福建省高考数学试卷理科及解析.doc

2012年福建省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012•福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（　　）
　　A．﹣1﹣i　　B．1﹣i　　C．﹣1+i　　D．1+i

2．（2012•福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）
　　A．1　　B．2　　C．3　　D．4

3．（2012•福建）下列命题中，真命题是（　　）
　　A．∃x0∈R，≤0　　B．∀x∈R，2x＞x2　　C．a+b=0的充要条件是=﹣1　　D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

4．（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）
　　A．球　　B．三棱锥　　C．正方体　　D．圆柱

5．（2012•福建）下列不等式一定成立的是（　　）
　　A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）　　B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）　　C．x2+1≥2|x|（x∈R）　　D．（x∈R）

6．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

　　A．　　B．　　C．　　D．

7．（2012•福建）设函数则下列结论错误的是（　　）
　　A．D（x）的值域为{0，1}　　B．D（x）是偶函数　　C．D（x）不是周期函数　　D．D（x）不是单调函数

8．（2012•福建）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）
　　A．　　B．　　C．3　　D．5

9．（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（　　）
　　A．　　B．1　　C．　　D．2

10．（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（　　）
　　A．①②　　B．①③　　C．②④　　D．③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=　_________　．

12．（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于　_________　．

13．（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为　_________　．

14．（2012•福建）数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=　_________　．

15．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）﹡（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是　_________　．

三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x（年）
0＜x＜1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
x＞2
轿车数量（辆）
2
3
45
5
45
每辆利润（万元）
1
2
3
1.8
20.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

17．（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

18．（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．

19．（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

20．（2012•福建）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。）
21．（2012•福建）（1）选修4﹣2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=（）（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A2的逆矩阵．

22．（2012•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

23．（2012•福建）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且，求证：a+2b+3c≥9．

2012年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012•福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（　　）
　　A．﹣1﹣i　　B．1﹣i　　C．﹣1+i　　D．1+i

考点：
复数代数形式的乘除运算。
专题：
计算题。
分析：
由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果．
解答：
解：∵复数z满足zi=1﹣i，
∴z===﹣1﹣i，
故选A．
点评：
本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

2．（2012•福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）
　　A．1　　B．2　　C．3　　D．4

考点：
等差数列的通项公式。
专题：
计算题。
分析：
设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
解答：
解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，解得 d=2，
故选B．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．

3．（2012•福建）下列命题中，真命题是（　　）
　　A．∃x0∈R，≤0　　B．∀x∈R，2x＞x2　　C．a+b=0的充要条件是=﹣1　　D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用。
专题：
计算题。
分析：
利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
解答：
解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
点评：
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用．

4．（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）
　　A．球　　B．三棱锥　　C．正方体　　D．圆柱

考点：
由三视图还原实物图。
专题：
作图题。
分析：
利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等
解答：
解：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱
故选 D
点评：
本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题

5．（2012•福建）下列不等式一定成立的是（　　）
　　A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）　　B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）　　C．x2+1≥2|x|（x∈R）　　D．（x∈R）

考点：
不等式比较大小。
专题：
探究型。
分析：
由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可
解答：
解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；
B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；
C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0，
D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立
综上，C选项是正确的
故选C
点评：
本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键

6．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

　　A．　　B．　　C．　　D．

考点：
定积分在求面积中的应用；几何概型。
专题：
计算题。
分析：
根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
解答：
解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
点评：
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．

7．（2012•福建）设函数则下列结论错误的是（　　）
　　A．D（x）的值域为{0，1}　　B．D（x）是偶函数　　C．D（x）不是周期函数　　D．D（x）不是单调函数

考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法。
专题：
证明题。
分析：
由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断D结论错误，故选D
解答：
解：A显然正确；
∵=D（x），∴D（x）是偶函，B正确；
∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；
∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，D正确；
故选 C
点评：
本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题

8．（2012•福建）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）
　　A．　　B．　　C．3　　D．5

考点：
双曲线的简单性质；抛物线的简单性质。
专题：
计算题。
分析：
确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．
解答：
解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
点评：
本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．

9．（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（　　）
　　A．　　B．1　　C．　　D．2

考点：
简单线性规划。
专题：
计算题；数形结合。
分析：
根据题意，由线性规划知识分析可得束条件确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案．
解答：
解：约束条件确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，
分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），
若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，
即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，
则必有m≤1，即实数m的最大值为1，
故选B．

点评：
本题考查线性规划的应用与指数函数的性质，关键是得到函数y=2x与阴影部分边界直线的交点．

10．（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（　　）
　　A．①②　　B．①③　　C．②④　　D．③④

考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性。
专题：
新定义。
分析：
根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．
解答：
解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，
但f（x）=在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，
∴，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
有=
≤
≤
=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，

∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故选D．
点评：
本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=　2　．

考点：
二项式定理的应用。
专题：
计算题。
分析：
根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，由此解得a的值．
解答：
解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2，
故答案为 2．
点评：
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

12．（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于　﹣3　．

考点：
循环结构。
专题：
计算题。
分析：
直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，推出循环，输出结果．
解答：
解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，
第2次判断循环，s=0，k=3，
第3次判断循环，s=﹣3，k=4，
不满足判断框的条件，推出循环，输出上．
故答案为：﹣3．

点评：
本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力．

13．（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为　　．

考点：
余弦定理；等比数列的性质。
专题：
计算题。
分析：
根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．
解答：
解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，
∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，
则根据余弦定理得：cosθ==﹣．
故答案为：﹣
点评：
此题考查了余弦定理，等比数列的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

14．（2012•福建）数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=　3018　．

考点：
数列的求和。
专题：
计算题。
分析：
先求出cos的规律，进而得到ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．
解答：
解：因为cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；
∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；
∴ncos的每四项和为2；
∴数列{an}的每四项和为：2+4=6．
而2012÷4=503；
∴S2012=503×6=3018．
故答案为 3018．
点评：
本题主要考察数列的求和，解决本题的关键在于求出数列各项的规律．

15．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）﹡（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是　　．

考点：
根的存在性及根的个数判断；分段函数的解析式求法及其图象的作法。
专题：
新定义。
分析：
根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．
解答：
解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），
当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，
当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，
∴x1x2x3=m（）=，m∈（0，）
令y=，
则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（），f（0）），即
故答案为：

点评：
本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．

三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x（年）
0＜x＜1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
x＞2
轿车数量（辆）
2
3
45
5
45
每辆利润（万元）
1
2
3
1.8
20.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

考点：
离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列。
专题：
计算题。
分析：
（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其功率；
（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；
（III）由（II），计算期为E（X1）=1×+2×+3×=2.86（万元 ），E（X2）=1.8×+2.9×=2.79（万元 ），比较期望可得结论．
解答：
解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（II）依题意得，X1的分布列为

X1
1
2
3
P

X2的分布列为

X2
1.8
2.9
P

（III）由（II）得E（X1）=1×+2×+3×=2.86（万元 ）
E（X2）=1.8×+2.9×=2.79（万元 ）
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车．
点评：
本题考查概率的求解，考查分布列与期望，解题的关键是求出概率，属于基础题．

17．（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

考点：
分析法和综合法；归纳推理。
专题：
计算题。
分析：
（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣+cos2α+sin2α
﹣sin2α﹣，化简可得结果．
解答：
解：选择（2），计算如下：
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故 这个常数为．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．
证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．
（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α
=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．
点评：
本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．

18．（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．

考点：
用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定。
专题：
证明题；综合题；数形结合；转化思想。
分析：
（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量与的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．
（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．
（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长
解答：
解：（I）以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（，1，0），B1（a，0，1）
故=（0，1，1），=（﹣，1，﹣1），=（a，0，1），=（，1，0），
∵•=1﹣1=0
∴B1E⊥AD1；
（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此时=（0，﹣1，t）．
又设平面B1AE的法向量=（x，y，z）．
∵⊥平面B1AE，∴⊥B1A，⊥AE，得，取x=1，得平面B1AE的一个法向量=（1，﹣，﹣a）．
要使DP∥平面B1AE，只要⊥，即有•=0，有此得﹣at=0，解得t=，即P（0，0，），
又DP⊈平面B1AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP=
（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．
由（I）知，B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1．
∴AD1⊥平面DCB1A1，
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量，此时=（0，1，1）．
设与所成的角为θ，则cosθ==
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，
∴|cosθ|=cos30°=即=，解得a=2，即AB的长为2

点评：
本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行及线线垂直，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应，此类解题，方法简单思维量小，但计算量大，易因为计算错误导致解题失败，解题时要严谨，认真，利用空间向量求解立体几何题是近几年高考的热点，必考内容，学习时要好好把握

19．（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程。
专题：
综合题。
分析：
（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0==，y0=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）
点评：
本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．

20．（2012•福建）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性。
专题：
综合题。
分析：
（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）=ex﹣e＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g（x）有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a，可得函数的单调性，进而可研究g（x）的零点，由此可得结论．
解答：
解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax﹣e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e
令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=
（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；
（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a
令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；
①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增
∴g（x）只有唯一零点x=x0；
②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞
g（x0）=0
任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，
∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e+f′（x0）．c=
∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得
∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；
③若x0＜ln（﹣2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；
综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．
点评：
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于难题．

四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。）
21．（2012•福建）（1）选修4﹣2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=（）（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A2的逆矩阵