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第1页1 1、相关知识关键点、相关知识关键点2 2、往年实际赛题演练、往年实际赛题演练3 3、模拟赛题演练、模拟赛题演练第2页1.1.1 1.1.1 平面点法式方程平面点法式方程而而M0 M=x x0,y y0,z z0,得得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程称方程(1)为平面为平面点法式方程点法式方程.(1)yxzM0MnO对于平面上任一点对于平面上任一点M(x,y,z),向量向量M0M与与n垂直垂直.n M0 M=0设平面设平面 过定点过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量且有法向量n=A,B,C.1.1.1.1.平面方程平面方程第3页1.1.2 1.1.2 平面普通方程平面普通方程平面普通方程平面普通方程1.定理定理1:任何任何x,y,z一次方程一次方程Ax+By+Cz+D=0都表示平面都表示平面,且此平面一个法向量是且此平面一个法向量是:n=A,B,C注：一次方程注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面称为平面普通方程普通方程.(3)即平面即平面截距式方程截距式方程。1.1.3 1.1.3 平面截距式方程平面截距式方程平面截距式方程平面截距式方程(3)第4页1.1.4 平面方程几个特殊情形平面方程几个特殊情形(1)过原点平面方程过原点平面方程因为因为O(0,0,0)满足方程满足方程,所以所以D=0.于是于是,过原点平面方程为过原点平面方程为:Ax+By+Cz=0第5页(2)平行于坐标轴方程平行于坐标轴方程考虑平行于考虑平行于x轴平面轴平面Ax+By+Cz+D=0,它它法向量法向量n=A,B,C与与x 轴上单位向量轴上单位向量 i=1,0,0垂直垂直,所以所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是于是:平行于平行于x 轴平面方程是轴平面方程是 By+Cz+D=0;平行于平行于y 轴平面方程是轴平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于平行于z 轴平面方程是轴平面方程是 Ax+By+D=0.尤其尤其:D=0时时,平面过坐标轴平面过坐标轴.第6页(3)平行于坐标面平面方程平行于坐标面平面方程平行于平行于xOy 面面平面方程是平面方程是平行于平行于xOz 面平面方程是面平面方程是平行于平行于yOz 面平面方程是面平面方程是Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0.第7页空间直线可看成两平面交线空间直线可看成两平面交线(4)称为空间直线普通方程称为空间直线普通方程1.2.1 空间直线普通方程空间直线普通方程第8页1.2.2 1.2.2 直线对称式方程直线对称式方程已知直线已知直线L过过M0(x0,y0,z0)点点方向向量方向向量 s=m,n,p所以得百分比式所以得百分比式(5)称为空间直线称为空间直线对称式方程或点向式方程对称式方程或点向式方程./第9页1.2.3 1.2.3 空间直线参数式方程空间直线参数式方程得得:(6)称为空间直线称为空间直线参数方程参数方程.(6)令令直线一组直线一组方向数方向数第10页定理定理 假如两个平面假如两个平面 2：A2x+B2y+C2z+D2=0 1：A1x+B1y+C1z+D1=0交于一条直线交于一条直线L，则以直线，则以直线L为轴有轴为轴有轴平面束平面束方程为方程为m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0其中其中m,n是不全为零任意实数。（证略）是不全为零任意实数。（证略）第11页解解:所求直线所求直线L看以看做看以看做过过 L1且垂直于且垂直于平面平面1与平面与平面交线交线.例例1*求直线求直线 在平面在平面 内投影直线内投影直线L方程方程.则则 由例由例1可得可得L1L1投影直线投影直线L方程为方程为:第12页例例2、求与平面、求与平面3x+y-z+4=0平行且在平行且在Oz轴上截距为轴上截距为-2平面方程。平面方程。解解：设所求平面方程为设所求平面方程为3x+y-z+=0因为平面在因为平面在Oz轴上截距为轴上截距为-2，故平面过点，故平面过点(0,0,-2).由此得由此得2+=0,即即=-2 故所求平面方程为故所求平面方程为3x+y-z-2=0第13页例例3 3 求过直线求过直线L和点和点M0(1,2,3)平面平面方程方程.解解 设设方程为：方程为：(*)第14页例例4 4 试证两直线试证两直线在同一平面上充要条件是在同一平面上充要条件是与与第15页证证因为经过因为经过 任意平面方程为任意平面方程为其中其中是不全为零任意实数；是不全为零任意实数；而经过而经过 任意平面为任意平面为其中其中是不全为零任意实数。是不全为零任意实数。所以两直线在同一平面上所以两直线在同一平面上充要条件充要条件是存在是存在不全为零实数不全为零实数使使(1)与与(2)左端仅相差左端仅相差一个不为零数因子一个不为零数因子，即，即第16页化简整理得化简整理得所以所以第17页因为因为不全为零，不全为零，所以得所以得而而 所以两直线共面所以两直线共面充要条件充要条件为为即即第18页例例5 设设三平面方程：三平面方程：其中其中为参数，试求为参数，试求（1）三平面交于一点充要条件；）三平面交于一点充要条件；（2）三平面经过同一直线充要条件；）三平面经过同一直线充要条件；（3）三平面无公共点充要条件。）三平面无公共点充要条件。第19页解解（1）三平面交于一点，就是由三平面方程组成）三平面交于一点，就是由三平面方程组成方程组有惟一解问题，方程组有惟一解问题，从代数学中知道，其充要条件从代数学中知道，其充要条件为其系数行列式不为零。为其系数行列式不为零。即即（2）三平面经过同一直线，）三平面经过同一直线，由由(1)知必有知必有且平面且平面属于以属于以交线交线为轴平面束，为轴平面束，所以有所以有第20页由此得由此得解得解得所以三平面经过同一直线充要条件为所以三平面经过同一直线充要条件为（3）由）由(1)与与(2)知，三平面无公共点充要条件为知，三平面无公共点充要条件为第21页观察柱面形成观察柱面形成过程过程:定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为直线所形成曲面称为柱面柱面.这条定曲线这条定曲线C叫柱面叫柱面准线准线，动直线动直线L叫柱叫柱面面母线母线.1.41.4 柱面柱面母线母线准准线线第22页母线母线准线准线普通普通柱面柱面柱面柱面注意：注意：柱面准线不唯一。柱面准线不唯一。柱面准线不唯一。柱面准线不唯一。第23页设柱面准线为设柱面准线为母线方向数为母线方向数为X,Y,Z。假如。假如M1(x1,y1,z1)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1母线方程为母线方程为第24页且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (10)从（从（9）（）（10）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（7 7）为准线，母线方向数为为准线，母线方向数为X，Y，Z柱面柱面方程。方程。第25页例例1.4.1解法一解法一母线方向数即为轴方向数母线方向数即为轴方向数1，2，2.问题也就处理了问题也就处理了.因为圆柱面母线平行于其轴，因为圆柱面母线平行于其轴，所以所以假如能假如能求出求出圆柱面圆柱面准线圆准线圆，那么再利用前面解法，那么再利用前面解法，因为空间圆因为空间圆,总能够看成是某一总能够看成是某一球面球面与某一与某一平平面面交线交线.已知圆柱面轴为已知圆柱面轴为 ，在此圆柱面上，求这个圆柱面方程在此圆柱面上，求这个圆柱面方程.点点第26页(0,1,-1)（1,-2,1）这里圆柱面这里圆柱面准线圆准线圆，能够看成能够看成是是(0,1,-1)为中心，为中心，以轴上点以轴上点点点(0,1,-1)到已知点到已知点(1,-2,1)与与过已知点过已知点且垂直于轴且垂直于轴(1,2,1)1，2，2 交线交线.距离距离为半径为半径球面球面平面平面第27页轴上定点为轴上定点为 而圆柱面上为而圆柱面上为 ，所以所以所以所以 到轴距离为到轴距离为例例1.4.1 已知已知圆柱面圆柱面轴为轴为点点(1,-2,1)(1,-2,1)在此在此圆柱面上，求这个柱面方程。圆柱面上，求这个柱面方程。解法解法2：轴方向向量为：轴方向向量为v=（1,-2,-2),1,-2,-2),M0(0,1,-1)M1(1,-2,1)第28页即准线圆方程为即准线圆方程为（11）再设再设 为准线圆（为准线圆（11）上任意一点，那么有）上任意一点，那么有且过且过 母线母线为为由上四式消去参数由上四式消去参数 即得所求圆柱面方程为即得所求圆柱面方程为 第29页再设再设 为此为此圆柱面上任意点，那么有圆柱面上任意点，那么有即即化简整理得化简整理得所求所求圆柱面方程为圆柱面方程为第30页柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面定理定理1.4.1 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,只含只含两个元两个元(坐标坐标)三三元方程所表示曲面是一个元方程所表示曲面是一个柱面柱面,它母线平行于所缺元它母线平行于所缺元(坐标坐标)同名坐标轴同名坐标轴.第31页1.5 锥面锥面1.5.1 1.5.1 定义定义经过一定点且与定曲线相交一族直线经过一定点且与定曲线相交一族直线 所产生所产生曲面叫做曲面叫做锥面锥面.这些直线都叫做锥面这些直线都叫做锥面母线母线.那个定点叫做锥面那个定点叫做锥面顶点顶点.锥面方程是一个三元方程锥面方程是一个三元方程.定曲线称为锥面定曲线称为锥面准线准线F(x,y,z)=0第32页 准线准线顶点顶点 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面准线不锥面准线不惟一惟一，和一切母，和一切母线都相交每一条线都相交每一条曲线都能够作为曲线都能够作为它准线它准线.第33页1.5.2 1.5.2 锥面方程锥面方程设锥面准线为设锥面准线为顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，假如，假如M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1母线为：母线为：第34页设锥面准线为设锥面准线为顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，假如，假如M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1母线为：母线为：且有且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （14）从（从（13）（）（14）中消去参数）中消去参数x1,y1,z1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（这就是以（12）为准线，以）为准线，以A为顶点锥面方程。为顶点锥面方程。第35页定理定理1.5.2 一个关于一个关于x,y,z齐次方程齐次方程总表示顶点在坐标总表示顶点在坐标 原点原点锥面锥面。第36页1.6.1 旋转曲面旋转曲面定定义义:以以一一条条平平面面曲曲线线C绕绕其其平平面面上上一一条条直直线线旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面叫叫做做旋旋转转曲曲面面,这这条条定定直直线叫旋转曲面线叫旋转曲面轴轴.曲线曲线C称为放置曲面称为放置曲面母线母线.oC纬线纬线经线经线1.6 1.6 旋转曲面旋转曲面第37页1.6.2 旋转曲面方程旋转曲面方程在空间坐标系中，设旋转曲面母线为：在空间坐标系中，设旋转曲面母线为：旋转轴为直线：旋转轴为直线：其中其中P0(x0,y0,z0)为轴为轴L上一定点，上一定点，X，Y，Z为旋转轴为旋转轴L方向数。方向数。设设M1(x1,y1,z1)为母线为母线C上任意点，则上任意点，则M1纬圆总纬圆总能够看成是过能够看成是过M1且垂直于旋转轴且垂直于旋转轴L平面与以平面与以P0为中为中心，心，|P0M1|为半径球面交线。为半径球面交线。第38页所以过所以过M1纬圆方程为：纬圆方程为：当点当点M1跑遍整个母线跑遍整个母线C时，就得到全部纬圆，时，就得到全部纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。这些纬圆就生成旋转曲面。又因为又因为M1在母线上，所以又有：在母线上，所以又有：从（从（3）（）（4）四个等式中消去参数）四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一得到一个三元方程：个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以这就是以C为母线，为母线，L为旋转轴为旋转轴旋转曲面旋转曲面方程。方程。第39页规律：规律：当当坐标平面上曲线坐标平面上曲线C绕此坐标平面一个绕此坐标平面一个坐标旋转时，要求该旋转曲面方程，只要将坐标旋转时，要求该旋转曲面方程，只要将曲线曲线C在坐标面里方程保留和旋转轴同名在坐标面里方程保留和旋转轴同名坐标，而以其它两个坐标平方和平方根来代坐标，而以其它两个坐标平方和平方根来代替方程中另一坐标。替方程中另一坐标。1.6.3 特殊旋转曲面方程特殊旋转曲面方程第40页例例第41页在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,由方程由方程 所表示曲面叫做所表示曲面叫做椭球面椭球面,或称或称椭圆面椭圆面,通常假定通常假定abc0.该方程叫做该方程叫做椭球面标准方程椭球面标准方程.1.7 椭球面椭球面第42页第43页第44页第45页第46页（）第47页第48页 非数学类一一(2)(2)（6 6分）求经过直线分）求经过直线两个相互垂直平面两个相互垂直平面使其中一个平面过点使其中一个平面过点解解设经过直线设经过直线L L平面方程为平面方程为又因其中一个平面过点又因其中一个平面过点所以所以即即得得第49页平面平面 方程为方程为即即平面平面 法向量为法向量为又因两平面相互垂直，又因两平面相互垂直，平面平面 法向量为法向量为故故即即得得平面平面 方程为方程为所以，所以，第50页 数学类一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面求切锥面方程求切锥面方程解法一解法一于是有于是有而且这个关于而且这个关于 t t 方程只有一个根方程只有一个根从原点作从原点作 切锥面，切锥面，设设 为切锥面上点（非原点为切锥面上点（非原点)，存在存在唯一唯一 t t 使得使得 落在椭圆抛物面上落在椭圆抛物面上所以，判别式所以，判别式即即 为所求切锥面方程为所求切锥面方程第51页 数学类一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面求切锥面方程求切锥面方程解法二解法二从原点作从原点作 切锥面，切锥面，椭圆抛物面与椭圆抛物面与yoz yoz 面交线为抛物线面交线为抛物线所以，切线方程为所以，切线方程为设从原点作设从原点作 切锥面切锥面与与该抛物线切点为该抛物线切点为又可知，切线斜率为又可知，切线斜率为切点既在抛物线上，又在直线上，从而切点既在抛物线上，又在直线上，从而得得第52页 数学类一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面求切锥面方程求切锥面方程解法二解法二从原点作从原点作 切锥面，切锥面，所以，切锥面准线方程为所以，切锥面准线方程为得得设设 为准线上任意点，则所求为准线上任意点，则所求切锥面直母线方程为切锥面直母线方程为又又在准线上，在准线上，从而从而第53页 数学类一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面求切锥面方程求切锥面方程解法二解法二从原点作从原点作 切锥面，切锥面，设设 为准线上任意点，则所求为准线上任意点，则所求切锥面直母线方程为切锥面直母线方程为又又在准线上，在准线上，从而从而联立联立(1)(2),(1)(2),消参得消参得 为所求切锥面方程为所求切锥面方程第54页第55页
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