1、一、基本初等函数、基本初等函数二、复合函数二、复合函数三、初等函数三、初等函数四、建立函数关系举例四、建立函数关系举例第五节第五节 初等函数初等函数第1页一、基本初等函数(一)常量y=C(C为常数)常量函数定义域为 ，不论x取何值，y都取值常数C.第2页(二)幂函数 幂函数 定义域随 不一样而不一样.不论 取何值，它在 内都有定义，而且图形都经过(1,1)点.第3页当 正整数时,定义域为 为偶(奇)数时,偶(奇)函数.第4页 不论 为有理数还是无理数,只要 ,函数 在区间 都是严格单调增加;,函数 在区间 是严格单调降低.第5页指数函数 定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a0,a1),
2、值域都是 ，函数图形都过(0,1)点.第6页对数函数 是指数函数 反函数，它定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a0,a1)，值域都是 ，函数图形都过(1,0)点.第7页在高等数学中，惯用到以e为底指数函数 和以e为底对数函数 (记作ln x),ln x称为自然对数.这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数.第8页(五)三角函数惯用三角函数有：正弦函数 y=sin x;第9页余弦函数 y=cos x;y=sin x与y=cos x 定义域均为 ，它们都是以 为周期函数，都是有界函数.第10页正切函数 y=tan x;第11页余切函数 y=cot x;第12页tan x与cot x是
3、以 为周期周期函数，而且在其定义域内是无界函数.sin x,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数.三角函数还包含正割函数y=sec x,余割函数y=csc x,其中 .它们都是以 为周期周期函数，而且在开区间 内都是无界函数.第13页(六)反三角函数三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x反函数都是多值函数，我们按以下区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作反正弦函数第14页反余弦函数第15页反正切函数第16页反余切函数第17页二、复合函数并称x为自变量，u为中间变量.定义1.8 设y是u函数，y=f(u)，而u是x函数 ，而且 值域 包含f(u
4、)定义域U之中，即当 时 .则y经过u联络成为x函数，称此函数是由y=f(u)及 复合而成复合函数，记作第18页例1 将函数 分解成两个基本初等函数复合,并求该函数定义域.解 令u=x2,函数 可分解为定义域为u=x2定义域为值域可知 定义域为第19页例2 设函数 能否合成函数 若能够写出表示式并求出此复合函数定义域.函数解 函数值域为所以能够复合成由定义域有公共部分,它与 定义域知第20页从而复合函数 取值范围为即所以此复合函数定义域为第21页例3 函数 是由哪些基本初等函数复合或经四则运算并复合而成？解 此函数可分解为将上述函数依次复合便得第22页三、初等函数定义1.9 能够由基本初等函数
5、经过有限次四则运算或(和)经过有限次复合运算所组成,并可用一个式子表示函数,称为初等函数.不是初等函数函数叫作非初等函数.第23页下面这些函数不是初等函数当x0当x=0,(称为符号函数，记为sgnx);当x0当x0初等函数都能够用一个公式表示.第24页例4 设 为常数,且 讨论函数 周期性并求其(最小正)周期.解 f(t)为周期函数充要条件是,存在常数T0,使f(t+T)=f(t),即即上式成立充要条件是取n=1,所以f(t)最小正周期为第25页例5 求f(x)=sin2x周期解周期为而任意实数都是常数 周期,周期是两项之和,可见它周期为.第26页例6 讨论以下函数奇偶性:解 (1)易知,f(
6、x)定义域有于是,对于任意而所以f(x)为奇函数第27页(2)易知,g(x)定义域于是对于任意有而所以g(x)为偶函数.第28页例7 把圆心角为 (弧度 )平面扇形两条半径重合在一起而卷成一个圆锥，试求圆锥顶角与函数关系.四、建立函数关系举例把这个扇形卷成圆锥后，它顶角为 ，底圆周长为 .解 设扇形AOB圆心角 是 ，半径为r，于是弧AB长度为 .第29页所以底圆半径为第30页例8 将一个底半径为2cm，高为10cm圆锥杯做成量杯.要在上面刻上表示容积刻度，求出溶液高度与其对应容积之间函数关系.解 设溶液高度为h，其对应容积为V，r是平行于底面截面半径，则第31页因为r也是变量，而需要找是V与h之间函数关系，所以应设法消去r，注意到 有第32页
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