毕业论文设计--输油管线布置的最优设计数学建模论文.doc

（2010年Ｃ题全国一等奖）
输油管线布置的最优设计

摘 要

我国是能源消耗大国，石油输油管的建设是一个投资巨大的工程，优化输油管线的铺设可以节约成本，具有十分明显的经济意义。本文针对铁路线一侧两炼油厂及铁路线上增建一个车站，考虑油管的布置问题，利用函数偏导求极值和数学软件mathlab、lingo的计算机优化模拟，建立了管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
问题一，针对两炼油厂到铁路线距离a、b和两炼油厂间距离的各种不同情形，得出管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y）关于a、b、的普遍关系式：
这种模式具有一定的普遍性。
问题二，由问题一模型的延伸，在城区引入合理附加费21.46万元/千米，综合实际情况后以总费用最省为目标建立模型，用lingo软件模拟结果得：当两厂管线交汇点E位于（5.45，1.85）时，管线建设费用最省为282.49万元，管线建设的总线长为24.21千米，同时也得出了此种情形下的各段管线的相关参数。
问题三，在该实际问题中，为进一步节省费用，各段管线的单位造价可根据自身生产能力造来选择，综合实际情况后以总费用最省为目标建立模型，用lingo软件模拟结果得：当两厂管线交汇点E位于（6.73，0.138）时，管线建设费用最省为251.77万元，管线建设的总线长为24.42千米，同时也得出了此种情形下的各段管线的相关参数。
这类模型解决了输油管的布置的问题，具有一定的推广性，还可以解决一些像煤气管线、自来水管线、污水管道线，电力电缆的铺设设计等。

关键词： 输油管线布置 优化模型 二元函数极值
一、 问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二、 问题分析
我国处于迅速发展时期，是能源消耗大国，能源建设项目众多，进行最优配置设计对节约成本来讲数目十分可观。输油管优化布置方案设计降低了建设成本，具有现实意义。本题要解决的是如何设计管线铺设使得总费用最省，围绕输油管线最优设计、总费用最小得原则，对A，B炼油厂和车站位置进行分析求解。
对于问题一，考虑到两炼油厂和车站的地址可以在铁路线的一侧任意选择，且它们所在区域看作近似一个平面，可以通过建立坐标系将其转变为数学模型，定义A、B两厂和车站，通过计算管线总长的中间量，求总管线费用，以管线建设费用最省为目标建立优化模型，进行求解，在通过偏导方法对模型进行深一步的分析，或通过数学软件优化，进一步分析在两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形。
问题二，际上是问题一的延伸，可以在问题一的模型上改进。对于三个咨询公司给出的评估数据，可以直接取用，带有一点的主观性，为了数据取样更有说服力，采用了对三个咨询公司给出的评估数加权平均值，通过矩阵求解得到更合理的数值。根据题中给出情形，构造两点间距离公式，得出目标函数，利用lingo软件进行函数最小优化，求出管线建设费用最少方案。
对于问题三，实际是更一般性的模型，也可以如同问题二一样求解。
符号说明：
Z：表示管线建设费用；
A：表示A厂位于坐标系中的位置；
a：表示A厂到铁路线的垂直距离，即A点的纵坐标；
B：表示B厂位于坐标系中的位置；
：表示A、B两厂沿着铁路的距离，即B点的横坐标；
b：表示B厂到铁路线的垂直距离，即B点的纵坐标；
E：表示A、B两厂输油管的汇集点,坐标用（x，y）表示；
F1：表示管线与城区分界线的交点，坐标为（15，y2）；
S： 表示管线的总长；
：表示A厂非公用管线费用；
：表示公用管线费用；
：表示铺设在城区管线的附加费用；
：表示B厂非公用管线费用；
K：表示铁路线上的车站，坐标为（xS，0）。
三、 模型假设
1、 将所考虑的区域近似看作一个平面；
2、 两个炼油厂和车站均近似看作为平面上的点，分别用点A、B、K表示；
3、 在所考虑的区域内铁路线为直线CD，新建车站可以在铁路线的任意位置；
4、 两个炼油厂的地址可以在铁路线的一侧任意选择；
5、 不考虑自然条件的制约，假设区域内任意两点之间均可以以直线连接；
6、 假设聘请的三家咨询公司估计出来的数值可信。
7、 假设不考虑管线铺设费用由谁分担，只考虑铺设管线总费用最少；
8、假设设计输油管线铺设不受自然人为因素的制约，可以理想地铺设；
9、假设设计方案只考虑共用管线和非共用管线铺设的费用，不考虑技术或其他方面的问题；
四、 模型的建立与求解
问题一：
根据假设1和2，以铁路线CD为X轴，以炼油厂A到X轴的垂线作Y轴，建立平面直角坐标系（如图1所示）：A炼油厂的坐标为（0，a），B炼油厂的坐标为（l，b）（不妨设a<b），A、B两厂管道线汇合点E的坐标为（x，y），K表示车站，容易知道，只有在EK垂直于X轴时EK的长度最短，所以K的坐标为（x，0）。

图1
看图分析可知，管道线的总长:
（一） 假设非共用管线的费用和共用管线费用相等，同为P（P）0）, 那么，当S最小时，总费用最小。现在以总费用为目标函数，以x,y为决策变量，建立数学模型：

约束条件：
问题归结为：在指定区域内，当x、y为何值时，Z取得最小值。

令和，化简后得： （1）
（2）
即：
解此方程得
这是过（0，a）且倾斜角为150度和30度的两条直线
再由（1）代入上式，得
所以 即 ：
这是过点（，b）,倾斜角为30度和150度的两条直线。
根据本题的求最小值的要求，取 和 两条直线的交点，即：两管道线汇合点E的坐标为（x，y）是
（3）, 解得： （4）
即管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y）是关于a，b，l的函数。
再将它们代入约束条件： 得： ， （5）
也就是说：① 当A 、B两厂之间的位置符合上述条件（5）的时候，管道的铺设线路如图1所示，且两管道线汇合点E的坐标为（， ）。
如果A 、B两厂之间的位置不符合上述条件（5），那么E的坐标需要根据具体情况确定：
② 若> 即 时
也就是，两厂之间的横向距离很小，而两厂与铁路线的距离相差比较大的时候，比如
…….
通过lingo求得两管道线汇合点E的坐标近似为（0，1）。
事实上，当由(4)算出的x时，管道长度肯定大（斜边大于直角边），如图2

图2
因此目标函数的最小值只能在x=0时取得。
当x=0时，目标函数化为
通过分析和计算，当时，Z最小，
所以，当> 时，两管道线汇合点E的坐标为（0，a）。
③ 若 即时，
也就是，两厂之间的横向距离比较大，而两厂与铁路线的距离都比较近的时候，比如
…….
由（4）算出的y<0，而管线没有必要铺到铁路线的另一侧（如图3），所以令y=0是合理的。

图3
此时的目标函数为：，
运用求一元函数极值的方法可以算得，当 时Z最小。
所以，当时，两管道线汇合点E的坐标为（，0）
（二） 设非共用管线的费用和共用管线费用不相等，
目标函数为：
约束条件：
问题同样归结为：在指定区域内，当x、y为何值时，Z取得最小值。
运用Matlab软件求Z关于x，y的两个偏导数，并令它们等于零，再用Matlab软件解方程组（程序见附件1），得x、y如下：
化简后，得 （4）’
可见，在p1，p2已确定时，管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y）也仅是关于a，b，l的函数。
令= ,则两管道线汇合点E的坐标为: （6）
再将（6）代入约束条件： 得：， （7）
也就是说：① 当A 、B两厂之间的位置符合上述条件（7）的时候，管道的铺设线路如图1所示，且两管道线汇合点E的坐标为 其中 =。如果A 、B两厂之间的位置不符合上述条件（7），那么E的坐标还需要根据具体情况确定.
② 若> 时 ， x
因此目标函数的最小值只能在x=0时取得，当x=0时，在时，目标函数Z最小。
所以，当> 时，两管道线汇合点E的坐标为（0，a）。
③ 若 这时y<0，所以还是在y=0时管道最短，这时，运用求一元函数极值的方法可以算得，当 时Z最小。即，当时，两管道线汇合点E的坐标为（，0）
结论：通过比较可以看出，管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y）是关于a，b，l的函数。非共用管线的费用和共用管线费用不相等时所建立的模型及其结果，包含了这种模型及其结果，因而模型是模型的特例， 这种模式更具有普遍性。

问题二：
问题2中两炼油厂的具体位置，A厂位于郊区（I区域），B厂位于城区（II区域），两个区域的分界线垂直与铁路线。介入了一个铺设在城区管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，在设计方案时应该考虑管线在B城区线路和附加费用。题中给出了三家工程咨询公司对附加费用进行估计。得到的估算结果如下：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
本方案要中管线布置方案需要建立模型进行优化，相应的附加费用要针对三家公司给出的附加费用再一次权重评估，设为p3万元/千米。
（一）附加费用权重评估
通过比较矩阵和权向量方法对三个公司给出来的估计附加费用进行比较和权重，得到更贴近实际的附加费用值。
公司一具有甲级资质，资质高说明技术含量高一些，估计的结果准确性更高，公司二和公司三具有乙级资质，也有一定的资质，所有三个公司的赋值比是7：3：3，根据赋值得到矩阵
（8）
利用MATNAB求解（求解过程见附件2）得最大特征根l=3.0000，一致性指标：
（9）
随机一致性指标 RI=0.58 (查表)，一致性比率=0/0.58=0<0.1；A的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量，通过了一致性检验。
根据三个公司的资质得出三个公司的权重分别为:
ω=（0.5384712253 0.2307643874 0.2307643874）
评估后的附加费为：

（万元/千米）

（二）管线布置方案模型优化
在问题一中模型的基础上对问题二进行构造模型，如图4所示，图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。在城区分界线上任取一点F1，其坐标表示为（15，y2）。对于A厂、B厂管线的交汇点E，会出现两种情况，一是交汇点E落在城区内，这种情况无形中会增加更多的附加费用，因此这种情况总费用不会是最低；二是交汇点落在郊区内，总费用最低的E点应该会落在这个区域内，针对这种情况建立模型。

图4 管线布置模型图
因此，方案总费用由非共用管线AE、EF1、F1B的费用（AE+EF1+F1B）*p1，共用管线KE的费用KE*p2，B输油管线的附加费用B*p3三部分组成。
以方案总费用最省为目标建立数学模型：
min Z=（AE+EF1+F1B）*p1+KE*p2+B*p3 即
对于问题二,（10）式中a = 5，b = 8，c = 15，l = 20，p1= p2=7.2，p3=21.46。利用LINGO软件对目标函数（10）优化求解（求解过程和结果见附表3），所得结果列于下表1.
表1 建设费用最省管线布置方案及相应的费用（单位：费用为万元，长度为千米）
总方案
车站K点坐标
交汇E点坐标
分界点F1坐标
总长
总费用
X
Y
X
Y
X
Y
24.21377
282.4958
5.45
0
5.45
1.85
15
7.37
共用管
A厂
B厂
附加费
管线长
管线费
管线长
管线费
管线长
管线费
拆迁线长
费用
1.853339
13.34404
6.293321
45.31191
16.06710
115.6832
5.039918
108.1566
由此得出的管线建设费用最省的管线布置图，如图5 所示。

图5 管线建设费用最省的布置方案

问题三：
在实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，各自选择相适应的油管，A厂管线铺设的费用降为每千米5.6万元，B厂管线铺设的费用降为每千米6万元，共用管线费用为每千米7.2万元，与问题二有了参数上的变化，问题二中图4模型依然符合本问题.
设A厂管线铺设费用为p1万元/千米，B厂管线铺设费用为p4万元/千米，共用管线费用p2万元/千米, 附加费用p3万元/千米，可以以方案总费用最省为目标建立数学模型：
min Z=AE*p1+（EF1+F1B）*p4+KE*p2+B*p3
=AE*p1+EF1*p4+B*（p3+p4）+KE*p2
即:
（11）
对于本问题,（11）式中a = 5，b = 8，c = 15，l = 20，p1=5.6，p2=7.2，p3= 21.46，p4=6.0。利用LINGO软件对目标函数（11）优化求解（求解过程和结果见附表4），所得结果列于下表2。
表2 建设费用最省管线布置方案及相应的费用（单位：费用为万元，长度为千米）
总方案
车站K点坐标
交汇E点坐标
分界点F1坐标
总长
总费用
X
Y
X
Y
X
Y
24.41852
251.7664
6.734459
0
6.734459
0.1384112
15
7.278431
共用管
A厂
B厂
附加费
管线长
管线费
管线长
管线费
管线长
管线费
拆迁线长
费用
0.1384112
0.9965609
8.305901
46.51304
15.97421
95.84525
5.051798
108.4116
由此得出的管线建设费用最省的管线布置图，如图6所示。

图6 管线建设费用最省的布置方案
五、 模型的评价
（一）模型的优点
1．问题一中利用三角函数、线性规划、目标函数、求偏导等数学方法建立模型，准确性高、通用性强、简单易懂，也可以借助mathlab数学软件对模型参量求解，较好的解决了题目中的问题。
2．问题二中，通过采用LINGO、MATLAB等软件对模型进行优化求解，可靠性较高，通用性强，从而得到了建设管线造价最少的最优方案，这样的结果权威科学，令人信服。
３．问题三结合实际情况，通过具体数据在通用模型中的应用，使所建立的模型更为贴近实际，通用性较强。
（二）模型的缺点
１．由于题目所给条件和问题的限制，我们为了解题方便假设了较为理想的工程建造环境，这在现实中是较少的，因此模型的应用还受到许多因素的限制。
２．运算过程中运用的附加费用虽然进行了比较和权重，得到更贴近实际的附加费用值，但仍不能避免存在一定的误差。
六、 模型改进和推广
（一）模型改进
本模型是在忽略了很多实际存在的自然人为因素下进行的管线铺设设计，是在一个理想状态下的最优管线铺设设计方案，实际当中管线铺设时会受到自然条件、技术、管理等因素的约束，模型还需要进一步改进。如在问题三的方案中共用管线长只有0.1384112千米，距离很短，如果不设共用管线费用增加也不多，就是多增一千多元，在实际中为了更加方便厂家可能更愿意不设共用管线，减少很多工程交接、施工进度统一和后期管理维护等方面的麻烦。
（二）模型推广
问题一，模型解决了输油管的布置的问题，模型适用于在3个点随意变动的情况，通用性强，具有一定的推广性，还可以解决一些像煤气管线、自来水管线、污水管道线，电力电缆的铺设设计等。

参考文献
[1]．赵静、但琦，数学建模与数学实验[M] 北京：高等教育出版社，2008.1
[2]．姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003
[3]．谢金星、薛毅，LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社2005.7；
[4]．胡良剑，孙晓君，MATLAB数学实验，北京；高等教育出版社，2006
[5]．李国勇、谢克明、杨丽娟，计算机仿真与CAD—基于MATLAB的控制系统，北京：电子工业出版社，2008

附件１
syms x y a b l f1 f2 k1 k2 q Q T t
f1=diff((x^2+(y-a)^2)^0.5*k1+((l-x)^2+(y-b)^2)^0.5*k1+y*k2,'x',1)
f2=diff((x^2+(y-a)^2)^0.5*k1+((l-x)^2+(y-b)^2)^0.5*k1+y*k2,'y',1)
[x,y]=solve(f1,f2,'x','y');
T=simplify(x);
x=simple(x)
Q=simplify(y) ;
y=simple(y)
运行结果为：
f1 =
1/(x^2+(y-a)^2)^(1/2)*k1*x+1/2/((l-x)^2+(y-b)^2)^(1/2)*k1*(-2*l+2*x)
f2 =
1/2/(x^2+(y-a)^2)^(1/2)*k1*(2*y-2*a)+1/2/((l-x)^2+(y-b)^2)^(1/2)*k1*(2*y-2*b)+k2
x =
1/2*(4*k1^2*a-4*k1^2*b-k2^2*a+k2^2*b+k2*l*(4*k1^2-k2^2)^(1/2))/k2/(4*k1^2-k2^2)^(1/2)
-1/2*(4*k1^2*a-4*k1^2*b-k2^2*a+k2^2*b-k2*l*(4*k1^2-k2^2)^(1/2))/k2/(4*k1^2-k2^2)^(1/2)
y =
1/2*(4*k1^2*a-k2^2*a+4*k1^2*b-k2^2*b-k2*l*(4*k1^2-k2^2)^(1/2))/(4*k1^2-k2^2)
1/2*(4*k1^2*a-k2^2*a+4*k1^2*b-k2^2*b+k2*l*(4*k1^2-k2^2)^(1/2))/(4*k1^2-k2^2)

附件2
程序
>> A=[1 7/3 7/3
3/7 1 1
3/7 1 1];
>> [x,d]=eig(A)
x =
-0.8552 -0.7165 0.8108
-0.3665 -0.3152 -0.5494
-0.3665 0.6223 0.2019
d =
3.0000 0 0
0 0.0000 0
0 0 -0.0000

附件3
min=(x^2+(Y-a)^2)^0.5*k1+((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5*k1+y*k1+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5*(k1+k2);
a=5;
b=8;
l=20;
c=15;
k1=7.2;
k2=21.46;
z=(x^2+(Y-a)^2)^0.5;
q=(x^2+(Y-a)^2)^0.5*k1;
h=((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5;
w=((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5*k1+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5*k1;
m=y; n=y*k1;
d=((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5;
f=((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5*k2;
v=(x^2+(Y-a)^2)^0.5+((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5+y+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5;
o=q+w+n+f;
end
运行结果为：
Local optimal solution found.
Objective value: 282.4958
Total solver iterations: 55
Variable Value Reduced Cost
X 5.450176 0.000000
Y 1.853339 0.000000
A 5.000000 0.000000
K1 7.200000 0.000000
C 15.00000 0.000000
Y1 7.366933 0.000000
L 20.00000 0.000000
B 8.000000 0.000000
K2 21.46000 0.000000
Z 6.293321 0.000000
Q 45.31191 0.000000
H 16.06710 0.000000
W 115.6832 0.000000
M 1.853339 0.000000
N 13.34404 0.000000
D 5.039918 0.000000
F 108.1566 0.000000
V 24.21377 0.000000
O 282.4958 0.000000

附件4
min=(x^2+(Y-a)^2)^0.5*k1+((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5*k4+y*k2+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5*(k3+k4);
a=5;
b=8;
l=20;
c=15;
k1=5.6;
k2=7.2;
k3=21.46;
k4=6.0;
z=(x^2+(Y-a)^2)^0.5;
q=(x^2+(Y-a)^2)^0.5*k1;
h=((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5;
w=((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5*k4+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5*k4;
m=y;
n=y*k2;
d=((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5;
f=((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5*k3;
v=(x^2+(Y-a)^2)^0.5+((x-c)^2+(y-Y1)^2)^0.5+y+((c-l)^2+(y1-b)^2)^0.5;
o=q+w+n+f;
end
运行结果为：
Local optimal solution found.
Objective value: 251.7664
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost
X 6.734459 0.000000
Y 0.1384112 0.000000
A 5.000000 0.000000
K1 5.600000 0.000000
C 15.00000 0.000000
Y1 7.278431 0.000000
K4 6.000000 0.000000
K2 7.200000 0.000000
L 20.00000 0.000000
B 8.000000 0.000000
K3 21.46000 0.000000
Z 8.305901 0.000000
Q 46.51304 0.000000
H 15.97421 0.000000
W 95.84525 0.000000
M 0.1384112 0.000000
N 0.9965609 0.000000
D 5.051798 0.000000
F 108.4116 0.000000
V 24.41852 0.000000
O 251.7664 0.000000
2010年Ｃ题全国二等奖
油管布置优化模型

摘要

在现实生活中，铺设管道是经常碰到的问题，使铺设费用尽可能少具有很大的现实意义，我们从管线的建设费用最省方面考虑，建立以下模型：
问题一，建立适当的坐标系，假设A炼油厂的坐标为（0，a），B炼油厂的坐标为（l,b），两炼油厂管线交点为M（x,y）,经分析得共用管线长度即为M点纵坐标，建立铺设费用最省的模型为：
（，为费用） 模型Ⅰ
问题二，不但要考虑建设管道的费用，还要考虑拆迁和工程补偿等的附加费用，我们分两种情形讨论，通过分析比较，最终得到模型为：
模型Ⅱ
通过lingo软件求解得最省费用为Z=282.19（万元），M点坐标为(5.45, 1.85)，N点坐标为(15,7.37)。
问题三，类似问题二，分两种情形讨论，得出当管线交点在郊区时的模型：
模型Ⅲ
当管线交点在城区时的模型：
模型Ⅳ
通过lingo软件对模型Ⅲ和模型Ⅳ进行求解，经比较得到最省费用为Z=251.46（万元），管线交点M坐标为（6.74,0.14）,N点坐标为（15，7.28）。

【关键词】：炼油厂 输油管线 费用最省 优化模型

一、 问题的重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二、 问题的分析
1、对于问题一，铁路线和周边的地理环境是未知的，以及居民的分布也是不确定的，在建立模型时不考虑这些因素的影响。
2、通过查阅有关资料得知甲级资质与乙级资质的相关信息，甲级资质比乙级资质级别高，资质级别高评估的准确性就会相对高些，则参考的份量就会多一些。我们对三家公司估算的数据进行加权处理，赋予它们不同的权重，最后得出一个比较优化的值，用相对比较法，对三家公司按三级比例标度两两相对比较评分，甲资质对乙资质，甲资质更重要，评1分，同是乙资质则同等看待，评0.5分，乙资质对甲资质，没甲资质重要，为0分，得到评分表如下：

公司一
公司二
公司三
公司一
0.5
1
1
公司二
0
0.5
0.5
公司三
0
0.5
0.5
记为三家公司的权重（i=1,2,3）,则他们的权重分别计算得：，，
则附加费的估计值为：（万元/千米）。
三、 符号说明
符号
含义
单位
备注
A
炼油厂

B
炼油厂

M
两炼油厂管线的交点

N
油管与图中虚线的交点

a
A炼油厂距铁路的距离
千米

b
B炼油厂距铁路的距离
千米

l
A炼油厂与B炼油厂的水平距离
千米

Z
建设管线的总费用
万元
因变量

非共用管线建设费用单价
万元/千米

共用管线建设费用单价
万元/千米

P
车站位置

t
共用管线的某个取值

A炼油厂关于y=t对称的点

两炼油厂交点M的横坐标

两炼油厂交点M的纵坐标

N点的纵坐标

q
附加费的估计值
万元/千米

附加费估计值权重

i=1,2
四、 模型假设
1、假设铁路线上的任意位置都能设置车站。
2、假设管道可以任意铺设，不受地形等其他因素的影响。
3、假设可建设车站的铁路附近没有太大的弯道，铁路可看似平直。
4、假设管线衔接处所产生的附加费用忽略不计。
5、假设管线的铺设是从炼油厂和车