十函数列与函数项级数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第十三章第十三章 函数列与函数项级数函数列与函数项级数 11一致收敛性一致收敛性一致收敛性一致收敛性 一函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列()在点 设 (1)(1)是一列定义在数集E上函数,称定义在E上函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在第1页或第2页 总有例例证实它收敛证证:(3)第3页它显然是发散,所以函数列例例2 2 设 证实它收敛域为极限函数为 =0。证证：因为对任何实数都有 故，对任意给定，就有第4页定义定义1所以数列收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不但要讨论它在哪些点上收敛，而更主要是要研究极限函数所含有解析性质。比如能否由函数列每项连续性，判断出极限函数连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。第5页一致收敛于一致收敛于f 几何意义几何意义:不一致收敛于不一致收敛于f 几何意义几何意义:函数列在函数列在D上不一致收敛定义：上不一致收敛定义：第6页定理定理13.1(函数列一致收敛柯西准则函数列一致收敛柯西准则)(4)第7页证证:必要性充分性一点都收敛，记其极限函数为(5)第8页定理定理13.2证证:必要性由上确界定义有由此证得（6）式成立。充分性有由（7）式得（6）（7）第9页例例3证实证：证：于是，但因为 所以，该函数列在 上不一致收敛。第10页二二.函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性称为定义在上函数项级数，为函数项级数部分和函数列。级数和函数：即若收敛，则称为收敛点。若发散，则称为收发散点。也就是说函数项级数收敛性就是指它部分和数列收敛性。第11页当当当当定理定理13.3（一致收敛柯西准则）或推论：推论：定义定义2.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例例4第12页定理定理13.4由此可知我们来看例4中级数若仅在-a，a（aN时，对一切有第17页所以 于是由一致收敛性柯西准则，级数在区间I上一致收敛。例例6 6 函数项级数在0，1上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例例7 7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛。证：证：因为在上有第18页所以级数部分和数列在上一致有界，于是令 由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。第19页