大学毕业论文-—向量法在高中数学中的应用设计.doc

杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics摘 要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics. 关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra 目 录引 言41、平面几何61.1、 利用向量解决基础平面图形问题61.2、 利用向量求解圆锥曲线问题72、 立体几何92.1、 利用向量解决平行问题92.2、 利用向量解决垂直问题102.3、 利用向量来求空间角问题112.4、 空间距离132.4.1、 两点距离132.4.2、 点到直线距离132.4.3、 点到平面距离142.4.4、 异面直线距离143、代数153.1、 不等式问题153.2、 求最值问题163.3、三角函数中的应用16结 论17参考文献18致 谢18引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。因此，它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中。当然，在本文阐述向量在高中数学中的应用的开始，先来认识一下什么是向量。数学中，向量是既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量。平面上的几何向量常用带箭头的线段有向线段表示，简称为向量。BAa向量的表示分为三种，即代数表示，几何表示，坐标表示。1. 代数表示：一般用黑体小写字母a表示，或者带箭头的小写字母表示，或者用带箭头的两个大写字母表示。2. 几何表示：向量可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小。如图，若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。3. 坐标表示：我们仅以平面坐标来说明，多维坐标以此类推。在平面直角坐标系中，为任意向量，则以x0表示在x轴上的射影长度，y0表示在y轴上的射影长度。分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，作为一组基底。则=x0*+y0*，并用坐标（x0，y0）唯一的表示。向量的分类：1. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。2. 负向量：如果向量与向量的模相等且方向相反，那么我们把向量叫做向量的负向量。3. 单位向量：长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。与向量同向或反向，且长度为单位1的向量，叫做方向上的单位向量。4. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量与相等，记作=。5. 法向量：直线l，取直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量。向量的运算：1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图，在计算+时，将三角形ABD补成平行四边形ABCD，显然图中所有的相等，所有的相等，故+=+ =。就是说，如果要求两向量的和，只要将它们补成平行四边形，从公共点出发的对角线所成的有向线段就是它们的和。CaBDAbab2. 向量的减法：如果、是互为相反的向量，那么=-，=-，+=。的反向量为。还是上图，-=+=，即共同起点，指数相减。3. 向量的数乘：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且=。若0，则与同向，若0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A，B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）试证明抛物线顶点在圆H的圆周上，并求圆H的面积最小时直线AB的方程解：由于直线斜率不能为0，故设直线为ky=x-2p，设A（xa，ya），B（xb，yb），将ky=x-2p与y2=2px连列，消去y，得xa，xb满足x2（4+2k2）px+4p2=0，由韦达定理得，xa xb=4p2，xa+xb=（4+2k2）p，同理可得ya yb =4p2，ya+ yb =2pk*= xa xb + ya yb =0，所以，所以O在圆周上=（，）=（2p+k2p，pk），而由于三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以OH=OA=OB=R，OH=，当k=0时，S=最小，S=p2，直线方程为x=2p分析：这是一道圆锥曲线中的最值问题，其实解题思路还是和一般圆锥曲线问题一样，首先将未知条件用未知数表示，如上题直线中的未知数k，然后将已知条件转换成未知数之间的关系，这是个难点，如上题中的xa xb，ya yb是问题的关键，将其用k表示出来，问题迎刃而解，如果找不到这个点，那么会走很多歪路。如何找这个点，就要求我们清楚明白题目问的是什么，如上题中题目要我们证O在圆上，这句话和向量的挂钩就是，理清楚这层关系，那么什么问题都简单明了了。例6.椭圆的焦点为F1，F2，点P是其上的动点，当F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围.解：设P（x，y），F1（，0），F2（，0）由于F1PF2为钝角，则，即（-x，-y）（-x，-y）=0，故x2-5+y2=0，联例得，. 分析：这是一道比较特殊的圆锥曲线问题， 由F1PF2为钝角得与它在方向上的射影所成角为钝角，即射影为负，即，即。同理锐角射影为正。2、 立体几何用空间向量解决立体几何问题有两个重要手段，即直线的方向向量和平面的法向量，他们实现空间问题的向量解法的桥梁。用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，角的问题，距离问题主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些定理。2.1、 利用向量解决平行问题谈到平行，无非两直线平行，线面平行，与面面平行三种，证明平行的方法有很多，向量法是其中一个，在某些情况下，向量法往往可以将问题简化。我们来看如下例题。FEMzyADCBA11B1111C11D11xN例7. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点（1）求证：DB/EF（2）求证：平面AMN平面BDFE证：（1）以D为原点，DA为单位长，如图建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），M（1，1），N（，0，1），E（，1，1），F（0，1），=（-，-，0），=（1，1，0），=-2，故DB/EF（2）设平面AMN的法向量=（x，y，1），平面BDFE的法向量=（a，b，1），=（-，-，0），=（0，1），=（，0），=（0，1），由与，垂直，得，所以。则=（2，-2，1），同理得=（2，-2，1）所以/。故平面AMN平面BDFEAFEBDCMN分析：（1）空间两直线平行问题可通过坐标求得直线上的向量，用向量成比例来证两直线平行。（2）两平面的平行可以转化为两平面的法向量平行。所以求得法向量的坐标，即可得证这类题型。当然上题也可以通过一平面的两条相交直线分别平行另一平面来证得，但显然没有向量法方便。例8. 如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直, M ,N分别是对角线 AC和BF上的动点,且 AM=FN，求证：MN平面BECzAFEBDCMNyx证：如第二个图，以A为原点，AB为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，F（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），C（0，1，1），E（1，1，0），设AM=FN=a，则M（0，a，a），N（1-a，a，0），=（1-a，0，-a），平面BEC的法向量=（0，1，0），则*=0, 所以，所以MN平面BEC分析：直线与平面的平行可以转化为直线与该平面的法向量垂直。2.2、 利用向量解决垂直问题ABCPFyEGxz说到垂直，中学设计到的只有异面直线垂直，线面垂直以及面面垂直。而向量法可以贯穿其中，用向量法往往比用定义证明更简单，有事半功倍的效果，但是如何运用，还是很关键的。下面具体问题具体分析。例9. 在正棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12(1)求证：EGBC，PGEG(2)求证：平面EFG平面PBC证：（1）如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)=（1，-1，-1），=（1，1，0），=（0，-3，3），*=0, *=0,所以EGBC，PGEG（2）=（0，-1，-1），=（1，-1，-1），设平面EFG的法向量是(x，y，1)，则，故，得，得=（0，-1，1），而显然平面PBC的法向量=（3，0，0），*=0，故，所以平面EFG平面PBCABCDFyEMzx分析：证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直。上题用的是证明法向量垂直，当然利用第一种方法也可以证明，显然没有第二种简单。例10. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M平面EFB1解：以D为原点，以DA为单位长，建立如图的空间直角坐标系D-xyz，E(2，1,0)，F(1,2,0)，D1 (0,0,2)，B1 (2,2,2)设M(2,2,a)，则(1,1,0)，(0,-1,-2)，(2,2，a2)因为D1M平面EFB1，所以D1MEF，D1MB1E。所以，a=1，故当M为BB1中点时，可使D1M平面EFB1分析：用向量法证明线面垂直的关键在于在平面上取相交的两直线，并用向量表示出来。即转化成2次线线垂直问题了。2.3、 利用向量来求空间角问题ABCDP空间角一般分异面直线所成角，线面角与二面角三种。解决这三种角，都可以运用解析几何方法解决。但是求异面直线所成角，必须先把两条直线移到同一个平面；求线面角，必须作射影找到那个角；求二面角，则必须找到过公共边上一点分别与公共边垂直的两条直线所成角。这些角，有时候是现成的，但有时候则非常难找，这时候，往往运用向量法会比较方便。三种角都会在如下例题中出现，向量法的关键是建立空间直角坐标系，将所有点都用坐标表示出来，剩下的就只有计算。但是空间直角坐标系的建立是个难点，如例11，非常容易找到三个彼此正交的直线；而例12，则没有明显的三个彼此正交的直线，需要填辅助线建立。例11 已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小解：（1）如第2个图，以D为原点，以DA为单位长，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1）链接BD，B1D1，延长DP交B1D1于H，下面求H点坐标，ABCDPxyzH不妨设H（a，a，1），由于PDA=60，则cosPDA=，则=，得a=故H（，1），=（，1），=(0,0,1)cos=，故DP与CC1所成角的大小为60（2）平面AA1D1D的发向量=（0，1，0），故cos=，故=60，则DP与平面AA1D1D所成角的大小为30分析：求异面直线所成角，只要将直线上的任意向量以及向量的模求得，根据公式直接可以求得角的余弦值；而线面角则是需要先求得线上向量与面的法向量的夹角，然后通过90去减，即可得到线面角。例12 如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC=90，O为BC中点（1）证明：SO平面ABC（2）求二面角ASCB的余弦值解：（1）问与向量无关，略（2）由（1）得SO平面ABC，取SC中点M，连结AM，OM，由于SB=SB=AB=AC=SC，故三角形SBC为等腰三角形，由于BAC=90，故三角形ABC为等腰直角三角形，故AO=BO=CO=AC=SC，又因为SOC=90，故SO=OC，故三角形SOC为等腰三角形，又因为M是SC中点，得OMSC，AMSC显然成立所以OMA为二面角ASCB的平面角下求cosOMA，AOSO，AOBC，故AO平面SBC，则AOOM，设AO=1，则OM=，AM=，则cosOMA=这里的M点的寻找是个难点，即OMA这个二面角的平面角是很不容易找的，不是每一个学生都找得到。但如果用向量法，就可以将这道题简化。解：以O为原点，OB为单位长，如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1），由于AO平面SBC，故平面SBC的法向量=（0，1，0），设平面SBC的法向量=（x，y，1），=（1，0，1），=（1，1，0），由与，分别垂直，得，所以。故=（-1，1，1），cos=，故二面角ASCB的余弦值为分析：用向量法求二面角，只需求得每个平面的法向量，两个法向量的夹角即是要求的二面角。而至于法向量的求得，可以先设法向量为（x，y，1），通过平面上的2个不共线的向量分别与法向量垂直，得到两个方程式，从而求解x，y。2.4、 空间距离 向量除了能解决空间平行，空间垂直，空间角问题，在解决空间距离问题上也是把好手，包括两点距离，点到直线距离，点到平面距离，异面直线距离等等。下面将通过例子一一说明如何求解。2.4.1、 两点距离zxABCDyNM例13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是AD1的中点，N是BD上一点，DN=DB，求M，N两点间的距离.解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），D1（0，0，1），则M（，0，），B（1，1，0），则N（，0），故MN=.分析：例13是一道求两点直接距离的问题，通用的办法则是求得两点M,N的坐标，用距离公式直接求解。2.4.2、 点到直线距离例14.同上题，求M到BD的距离.解：已求得M（，0，），设MNBD，N为垂足，下面确定N的位置，设N（x，x，0），=（1，1，0），由，得x=，故N（，0），故MN=.分析：欲求M到直线BD的距离，可以先在BD上取一点N，令，根据或者MN取最小值求得，以确定N的位置，再用两点距离公式求解。2.4.3、 点到平面距离ADCBPxyzM例15.如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中,AB = 4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，求：M到平面AB1P的距离. 解：如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，则A（4,0,0），M（2，3，4），P（0，4，0），B1（ 0，0，4），设是平面AB1P的某一法向量.则，.（4 ,0 ,4），（4，4，0），因此可取=（1，1，1），由于（2，3，4），那么点 M 到平面 AB1P 的距离为：d=，故 M 到平面 AB1P的距离为.ADEBC图1分析：欲求点到平面的距离，可先求得平面的法向量，再在平面外取点A，平面内任取一点B，则A到平面的距离d=。2.4.4、 异面直线距离例16.如图在ABC中，B=90，D，E分别在AB，AC上，使，AB=6，BC=4.5，现将ABC沿DE折成直二面角，求异面直线AD和BE的距离.解：如图1，由于，故DE/BC，所以DE=3，AD=4，DB=2.又因为B=90，故ADDE，DBDE折叠后如图2，DA，DE，DB两两垂直，故可以D为原点，以方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，A(0，0，4)，B（2，0，0），E（0，3，0），=（0，0，4），=（-2，3，0），设AD与BE的公垂线方向向量为=（x，y，z），则，得，令x=1，得=（1，0），故d=.zACDBExy图2分析：要求两异面直线a，b的距离，先求得，为两直线的方向向量，为公垂线的方向向量，联例即可得，再在直线a，b上各取一点A、B，那么a，b的距离就可通过d=求得。3、代数向量和代数是2个看似不相干，却有着千丝万缕的关系的朋友，向量问题代数化，代数问题向量化，是高中架起代数与向量的桥梁，而最通常的手段则是以下2个向量三角不等式。（1）. （当，平行时取等号）（2）. （若中间式子为，则，同向时，右边不等式取等号，反向时，左边不等式取等号；若中间式子为，则，同向时，左边不等式取等号，反向时，右边不等式取等号）3.1、 不等式问题证明不等式往往是个比较复杂的问题，而且有些难题的关键点是一般学生所想不到的。如果某些式子中具有向量代数某些特征时，例如乘方之和或根号下平方和，这时候采用构造向量去解往往能化难为易，让人眼前一亮。 例17. 已知a、b、cR，且，求证证：构造向量=，=，有，得，所以，所以例18.求证：.证明：设=（1，a），=（1，b），则=（0，a-b），=，由得证.分析：例17例18分别用了上述的向量三角不等式，通过构造向量，用向量三角不等式解决不等式问题。例19.，其中，求证. 证：设=（x，y，z），=（a，b，c），设他们的夹角为，=，由已知条件得，=1，=0或，则/，故. 分析：由x2+y2+z2和a2+b2+c2可以联想到向量的模，由ax+by+cz可以联想到向量的数量积，故可构造向量求解。3.2、 求最值问题由于最值也涉及到不等号，所以最值问题往往与不等式问题有异曲同工之处，其关键也在于构建向量。例20. 求函数的最小值解：构造向量=(x,2)，=（3-x，3），则y=所以当，即x=时，例21. 已知实数x，y满足方程x2+y2=6x-4y-9，求2x-3y的最大值和最小值的和.解：x2+y2=6x-4y-9可化简得到（x-3）2+（y-2）2=4，设=（x-3，y+2），=（2，-3），由得，则，故当/时等号成立，（2x-3y）max+（2x-3y）min=12-2+12+2=24.3.3、三角函数中的应用三角函数问题同样可以通过构造向量来解决，利用可简化三角函数问题，解法简洁流畅，体现于“向量问题函数化，函数问题向量化”的等价转化思想。 例22. 求函数的最值.解：原式可化为，令z=,构造向量=，=(1，1) ，则z=，所以.结 论新课标改革后，向量被引入高中数学，这极大的丰富和发展了高中数学知识结构体系，也极大的拓展了高中学生的思维空间，尤其是将向量法作为工具对于解决几何问题有其独到之处，将传统几何中的定性推理与代数运算的定量分析作转换，避免了传统几何方法中复杂的推理及论证，充分体现出数学中数形结合思想、形象思维与抽象思维的转化。当然在代数中，向量也有其不可小觑的魅力，将许多让人无从下手的代数问题通过向量重新转化成几何问题，让人有一种柳暗花明又一村的感觉。当然向量法不是万能的。虽然说许多题目通过向量思维转换，可以化难为易，但是向量法本身存在的难点也是不容忽视的。首先，如何构建向量就是一个技巧，如果找不到合适的向量构建，一味的选择向量法，只会浪费时间；其次向量的运算也不是一个轻松的活，容易出错。所以我们不能仅看见向量优势的一面，还要对向量有一种深层次的反思，不能对向量的认识仅仅停留在数学解题上，应该从更大的范围和角度认识向量，要全面的把握好向量与其他数学工具的关系。通过积极的探索，合理的构造，当拥有丰富的经验后，自然就能对向量法运用自如。没有向量法是万万不能的。当其他考生在考场死算算的头破血流时，你却早已通过向量法将一切都看破，将一颗牛肉粒放入嘴中，深藏功与名。何等的俯视群雄的姿态，可谓得向量者得天下。参考文献1吕林根，许子道解析几何M第四版北京：高等教育出版社，2006：1-22教育部普通高中数学课程标准 M北京：人民教育出版社，2013：108-1093王晓颖向量在解题中的应用J考试周刊，2011， (20)：79-804王俊平平面向量在解析几何中的应用J高中数学教与学，2003， (8)：19-205樊文联例说向量的广泛应用J高中数学教育学，2003，(6)：24-256宋波，赵辛庆向量射影在几何解题中的应用J数学教学研究，2005， (1)：34-367俞汉林向量-求空间距离的有力工具J高中数学教与学，2003， (6)：15-168P.C. MatthewsVector calculus MSpringer，1998：103-1059梁毅麟平面法向量在解立体几何题中的应用探究J科技传播，2010， (2)：73-77 10李平兰浅谈平面向量在代数中的应用J学术讨论，2008，(8)：270-27111Paul R.HalmosFinite Dimensional Vector SpacesMPrinceton University Press，1947：23-2412吐尔孙江向量在初等代数中的应用J喀什师范学院学报，2005，26：60-61致 谢本毕业论文是在我的指导老师李祖泉老师的亲切关怀与细心指导下完成的。从课题的选择到论文的最终完成，李祖泉老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且在耐心指导论文之余，李祖泉老师仍不忘拓展我们的文化视野，让我们感受到了数学的美妙与乐趣。值得一提的是，李祖泉老师宅心仁厚，闲静少言，不慕荣利，对学生认真负责，在他的身上，我们可以感受到一个学者的严谨和务实，这些都让我们获益菲浅，并且将终生受用无穷。毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向李祖泉老师表示最衷心的感谢！第18页（共18页）