柯尼希定理的初步实验探究_高伟.pdf

第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 2023100柯尼希定理的初步实验探究*高伟，陈菱，白克钊，阳丽（广西师范大学物理与科学技术学院，广西桂林541004）摘要：通过注入液体的乒乓球弹跳实验来学习柯尼希定理。将乒乓球从同一个高度释放，实验记录乒乓球第一次弹跳高度与注入液体量的关系，分析反弹过程的动能与注入液体量的关系来快速理解柯尼希定理。同时建立简单模型计算弹跳过程中的能量损失，从理论上验证实验结果的合理性。关键词：注水乒乓球；柯尼希定理；探究式；碰撞问题；能量损耗中图分类号：O571.41+3 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2023)01-0100-040引言柯尼希定理是理论力学课程中的一个基本定理，它描述的是惯性系与质心系下动能满足的关系1。其定义为：质点系的总动能等于质心的动能，加上各质点相对于质心平动坐标系运动所具有的动能，也翻译为克尼希定理。该定理比较抽象，在课堂教学中教师大都利用习题讲解来帮助学生理解该定理2-8。例如，张昆实3通过计算不同形状的缸体在斜面上做无滑滚动过程中的总动能来验证柯尼希定理。赵娜4介绍了柯尼希定理的三种基本应用。郑金5利用柯尼希定理解答质点系的相对速度问题，加深对两体问题中质点系的总动能的理解。黄晶6利用柯尼希定理来计算质点系角动量。由于对于质心系这个复杂抽象的概念难以理解，少有涉及柯尼希定理的实验探究，因此通过讲授如何使学生对质心系概念有一个比较深入和全面的理解是一个很值得研究的教学问题。在初高中阶段教材并没有对柯尼希定理的专门介绍，但是该定理对解决中学物理中的碰撞问题很有帮助，理解该定理中学物理中很多复杂的问题就变得简单、易理解7-13。例如王向贤8利用柯尼希定理解决三种两体碰撞的问题，分析碰撞前后的相对动能之间的关系，他认为运动该定理要比用动量守恒结合能量守恒的方法更为简洁、可行。刘海军9用数学计算法、柯尼希定理、微分思想三种推导方法计算完全非弹性碰撞时系统动能损失。阮中中10认为柯尼希定理在分析碰撞问题中将系统能量分为内和外，是一种很简明有效的方法。茹惠军11利用柯尼希求解两体碰撞问题中质点系的动能，来帮助学生分析和解决质点系力学问题.宋辉武12利用柯尼希定理、质心运动定理和动能定理求解杆连物系两端物体受到的弹力。他认为利用柯尼希定理求解的物理思想比常规解法更加的丰富。基于柯尼希定理的实验验证较少和为了帮助初高中学生快速理解该定理的目的，本文设计了注水乒乓球弹跳实验（图 1）。这个实验取材简单而且操作简便既可以帮助学生将所学知识融入到实践操作中，提升学生的动手操作能力，加强对于物理知识的理解和掌握，还可以进一步拓展学生的创新思维，提高创新能力。1实验设计1.1实验器材器材：录像机，乒乓球（乒乓球体积为 32ml，重量为 2.74g），注射器，水，热熔胶枪，所需器材见图 1，高度标度图为图 2（75cm 高度）用于测量弹起（第一次）高度。收稿日期：2022-12-19*基金项目：广西重点研发计划项目（桂科AB18221033）广西自然科学面上项目（2022GXNSFAA035487）；广西师范大学研究生教育创新计划项目（XJCY2022012）；广西师范大学第五批课程思政示范课程建设项目（2022kcsz15）通讯作者：第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 2023101图 1实验器材1.2实验步骤（a）对于乒乓球在其顶部开孔并分别向多个乒乓球注入不同体积的水，利用热熔胶枪对已经完成注水的乒乓球进行密封并做好相应的标记。（b）将乒乓球依次距离地面同一高度（75cm）处释放，用多个录像机分别放置在正面、侧面和最高处记录其运动。（图 2）（c）每组实验重复操作多次，尽可能减小实验误差。2实验结果图 2（左）注入水的乒乓球的（第一次）弹起高度实验结果（横坐标表示注入水量，纵坐标表示弹跳高度）图 3（右）注入混合液体的乒乓球的（第一次）弹起高度实验结果（纵坐标表示弹跳高度，横坐标表示水和洗洁精的比例，分别表示 10ml 水、8ml 水和 2ml 洗洁精、6ml 水和 4 毫升洗洁精、5ml 水和 5ml 洗洁精、4ml 水和 6ml 洗洁精、2ml 水和 8ml 洗洁精、10ml 洗洁精）3结果分析乒乓球反弹过程可分为 3 个阶段，即：碰撞瞬间发生形变、恢复形变、反弹上升。乒乓球在与地面发生碰撞后，球体发生弹性形变，球体接触地面部分向内凹陷，进而推动球内的水产生反弹上升，形成水柱，将一部分能量转化为乒乓球内中央水柱的重力势能，从而乒乓球的弹起上升高度会产生能量损耗，最后乒乓恢复原状。从实验结果来看，随着注水量继续增加，弹跳高度呈现 V 型变化趋势（图 2），约在注水量达到 16m 17ml 范围内球反弹高度最低（约为乒乓球容积的一半处）。图 3 中随着洗洁精比例的继续增大也呈现了相似的实验结果，约水：洗洁精的比例为 5：5 时球的弹跳高度最低。通过拍摄乒乓球内部液体在最高处的瞬间状态（图 4）可以分析系统的能量变化。当水量较少时，水柱不能冲到球顶；水量居中，水柱刚好达到球顶；水量较多时，液体向上运动后碰撞球内壁给其一个向上的作用力。第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 2023102图 4球内水柱的瞬间状态，水量从上到下依次增加从能量的角度来说，注水乒乓球弹跳高度取决于与地面碰撞以后质心的运动速度，即质心动能相关。假设弹跳之前总能量是一定的，在最高处注水球的能量由离开碰撞处的动能转化而来，根据柯尼希定理：Tmrmri ii=+?/2222。由球内液体和乒乓球组成的系统是有相对运动的系统。系统的动能=各个质点（液体分子）相对于质心的动能+质心的动能。水量较少的球，形成的水柱不高（图4左），水的运动不剧烈，即相对于质心的动能比较小，于是质心动能比较大，所以回弹的高度高；水量较大的球（图4右），运动空间不大，水运动同样不剧烈，液体相对于质心的动能小，同时水柱无法上升到不受限的高度，达到球顶内壁会给予一个撞击力，又转化为球的动能，因此质心的动能也大，所以回弹高度高；注满水的球，球内的水由于运动空间受限，各质点相对质心的动能几乎为零，意味着质心的动能大，则其回弹的高度自然会比部分注水的球高。反而是水量居中的情况下（注水量约为容积的一半，图4中间图），由于（空气）空间比较大，水可以在球内做剧烈运动，例如水柱刚好达到球内壁顶，势能损失掉，对球壁没有撞击，即相对于质心的动能比较大，于是质心的动能最小，回弹高度最小。为了避免繁复的计算，以上对实验结果只做了定性的原理分析，可以省时、快捷地理解柯尼希定理。如果需要探究现象的本质，需进行具有严密逻辑性地定性分析。接下来建立模型（图 5）对注水球的弹跳进行粗略的估算。4模型假设1）假设乒乓球与地面的碰撞近似认为是弹性碰撞，即反弹之后恢复原状。2）无论液体量是多少，液体不松散，最终稳定的时候，液面是平行于水平面的，液体近似看成一个整体。3）假设液体在反弹运动中不损失能量，那么就相当于液体重心高度变化引起了能量损耗。以向上为正方向，下面分别计算球内液体体积 V，液体的重心 hc 和能量损耗。VRhhhR hRVRh=-+=()d220320303230（1）hRhhVVR hRhcRh=-=-()d22202404042h（2）=-Emg Rhc2(|)|（3）通过公式（1）-（3）可以得到 的结果（图 6）。当球内液体体积增大时，由于液体重心变化引起的能量损耗先增大后减小，有一个最大值，因此，如果以相同高度抛出小球，随着球内液体体积 V 的增大，那么小球回弹的高度应该是先降低后增加，并存在一个最小值。这个计算结果也可以粗略地理解回弹高度出现 V 型曲线的原因。总的来说，小球半径不变时，随着球内水量的上升，小球上升的高度先减小后增加，这与上升过程中液体的损耗有关。图 5 注水球模型 第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 2023103图 6损耗的能量（横坐标为球内液体体积量）通过这个简单的注水球实验既可以用于理解用柯尼希定理，也可以用于学习能量转化、碰撞的内容。例如，在中学物理中运用柯尼希定理就很容易解释为什么非弹性碰撞能量会有损失。碰撞分为弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞。将两个碰撞物体看成一个整体，无论任何形式的碰撞其质心动能都不变。但完全非弹性碰撞之后合在一起，即各质点相对于质心的动能为 0。而弹性碰撞后两物体弹开，各质点相对于质心的动能不为 0。所以完全非弹性碰撞动能损失最大。其实柯尼希定理在中学物理中的应用还有许多，很多问题看起来似乎比较困难，无从下手，可是运用柯尼希定理进行分析，却简单易懂。5结语向乒乓球内部注水，随着注水量的增加，乒乓球第一次弹起高度呈先减小后增大的趋势，造成这种实验现象的主要原因是与地面发生碰撞之后反弹，回弹时的能量即总动能是一定的，球内形成水柱越高，说明内部液体（各个质点）的运动越剧烈，各个质点相对于质心的动能就会越大，因此质心动能小。注水量约为一半时，球内的水相对质心的动能大，即质心动能小，于是球的回弹高度最低。也可以通过计算球内液体的能量损耗得到相同的结论。通过注水球的回弹实验来帮助理解学习柯尼希定理，比起解题来说更加简单而且具有说服性，便于学生快速地对知识进行学习与掌握。把学生作为教学过程中的主体，一切教学工作都要围绕学生开展，形成学生为主老师为辅的引导式教学模式，才能打造高效保质的课堂教学。参 考 文 献1 周衍柏.理论力学教程(第四版)M.北京:高等教育出版社,2018.2 任延宇.哈尔滨工业大学理论力学（智慧树平台专业资源库）EB/OL.2019-12-22.https:/ 张昆实,孙利辉.柯尼希定理的实验研究 J.大学物理实验,2006,19(04):11-13.4 赵娜.柯尼希定理及其基本应用 J.中学教学参考,2018,9(17):38-39.5 郑金.利用柯尼希定理巧解质点系的相对速度问题 J.物理教师,2019,40(10):67-69.6 黄晶,俞超,汪飞.角动量“类柯尼希定理”的证明与应用以 2013 年美国力学竞赛题为例 J.物理教学,2020,42(01):72-73+76.7 王长春.从能量的角度讨论两体碰撞问题 J.技术物理教学,2005(02):21-22.8 王向贤,程民治,朱仁义.一个不容忽视的教学问题巧用柯尼希定理求解两体碰撞 J.物理与工程,2008(04):18-20.9 刘海军.完全非弹性碰撞时系统动能损失最大的三种证明方法 J.湖南中学物理,2010(01):41-42.10 陈钢,阮中中.柯尼希定理运用于两体问题的讨论 J.物理与工程,2010,20(01):22-22+31.11 茹慧军.柯尼希定理在质点系中的应用 J.新乡学院学报(自然科学版),2011,28(02):120-122.12 宋辉武.巧构物理模型另解杆连物系所受的弹力 J.物理教学,2018,40(03):54-55.13 Mark N.Aerodynamic effects in a dropped Ping-PONG Ball experiment J.International Journal of Engineering Education.2003,19(4):623-630.