)满足f(5x)＝x，则f(2)＝________. 答案：log52 解析：因为f(5x)＝x，所以f(2)＝f(5 )＝log52. 15．(2018•陕西黄陵中学月考(四))若幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x 的图象不经过坐标原点，则实数m的值为________． 答案：1或2 解析：由于函数f(x)为幂函数，故m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2，m＝1时，f(x)＝x－2的图象不过原点，m＝2时，f(x)＝x0的图象不过原点，故m＝1或2. 16．(2018•龙岩质检)已知f(x)是奇函数，且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________． 答案：－78 解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 设g(x)＝mx2＋x＋1. (1)若g(x)的定义域为R，求m的范围； (2)若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m的范围． 解析：(1)由题知f(x)＝mx2＋x＋1≥0恒成立， ①当m＝0时，f(x)＝x＋1≥0不恒成立； ②当m≠0时，要满足题意必有m＞0，Δ＝1－4m≤0， ∴m≥14. 综上可知，m的范围为[14，＋∞)． (2)由题知，f(x)＝mx2＋x＋1能取到一切大于或等于0的实数． ①当m＝0时，f(x)＝x＋1可以取到一切大于或等于0的实数； ②当m≠0时，要满足题意必有m＞0，Δ＝1－4m≥0， ∴0＜m≤14. 综上可知，m的范围为[0，14]． 18．(本小题满分12分) (2018•陕西黄陵中学月考)已知函数g(x)＝4x－n2x是奇函数，f(x)＝log4(4x＋1)＋mx是偶函数(m，n∈R)． (1)求m＋n的值； (2)设h(x)＝f(x)＋12x，若g(x)>h[log4(2a＋1)]对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为g(x)为奇函数，且定义域为R， 所以g(0)＝0，即40－n20＝0，解得n＝1. 此时g(x)＝4x－12x＝2x－2－x是奇函数，所以n＝1. 因为f(x)＝log4(4x＋1)＋mx， 所以f(－x)＝log4(4－x＋1)－mx＝log4(4x＋1)－(m＋1)x. 又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立， 解得m＝－12.所以m＋n＝12. (2)因为h(x)＝f(x)＋12x＝log4(4x＋1)， 所以h[log4(2a＋1)]＝log4(2a＋2)． 又因为g(x)＝4x－12x＝2x－2－x在区间[1，＋∞)上是增函数，所以当x≥1时，g(x)min＝g(1)＝32. 由题意得 解得－12<a<3. 所以实数a的取值范围是－12，3. 19．(本小题满分12分) 设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分． (1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2)写出函数f(x)的值域和单调区间． 解析：(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4. ∵f(x)的图象过点A(2,2)， ∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4. 设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4. 又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)． (2)函数f(x)图象如图所示． 由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]，[0,3]．单调减区间为[－3,0]，[3，＋∞)． 20．(本小题满分12分) (2018•山东潍坊中学月考(一))中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本c(x)(万元)，当年产量不足80台时，c(x)＝12x2＋40x(万元)；当年产量不小于80台时，c(x)＝101x＋8 100x－2 180(万元)．若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 解：(1)当0<x<80时， y＝100x－12x2＋40x－500＝－12x2＋60x－500； 当x≥80时，y＝100x－101x＋8 100x－2 180－500＝1 680－x＋8 100x. ∴y＝－12x2＋60x－500，0<x<80，1 680－x＋8 100x，x≥80. (2)当0<x<80时，y＝－12(x－60)2＋1 300， ∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为1 300万元； 当x≥80时，y＝1 680－x＋8 100x≤1 680－2x•8 100x＝1 500，当且仅当x＝8 100x，即x＝90时，y取得最大值，最大值为1 500万元． 综上，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元． 21．(本小题满分12分) (2018•宁夏育才中学第二次月考)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函数f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的值． 解：(1)由Δ＝16－4(a＋3)≥0，得a≤1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]． (2)f(x)＝(x－2)2＋a－1. 当a＋1<2，即a<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－3a＋3＝3，解得a＝0，a＝3(舍去)； 当1≤a≤32时，f(x)max＝f(a)＝3，解得a＝0或3(均舍)； 当32<a≤2时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2－a＝3，解得a＝1±132(均舍)． 当a>2时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2－a＝3，解得a＝1＋132，a＝1－132(舍去)． 综上，a＝0或a＝1＋132. 22．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)． (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性． (2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 解析：(1)因为f(x)＝ex－(1e)x，且y＝ex是增函数， y＝－(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数． 由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数， 所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立⇔t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立⇔(t＋12)2≤(x＋12)2min⇔(t＋12)2≤0⇔t＝－12. 即存在实数t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立．
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