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第51 卷 第12 期 电力系统保护与控制电力系统保护与控制 Vol.51 No.12 2023年6月16日 Power System Protection and Control Jun.16,2023 DOI:10.19783/ki.pspc.221708 基于广义状态空间平均的 LLC 谐振变换器建模及稳定性分析 石旭东，成博源，鲍中杭，杨占刚(中国民航大学电子信息与自动化学院，天津 300300)摘要：LLC 谐振变换器在航空航天领域中广泛应用，但 LLC 谐振变换器固有的非线性特性及输出“小纹波”易造成系统失稳。为准确分析 LLC 谐振变换器非线性特性及输出“小纹波”问题，引入广义状态空间平均(generalized state space averaging,GSSA)理论对 LLC 谐振变换器进行建模，将时域非线性状态空间模型转化为 GSSA 模型。并推导基于 GSSA 理论的闭环系统小信号模型。通过特征值分析法及 Nyquist 曲线对元件参数、控制参数及参数耦合对系统稳定性影响进行分析，再利用仿真对模型及理论分析进行验证。仿真结果表明，建立的广义状态空间平均模型可以考虑到系统中“小纹波”因素，具有更高的精度。稳定性理论分析结果与稳定性分析仿真验证结果一致。关键词：LLC 谐振变换器；广义状态空间平均；小信号模型；稳定性分析；特征值分析法；Nyquist 曲线 Modeling and stability analysis of an LLC resonant converter based on generalized state space averaging SHI Xudong,CHENG Boyuan,BAO Zhonghang,YANG Zhangang(College of Electronic Information and Automation,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China)Abstract:An LLC resonant converter has wide application in aerospace,but it is easy for its inherent nonlinear characteristics and small ripple output problem to cause system instability.To accurately describe these problems of the LLC,this paper introduces the generalized state space averaging(GSSA)theory to model the LLC resonant converter system.It transforms the time-domain nonlinear state space model into a GSSA model,and derives the small-signal model of the closed-loop system based on GSSA theory.From eigenvalue analysis and Nyquist curve theory,the effects of component and control parameters and parameter coupling are determined for stability analysis for the LLC resonant converter system.The model and theoretical analysis are verified by simulation.The results of simulation show that the GSSA model has higher accuracy,and can take into account the small ripple factor in the system.Theoretical analysis result and simulation verification result for stability are consistent.This work is supported by the National Natural Science Foundation of China(No.51407185).Key words:LLC resonant converter;generalized state space averaging;small signal model;stability analysis;eigenvalue analysis;Nyquist curve 0 引言 为了适应电力电子设备的快速发展，开关电源系统不仅需要满足常规的性能指标，还需要满足高功率密度、高开关频率、低电磁干扰(electromagnetic interference,EMI)等要求1-2。传统开关电源系统主要以硬开关技术为主，其高开关损耗难以实现高功 基金项目：国家自然科学基金项目资助(51407185)；国家自然科学基金民航联合研究基金项目资助(U1533126)率密度及低 EMI 的要求，但是具有软开关和磁集成技术的 LLC 谐振变换器不仅能有效地降低开关损耗，还能提升效率和功率密度3-4。因此 LLC 谐振变换器不仅在分布式电源系统的电源模块设计中应用广泛，同时还颇受电动汽车5-6、智能电网7-9及航空航天10-11等相关领域的研究学者青睐。但受多谐振特性的影响，LLC 谐振变换器在不同的开关频率下具有多种工作模式12，这使其相较于传统直流变换器的研究分析更加复杂。同时由于 LLC 谐振变换器非线性特性及输出“小纹波”问题，令其无法石旭东，等 基于广义状态空间平均的 LLC 谐振变换器建模及稳定性分析 -147-满足传统建模和稳定性分析方法中对小纹波的假设条件13-14，因此在 LLC 谐振变换器建模以及稳定性分析方面，国内外学者开展了诸多研究。建模方面，文献15-16针对直流变换器及直流输电系统建立了阻抗模型，但阻抗建模方法仅适用于系统整体的稳定性分析研究，无法探究系统内部元件参数对系统稳定性的影响。文献17提出采用状态空间平均法对功率开关变换器进行建模，然而传统状态空间平均法在建模过程中会忽视系统中“小纹波”问题，影响建模准确性18。因此文献19提出了一种介于详细时域模型和简化状态空间模型之间的建模方法，即广义状态空间平均法，该方法以傅里叶变换为基础20-21，考虑高频分量及谐波的影响，对电路中时域状态变量通过傅里叶级数展开进行等效近似，同时在保证精度要求的前提，忽略影响较小的高阶分量而选取部分低阶傅里叶变换系数对原状态变量实现重构22。文献23采用广义状态空间平均法对串联谐振三端口直流变换器进行建模，并对其工作模式、动态建模过程和控制策略进行了研究。文献24-25利用广义状态空间平均法对串联谐振变换器进行分析。在稳定性分析方面，文献26利用分岔图，探究含比例控制的双有源桥式直流变换器中控制参数、输出参数等对系统稳定性的影响规律，但却忽略了两类参数相互耦合后对系统稳定性造成的影响。文献27-28则是对 LLC 谐振变换器构成的级联系统进行稳定性分析，缺乏对单一变换器的稳定性情况进行研究。文献29-30是针对 LLC 谐振变换器闭环控制器参数开展稳定性分析研究，两者均未考虑 LLC 谐振变换器内部输出元件参数对稳定性的影响。基于此，本文选取半桥式 LLC 谐振变换器作为研究对象，采用广义状态空间平均理论对其进行建模，推导基于 GSSA 理论的半桥式 LLC 谐振变换器闭环大信号模型及小信号模型，再结合系统矩阵特征值分析法与 Nyquist 曲线，探究输出参数、控制器参数及参数耦合对系统稳定性的影响，通过仿真模型对建立的广义状态空间平均模型及稳定性理论分析结果进行验证。1 LLC 谐振变换器拓扑结构分析 半桥式 LLC 谐振变换器拓扑结构如图 1 所示，主要分为 5 个部分：1)半桥式逆变环节由1Q、2Q两个MOSFET开关管组成，inV为逆变环节输入电压，abV为逆变环节输出电压；2)谐振环节由谐振电容rC，谐振电感rL及励磁电感mL构成；3)理想变压器将能量从一次侧传递至二次侧；4)半桥式整流环节由1D、2D两个二极管构成，实现全波整流；5)输出网络环节由输出滤波电容oC和负载oR组成，作为低通滤波器，保持输出电压oV恒定。图 1 半桥式 LLC 谐振变换器拓扑结构图 Fig.1 Topology of half-bridge LLC resonant converter 控制环路中refV为基准电压，PIG为比例积分控制器，将输出电压误差信号转换为归一化频率信号，VCOG压控振荡器与PFM脉冲频率调制模块根据控制器输出的归一化频率信号生成特定频率的脉冲方波，驱动开关管。在稳态时，MOS管1Q、2Q开关状态互补，同时为防止桥臂贯穿短路，预留足够的时间实现零电压(ZVS)开通，故每个MOS管的占空比均为48%，为便于分析得到稳态时半桥式LLC谐振变换器的等效电路如图2所示。图 2 稳态时半桥式 LLC 谐振变换器的等效电路图 Fig.2 Equivalent circuit of half-bridge LLC resonant converter in steady state 图2中：sR为一次侧寄生电阻；n为理想变压器变比；cR为滤波电容oC中的寄生电阻；LrI为谐振电感电流；LmI为励磁电感电流；CrV为谐振电容电压；CoV为滤波电容电压；RpI为变压器二次侧整流桥输出电流；pV 为变压器一次侧电压。-148-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 根据图2建立系统稳态时的微分方程组，如式(1)所示。psLrLrCrabrrrrCrLrrLmpmCooRpCoocoocod11dd1dd1dd1d()()VRIIVVtLLLLVItCIVtLVRIVtRR CRR C=-+|=|=|=-|+(1)电压输出方程为 CoocoCoddVVR CVt=+(2)稳态系统控制方程为 sporefioref2()()dfk VVkVVt=-+-(3)式中：为开关角频率；sf为基准开关频率；pk为比例系数；ik为积分系数。式(1)式(3)构成半桥式LLC谐振变换器系统状态方程，但由于状态方程中存在多个非线性状态分量，不便于进行稳定性分析。而使用GSSA理论的建模方法，可将系统中非线性状态分量转变为便于分析的线性分量。2 基于广义状态空间平均理论的 LLC 谐振变换器电源系统建模 2.1 广义状态空间平均法 广义状态空间平均法基于傅里叶级数原理，即任何周期性的时变信号都可以展开成傅里叶级数的形式。因此，广义状态空间平均法可以描述线性系统。广义状态空间平均法建模实施步骤如下。1)依据系统结构，建立系统非线性微分方程，确定系统中时变非线性微分方程的状态变量，如式(4)所示。=+?xxu (4)式中：T12,nx xx=x为系统状态变量；为系统状态矩阵，是nn阶矩阵；为系统代数变量矩阵，为nm阶矩阵；T12,mu uu=u为系统代数变量。2)对依据步骤(1)确定的非线性微分方程组状态变量x进行傅里叶级数展开，对时变的状态变量()ix在任意区间,tT t-中均能用时变傅里叶级数表示，如式(2)所示。j()()eNkiikkNxx=-=(5)式中，N和k为傅里叶级数的阶数；状态变量()ikx为该时域信号的第k次谐波，数值上等于其在开关周期T内的滑动平均值，满足式(6)。j1()()edtkkt TxtxT-=(6)3)根据步骤2)中傅里叶级数，引入新状态变量矩阵Q，其中矩阵Q 元素表示如下。0k=时，012,nx xx=Q (7)0k 时，RI()jiiikkkxxx=+(8)11RIRI,knnkkkkxxxx=Q (9)式中：Rk为k阶傅里叶级数实部系数；Ik为k阶傅里叶级数虚部系数。4)对系统状态变量进行微分，再通过复傅里叶级数展开如式(10)，并代入新的状态变量矩阵Q，同时引入状态变换矩阵M，kk=Mu，得到式(11)式(13)。djdkkkkkt=-+xxxu (10)0k=时，000ddiiiiix x ut=+(11)0k 时，RRIRddikiiiiiikkkx xk x ut=+(12)IIRIddikiiiiiikkkx xk x ut=-+(13)式中：0为0阶傅里叶级数系数；i为系统状态矩阵元素；i为系统代数变量矩阵元素。最终得到系统的N阶广义状态空间平均模型为 kkkk=+?Q QM (14)00001111kkkkNNNN|=+|?QQMQQMQMQQMQ(15)石旭东，等 基于广义状态空间平均的 LLC 谐振变换器建模及稳定性分析 -149-2.2 基于GSSA的半桥式LLC谐振变换器的大信号模型 本文采用的广义状态空间平均建模方法以傅里叶级数作为系统状态变量，将开关函数平均化使其在时域上连续，有利于系统的时域分析。同时为降低模型的复杂程度，引入基波近似法对非线性状态参量()x t进行基波近似，并取傅里叶级数的阶数1,0,1k=-，如式(16)所示。jj110()()e()e()ttx txtxtxt-=+(16)式中：1()xt和1()xt-分别为一阶和负一阶傅里叶级数；0()xt为 0 阶傅里叶级数，即直流分量。针对基波近似法展开得到的傅里叶级数通过广义状态空间平均理论进行描述得到。故对式(1)非线性状态分量进行基波等效，并利用广义状态空间平均理论得到GSSA方程为 jabab1()()edtkkt TVtVtT-=(17)LLC谐振变换器的谐振网络主要以基波分量形式将能量传递至变压器二次侧，故忽略一次侧状态变量的直流分量，因此对一次侧状态变量傅里叶展开，取一次项基波分量如式(18)和式(22)所示。ab1Rinab1I0jVVV=|=-|(18)jRpRp1()()edtkkt TItIT-=(19)()()Rpp022pLrLmLrLm1R1R1I1I2nIIIIIII=|=-+-(20)()()jpp1edtkkt TVtVT-=(21)()()LrLm1R1RpCo01RpLrLm1I1IpCo01Ip44nIIVVInIIVVI-|=|-|=|(22)对于变压器二次侧整流网络，其主要依靠直流分量形式传递能量至输出环节，故整流环节的输出只考虑直流分量，即输出状态变量只取零阶进行分析，如式(20)所示。综上，将状态变量按照GSSA理论展开，得到LLC谐振变换器的一阶广义状态空间平均模型如式(23)所示。()()LrLmLr1R1R1RLrCrCo1I1R0rrpsLrab1R1RrLrLmLr1I1I1ILrCrCo1R1I0rrpsLrab1I1IrCr1RLrCr1R1IrCr1ILrCr1I1RrLrLm1R1RLm1I4d1d4d1dd1dd1d4ddnIIIIVVtLL IRIVLnIIIIVVtLL IRIVLVIVtCVIVtCnIIIIt-=-+-=-+=+=-=+()()Lm1RCo0mpLrLmLm1I1I1ILmCo1R0mpCo0opCo0oocooc4ddd21d()VL InIIIIVtL IVnRIVtCRRCRR|-|=-+|=-|(+)+(23)为方便后续控制参数稳定性分析，因此将控制方程转变为与广义状态空间平均模型相类似的微分方程，如式(24)所示。()ospicopoocspicoCo0oocsiCoref02d2()d12()()2nRf kk R CItCRRf kk R CVCRRf kVV=+-(+)+-(24)2.3 基于GSSA的半桥式LLC谐振变换器的小信号动态模型 本节通过对半桥式LLC谐振变换器的大信号模型中状态变量在某稳态点处注入小信号扰动，得到其小信号动态模型，如式(25)所示。LrLrLr1R1R1RLrLrLr1I1I1ICrCrCr1R1R1RCrCrCr1I1I1ILmLmLm1R1R1RLmLmLm1I1I1ICoCoCo000iIIiIIvVVvVViIIiIIvVV=+|=+|=+|=+|=+|=+|=+|=+|(25)式中：LrCrLmCo,iviv为大信号状态量；LrCrLm,IVI Co,V为稳态值；LrI、CrV、LmI、CoV、为小信-150-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 号扰动量。将式(25)代入式(23)中，在稳态点处利用泰勒公式进行线性化，最终整理得到基于广义状态空间平均模型的小信号动态方程，如附录A式(A1)式(A8)所示。整理最终得到闭环控制模式下的GSSA小信号模型，并提取小信号动态方程中的系数，得到系统状态传递矩阵。3 半桥式 LLC 谐振变换器稳定性分析 通过小信号动态模型得到半桥式LLC谐振变换器一阶广义状态空间的状态传递矩阵探究其特征值分布情况，并结合系统闭环传递函数的Nyquist曲线，开展对半桥LLC谐振变换器稳定性分析。3.1 输出电容对系统稳定性的影响 由图3可以看出，当输出电容从100 F增大到1000 F时状态传递矩阵特征值的变化情况。当增大直流输出电容值时，特征值向虚轴逼近，由特征值与稳定性的关系可知：实部靠近虚轴的特征值主要决定系统的响应速度，且与虚轴越近，系统响应速度越小。故随着电容增大，系统响应速度逐渐降低。同时，特征值逐渐趋于零点方向，可知其对应模态阻尼逐渐降低，总体来看对系统稳定性是不利的。因此尽管直流输出电容具有稳压、滤波等作用，但不能无节制增大，否则不但会增加元件成本，还会影响系统安全稳定运行。图 3 直流输出电容从 100 F 到 1000 F 变化时的 特征值分布图 Fig.3 Eigenvalue distribution of DC output capacitance variation from 100 F to 1000 F 3.2 控制参数对系统稳定性的影响 为探究PI控制器参数对半桥式LLC谐振变换器稳定性的影响，在直流输出电容为150 F条件下，控制器比例系数pk和积分系数ik发生改变时对系统特征值的影响如图4所示。在图4(a)中，随着pk从0.01逐渐增大的过程中，系统特征值逐渐从实轴负半轴移向实轴正半轴，在p0.3k=时，系统特征值从虚轴穿过，因此在输出电容为150 F的条件下，半桥式LLC谐振变换器PI控制器比例系数的失稳边界点为0.3。在图4(b)中，ik从70逐渐增大至150，在i140k=时，系统特征值从虚轴穿过，故当直流输出电容为150 F，控制器积分系数的失稳边界点为140。且根据图4所示的PI控制器参数变化的特征值分布情况，控制参数的增大对半桥式LLC谐振变换器系统稳定性具有劣化的影响。图 4 PI 控制器参数变化的特征值分布图 Fig.4 Eigenvalue distribution of PI controller parameter variation 3.3 直流输出电容参数与控制参数耦合对系统稳定性的影响 特征值分析法只能得到参数变化时特征值的石旭东，等 基于广义状态空间平均的 LLC 谐振变换器建模及稳定性分析 -151-轨迹图，不能直观得到系统稳定性在参数变化时的详细变化过程。为探究直流输出电容参数与控制参数耦合对系统稳定性更详细的影响，本节通过传统频域的Nyquist理论对半桥LLC谐振变换器进行闭环稳定性分析。根据观察系统传递函数的Nyquist曲线对(1,j0)-点的包围情况，能够直观反映出参数耦合对系统稳定性的影响情况。根据第2节得到的系统小信号模型，求得变换器在某一稳态工作点下的小信号模型所对应的传递函数，并得到闭环系统在不同输出电容参数条件下比例系数和积分系数变化时的Nyquist曲线。为探究不同直流输出电容大小对于控制器比例系数pk的影响规律，当直流输出电容为100 F、150 F、200 F时，由闭环系统的Nyquist曲线可以得到比例系数pk分别在0.20、0.30和0.64时失稳。由此可以说明随着输出电容值增大，比例系数pk失稳边界值提高。在输出电容为100 F时，比例系数pk从0.01增大至0.02，其系统传递函数的Nyquist曲线逐渐远离(1,j0)-点，由此可见对系统稳定性存在最优的比例系数，其区间为(0.01,0.03)。在输出电容分别为150 F和200 F时，最优比例系数分别在区间(0.05,0.07)和(0.16,0.18)，这说明输出电容的增加使系统稳定性的最优比例系数增加，但是由于随着电容值增加，Nyquist曲线闭合点到(1,j0)-距离逐渐变小，说明直流输出电容的增加对系统稳定性并没有改善作用。为探究在不同直流输出电容的情况下，不同PI控制器积分系数ik对系统稳定性的影响规律，将输出电容逐渐增大，能够发现系统分别在积分系数ik为200、140和105时失稳，即随着输出电容值的增加，失稳边界值逐渐变小，说明在较大直流输出电容条件下，系统无法承担过大的积分系数。且随着输出电容值增大，积分系数ik并未像比例系数pk一样出现最优的积分系数。4 仿真验证 为了验证所提模型的准确性，搭建系统仿真平台，参数如表1所示。因所搭建仿真系统应用于航空直流变换，其输入电压为270 V，输出电压为28 V，纹波系数小于等于5%，综合考虑选取输出滤波电容值为150 F。4.1 GSSA大信号模型验证 为验证半桥式LLC谐振变换器广义状态空间平均大信号模型的有效性及合理性，利用Simulink建立半桥式LLC谐振变换器时域仿真模型，对比两个模型电压输出波形，如图5所示，可以看出广义状态空间大信号模型能很好地预测包络仿真模型，综上理论与仿真结果十分吻合，验证了大信号模型的准确性。表 1 半桥式 LLC 谐振变换器电路参数 Table 1 Circuit parameters of half-bridge LLC resonant converter 序号 参数 数值 1 输入电压in/VV 270 2 基准开关频率s/kHzf 120 3 闭环基准电压ref/VV 28 4 理想变压器变比 n 5 5 一次侧寄生电阻s/mR 5 6 电容寄生电阻c/mR 5 7 谐振电容r/nFC 51.1 8 谐振电感r/HL 34.49 9 励磁电感m/HL 139.96 10 输出电容o/FC 150 11 输出电阻o/R 5 图 5 广义状态空间大信号模型与时域仿真模型输出电压 Fig.5 GSSA large signal model and time domain simulation model output voltage 4.2 稳定性分析验证 为验证直流输出电容对系统稳定性的影响，如图6所示，随着直流输出电容的增加，系统响应时间逐渐变长，响应速度下降，这与输出电容对系统稳定性的影响分析基本一致。为验证控制参数对系统稳定性的影响，在输出电容为150 F的条件下，保持控制器积分系数不变，将比例系数pk从0.01调节至0.30，其电压输出波形如图7(a)所示。在p0.30k=时，输出电压发散，系统失稳。同理，为探究控制器积分系数对稳定性的影响，即保持仿真模型控制器比例系数不变，将积分系数ik从70调节至140，其电压输出波形如图7(b)所示。在i140k=时，输出电压发散，系统失稳。-152-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 图 6 直流输出电容变化仿真波形 Fig.6 Simulation wave of DC output capacitance change 图 7 输出电容为 150 F 时控制参数变化时的输出电压 Fig.7 Output voltage of the control parameters varying under 150 F output capacitance 为验证比例系数最优点存在的真实性，通过调节仿真模型积分系数使系统处于失稳情况下，调节控制器比例系数至最优点附近，其输出电压波形如图8所示，且图8(a)和图8(b)分别对比了在直流输出电容分别为150 F和200 F条件下，最优比例系数的差异，与分析结论基本一致。图 8 不同电容条件下趋近最优比例系数输出电压波形 Fig.8 Output voltage approaching the optimal proportional coefficient under different capacitance conditions 5 结论 本文基于广义状态空间平均理论对半桥型LLC谐振变换器进行建模和稳定性研究。利用GSSA理论建立系统的大信号和小信号模型，同时通过将GSSA模型与仿真模型输出结果进行对比，验证所建模型考虑到了系统中“小纹波”因素，具有较高精确度。同时探究了系统在PI闭环控制条件下，控制器参数和输出电容参数以及参数耦合对系统稳定性的影响规律，得到以下结论：1)输出电容的增大会降低系统响应速度，增大系统响应时间，过大的直流电容对系统的稳定性是不利的。2)比例系数pk和积分系数ik对系统稳定性有重要影响，在系统中，当比例系数或积分系数较大时，系统失稳的可能性也随之增大。3)在输出电容较大情况下，提升比例系数pk，减小积分系数ik可以使系统稳定性更好。本文提出的基于GSSA半桥式LLC谐振变换器系统建模和稳定性分析方法同时适用于任何其他补偿网络，该方法可为系统参数和控制器参数设计提供依据，同时为改善变换器系统稳定性起到辅助作用。石旭东，等 基于广义状态空间平均的 LLC 谐振变换器建模及稳定性分析 -153-附录 A()()()()()Lr1RLrLrCr1I1I1Rr2CoLr1Is0LrLr31R1RrrpCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lr31Irp2CoLr1I0Lm31RrpCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lm31IrpLrLm1R1RCrpd1d44444IIIVtLn VIRIILL In VIIIIIL In VIIL In VIIIIIL InIIVL I=+-+-+-o0(A1)()()()()()Lrs1ILrLrCrLr1R1R1I1IrrCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lr31Rrp2CoLr1R0Lr31IrpCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lm31Rrp2LrLmCoLr1I1I1R0Lm31Irprpd1d44444IRIIVItLLn VIIIIIL In VIIL In VIIIIIL InIIn VIIVL IL I=-+-+-Co0 (A2)Cr1RLrCrCr1I1R1Ird1dVIVVtC=+(A3)Cr1ILrCrCr1R1I1Rrd1dVIVVtC=-(A4)()()2LmCoLr1I01RLmLmLr31I1I1RmpCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lr31Imp2CoLr1I0Lm31Rmpd4d44In VIIIItL In VIIIIIL In VIIL I=+-+()()()CoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lm31ImpLrLm1R1RCo0mp44n VIIIIIL InIIVL I-+-(A5)()()()()()Lm1ILmLm1R1RCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lr31Rmp2CoLr1R0Lr31ImpCoLrLmLrLm1R1R1I1I0Lm31Rmp2LrLmCoLr1I1I1R0LmCo31I0mpmpdd44444IIItn VIIIIIL In VIIL In VIIIIIL InIIn VIIVL IL I=-+-+(A6)()()()()()()()CooLrLm1R1R0Lr1RoocpoLrLm1I1ILr1IoocpoLrLm1R1RLm1RoocpoLrLm1I1ILmCo1I0oocpoocd2d2221()()VnRIIItCRRInRIIICRRInRIIICRRInRIIIVCRR ICRR-=+-+-+-+(A7)()()()()()()()()oLrLm1R1RspicoLr1RoocpoLrLm1I1IspicoLr1IoocpoLrLm1R1RspicoLm1RoocpoLrLm1I1IspicoLm1Ioocpsi2d2()d22()22()22()2nRIIf kk R CItCRRInRIIf kk R CICRRInRIIf kk R CICRRInRIIf kk R CICRRIfk-=+-+-+-+-+-+()()picoCo0oockk R CVCRR+|-|+(A8)参考文献 1 罗阳.半桥 LLC 谐振变换器的控制环路设计D.南京:东南大学,2017.LUO Yang.The control loop design of the half-bridge LLC resonant convertersD.Nanjing:Southeast University,2017.2 潘健,刘松林,石迪,等.宽电压应用定频LLC谐振变换器的 PWM 控制策略J.电力科学与技术学报,2022,37(5):80-87.PAN Jian,LIU Songlin,SHI Di,et al.A PWM control-154-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 strategy of fixed frequency LLC resonant converter for wide voltage applicationsJ.Journal of Electric Power Science And Technology,2022,37(5):80-87.3 唐忠,白健,赖立.基于 IPOS 双 LLC 谐振变换器的恒压恒流充电研究J.电力系统保护与控制,2021,49(24):88-95.TANG Zhong,BAI Jian,LAI Li.Constant voltage and constant current charging based on an IPOS dual-LLC resonant converterJ.Power System Protection and Control,2021,49(24):88-95.4 LI G,XIA J,WANG K,et al.Hybrid modulation of parallel-series LLC resonant converter and phase shift full-bridge converter for a dual-output DC-DC converterJ.IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics,2019,7(2):833-842.5 BADAL F R,DAS 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