人大版微积分无穷大量与无穷小量市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分第二章第二章 极限与连续极限与连续数列极限数列极限函数极限函数极限变量极限变量极限无穷大与无穷小无穷大与无穷小极限运算法则极限运算法则两个主要极限两个主要极限函数连续性函数连续性第3页微积分2.4 2.4 无穷大无穷大量与无穷小与无穷小量一一.无穷小无穷小量定义定义1 1：以以0 0为极限变量为极限变量,称为称为无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。定义定义2 2：0,0,某个时刻，在此时刻以后，某个时刻，在此时刻以后，|y|y|0,0，使得当，使得当0|x-x0|时时,|f(x)|0,M0，使得当，使得当|x|M时时,|f(x)|0,E0,某个时刻，在此时刻以后，某个时刻，在此时刻以后，|y|E|y|E,恒成立恒成立.则称则称y y在此改变过程为无穷大量（无穷大）。在此改变过程为无穷大量（无穷大）。记为：记为：limlimy y=同理可定义：同理可定义：正无穷大正无穷大 limy=+负无穷大负无穷大 limy=-第12页微积分无穷大无穷大量对于对于x xx0：E0,0，使得当，使得当0|x-x0|E,恒成恒成立立.对于对于x：E0,M0，使得当，使得当|x|M时时,|f(x)|E,恒成立恒成立.第13页微积分特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大数混同不能与很大数混同;（3）无穷大是一个特殊无界变量）无穷大是一个特殊无界变量,不过无不过无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.第14页微积分不是无穷大不是无穷大无界，无界，第15页微积分证证第16页微积分三、无穷小与无穷大关系定理定理 在同一过程中在同一过程中,无穷大倒数为无穷小无穷大倒数为无穷小;恒恒不为零无穷小倒数为无穷大不为零无穷小倒数为无穷大.证证第17页微积分意义意义 关于无穷大讨论关于无穷大讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小讨论讨论.第18页微积分四四.无穷小无穷小量阶四四.无穷小无穷小量阶比如比如,观察各极限观察各极限不可比不可比.极限不一样极限不一样,反应了趋向于零反应了趋向于零“快慢快慢”程度不程度不一样一样.第19页微积分定义：定义：,是相同一过程两个无穷小量是相同一过程两个无穷小量.假如假如:第20页微积分第21页微积分例例1 1解解例例2 2解解第22页微积分惯用等价无穷小惯用等价无穷小:注注1.上述上述10个等价无穷小（包含反、对、幂、个等价无穷小（包含反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握第23页微积分用等价无穷小可给出函数近似表示式用等价无穷小可给出函数近似表示式:普通地有普通地有即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分比如比如,第24页微积分等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证意义意义 求两个无穷小之比极限时，可将其中分子或分求两个无穷小之比极限时，可将其中分子或分母或乘积因子中无穷小用与其等价较简单无穷小代母或乘积因子中无穷小用与其等价较简单无穷小代替，以简化计算。详细代换时，可只代换分子，也替，以简化计算。详细代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。可只代换分母，或者分子分母同时代换。第25页微积分例例3 3解解注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系含有：自反性，对称性，传递性等价关系含有：自反性，对称性，传递性第26页微积分例例4 4解解错错解解第27页微积分例例5 5解解第28页微积分例例6 求求解一解一解二解二第29页微积分解三解三例例7 求求解解第30页微积分关于关于1 1型极限求法型极限求法第31页微积分第32页微积分五.小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言无穷小与无穷大是相对于过程而言.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）数混不能与很小（大）数混同，零是唯一无穷小数；同，零是唯一无穷小数；（2 2）无穷多个无穷小代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.第33页微积分思索题思索题第34页微积分思索题解答思索题解答不能确保不能确保.例例有有第35页微积分一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第36页微积分第37页微积分练习题答案练习题答案第38页微积分1.无穷小比较无穷小比较:反应了同一过程中反应了同一过程中,两无穷小趋于零速度快两无穷小趋于零速度快慢慢,但并不是全部无穷小都可进行比较但并不是全部无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小阶无穷小阶.2.等价无穷小替换等价无穷小替换:求极限又一个方法求极限又一个方法,注意适用条件注意适用条件.第39页微积分思索题思索题任何两个无穷小量都能够比较吗？任何两个无穷小量都能够比较吗？思索题解答思索题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时第40页