2014年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析.doc

2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期解答：解：y=12cos2（2x）=2cos2（2x）1=cos4x，函数的最小正周期为T=故答案为：点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2（4分）（2014上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=6考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=（1+2i）（12i）+1=14i2+1=2+4=6故答案为：6点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查3（4分）（2014上海）设常数aR，函数f（x）=|x1|+|x2a|，若f（2）=1，则f（1）=3考点：函数的值菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：利用f（x）=|x1|+|x2a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可解答：解：常数aR，函数f（x）=|x1|+|x2a|，若f（2）=1，1=|21|+|22a|，a=4，函数f（x）=|x1|+|x24|，f（1）=|11|+|124|=3，故答案为：3点评：本题考查函数值的求法，基本知识的考查4（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=2考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=2点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题5（4分）（2014上海）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70考点：分层抽样方法菁优网版权所有专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论解答：解：高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名，若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x，则，解得x=90，则高一、高二共需抽取的学生数为9020=70，故答案为：70点评：本题主要考查分层抽样的应用，比较基础6（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得解答：解：xy=1，y=x2+2y2=x2+2=2，当且仅当x2=，即x=时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题7（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角解答：解：设圆锥母线与轴所成角为，圆锥的侧面积是底面积的3倍，=3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则sin=，=arcsin，故答案为：arcsin点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键8（4分）（2014上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5，故大长方体的体积为：60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体，其底面面积为452222=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：123=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：6036=24，故答案为：24点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键9（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：分别由f（0）=a，x2，ax+综合得出a的取值范围解答：解：当x=0时，f（0）=a，由题意得：ax+，又x+2=2，a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题10（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q，若a1=（a3+a4+an），则q=考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值解答：解：无穷等比数列an的公比为q，a1=（a3+a4+an）=（a1a1q）=，q2+q1=0，解得q=或q=（舍）故答案为：点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用11（4分）（2014上海）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可解答：解：f（x）=，若满足f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力12（4分）（2014上海）方程sinx+cosx=1在闭区间0，2上的所有解的和等于考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2k+，或x+=2k+，kZ，结合x0，2，可得x值，求和即可解答：解：sinx+cosx=1，sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2k+，或x+=2k+，kZ，又x0，2，x=，或x=，+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题13（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题14（4分）（2014上海）已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为2，3考点：直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可解答：解：曲线C：x=，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP2，0，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，m=2，3故答案为：2，3点评：本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础16（5分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=（）A2B1C0D1考点：集合的相等菁优网版权所有专题：集合分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论解答：解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a2，b2，则 或 ，由得，ab0，a0且b0，即a=1，b=1，此时集合1，1不满足条件由得，若b=a2，a=b2，则两式相减得a2b2=ba，即（ab）（a+b）=（ab），互异的复数a，b，ab0，即a+b=1，故选：D点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论17（5分）（2014上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，7）是小正方形的其余顶点，则（i=1，2，7）的不同值的个数为（）A7B5C3D1考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案解答：解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），=（0，1），=（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），=（2，1），=（2，2），=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，（i=1，2，7）的不同值的个数为3，故选C点评：本题考查平面向量的数量积运算，属基础题18（5分）（2014上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；直线与圆分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，k=，即a1a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1，b2b1得：（a1b2a2b1）x=b2b1，即（a1a2）x=b2b1方程组有唯一解故选：B点评：本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用三、解答题（共5小题，满分74分）19（12分）（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：利用侧面展开图三点共线，判断P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，ABP1=BAP1=CBP2，ABC=60，ABP1=BAP1=CBP2=60，P1=60，同理P2=P3=60，P1P2P3是等边三角形，PABC是正四面体，P1P2P3的边长为4，VPABC=点评：本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法20（14分）（2014上海）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由考点：反函数；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决解答：解：（1）a=4，调换x，y的位置可得，x（，1）（1，+）（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a（2x2x）=02x2x不恒为0，a=0，此时f（x）=1，xR，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a21=0，a=1，a0，a=1，此时f（x）=，满足条件；综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21（14分）（2014上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论解答：解：（1）设CD的长为x米，则tan=，tan=，0，tantan20，tan，即=，解得028.28，即CD的长至多为28.28米（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则ADB=180=123.43，由正弦定理得，即a=，m=26.93，答：CD的长为26.93米点评：本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（1）把A、B两点的坐标代入=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据0，得出结论（2）联立 可得 （14k2）x2=1，根据此方程无解，可得14k20，从而求得k的范围（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为x2+（y2）2x2=1 由于y轴为x=0，显然与方程联立无解把P1、P2的坐标代入x=0，由=1（1）=10，可得x=0是一条分隔线解答：解：（1）把点（1，2）、（1，0）分别代入x+y1可得=（1+21）（11）=40，点（1，2）、（1，0）被直线 x+y1=0分隔（2）联立 可得 （14k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有14k20，|k|当|k|时，对于直线y=kx，曲线x24y2=1上的点（1，0）和（1，0）满足=k20，即点（1，0）和（1，0）被y=kx分隔故实数k的取值范围是（，+）（3）设点M（x，y），则 |x|=1，故曲线E的方程为x2+（y2）2x2=1 对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点 又曲线E上的点（1，2）、（1，2）对于y轴（x=0）满足=1（1）=10，即点（1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线点评：本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题23（18分）（2014上海）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若an是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差数列，求数列a1，a2，a100的公差的取值范围考点：数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意可得：，代入解出即可；（2）设公比为q，由已知可得，由于，可得而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出（3）设公差为d，由已知可得31+（n2）d，其中2n100，即，解出即可解答：解；（1）由题意可得：，；又，3x27综上可得：3x6（2）设公比为q，由已知可得，又，因此，m=1logq1000=1=7.28m的最小值是8，因此q7=，=（3）设公差为d，由已知可得1+nd31+（n1）d即，令n=1，得当2n99时，不等式即，综上可得：公差d的取值范围是点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题