微积分在经济学的应用--毕业设计论文.doc

唐山师范学院本科毕业论文题 目 微积分在经济学的应用学 生 指导教师 年 级 2014级专接本专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2016年5月郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张庆的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明.毕业论文（设计）作者（签名）： 年 月 日目 录标题1中文摘要11 引言12 微积分在经济学的应用12.1 边际分析12.2 弹性分析32.2.1 弹性的概念32.2.2 需求弹性32.2.3 需求弹性与总收入的关系42.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用52.3.1 边际经济量52.3.2 偏弹性62.3.3 偏导数求极值82.4 积分在经济分析中的应用92.4.1 边际函数求原函数92.4.2 消费者剩余与生产者剩余92.4.3 收益流的现值与未来值102.5 实际问题探索122.5.1 经济批量问题122.5.2 净资产分析132.5.3 核废料的处理143结束语16参考文献17致 谢18外文页19微积分在经济学的应用武亚南摘 要 本文从边际分析、弹性分析、多元函数偏导数在经济分析的应用、积分在经济分析中的应用、实际问题探索五方面来讨论微积分在经济学的应用.其中实际问题探索是利用微积分去解决实际问题，为本文讨论的重点.关键词 微积分 边际分析 弹性分析 实际问题1 引言微积分的产生是数学史上伟大的成就，它不仅仅是从社会生产和理论科技中产生的，反过来，它应用到我们生活中的社会和科学技术中去.如今，微积分已是广大科学工作者和科技人员必不可少的工具.微积分是微分学和积分学的总称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.并且它的产生与科学地继承和发展数学上的长期积累的研究成果是分不开的.以我国古代来说，三国时期魏人刘徽（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”用正多边形逼近圆周.这是极限论思想的成功运用.微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题.积分概念是求某些面积、体积和弧长而引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用穷竭法求出抛物线弓形的面积.阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽.通过前人的研究成果，十七世纪末英国物理学家兼数学家牛顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）创立了微积分学.它的产生并不是偶然的.那时候，建筑工程的盛兴、河道堤坝的修建、造船事业的发展等提出了很多计算不同形状物体的面积、体积、重心、器壁上液体压力等静力学的与流体力学的问题.所以微积分的产生是由于社会经济的发展、生产技术的进步所促使产生的.2 微积分在经济学的应用2.1 边际分析在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变化率就是函数的增量与自变量的增量之比，瞬时变化率就是函数对自变量的导数，在经济学中也将瞬时变化率即导函数称为边际函数.一般，称为函数在内的平均变化率，它表示函数在内的平均变化速度.函数在处的导数称为函数在点的变化率，也称为在点处的边际函数值，它表示 在点处的变化速度.在经济学中边际函数定义如下定义1 设函数在处可导，则称导数为的边际函数.在处函数值为边际函数值.简称为边际.根据边际函数的定义，可知边际成本、边际收入、边际收益、边际需求，是成本函数、收入函数、需求函数的导函数.例1 罐头厂生产的草莓罐头每瓶售价5.4元，如果每周销售量（单位：千瓶）为时，每周总成本为(元).设价格不变，求（1）可以获得利润的销售量范围；（2）每周销售量为多少瓶时，可以获得最大利润？解 总收益 总利润 当时，即当销售量在瓶至瓶之间可以获得利润.令，得故时，取得极大值，因极值唯一，即为最大值，所以当销售量为瓶时，可获得最大利润.上述结果表明销售量为每周瓶时此时获得最大利润，当销售量为每周瓶时，再增加一瓶，利润将增加，当销售量为每周瓶时，再增加一瓶，利润将减少.由此亦说明，并非生产的产品数量越多，利润越高，通过对边际利润的分析，可以减少工厂投资的盲目性，减少投资损失.2.2 弹性分析我们在边际分析中，讨论的函数变化率属于绝对数范围的讨论.在经济问题中，仅仅用绝对数的概念是不足以深入分析问题的.例如：某超市甲商品的单价是5元，降价1元；乙商品单价200元，也降价1元，结果，甲商品的需求量变化较大，这是为什么呢？原因是甲降价幅度即相对增量比乙降价的幅度大.为此我们有必要研究一下函数的相对改变率.2.2.1 弹性的概念定义2 设函数在点处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从到两点间的平均相对变化率，或称两点间的弹性.当时，的极限称为在处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性.记作即由定义可知函数在点处的弹性反映了的变化幅度对于变化幅度的大小影响，根据弹性函数公式推导可知，两点之间的弹性有正负之分.2.2.2 需求弹性在定义2中已介绍过弹性函数，由此可知需求弹性反映了当商品价格变动时需求变动的强度，由于需求函数为递减函数，所以，从而为负数.经济学家一般用正数表示需求弹性，因此采用需求函数相对变化率的相反数来定义需求弹性.定义3 设某商品的需求函数为，则称为该商品从到两点间的需求弹性.若存在，则称为该商品在处的需求弹性.在经济学上，当时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等.当时，称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化.当时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化.利用同样的方法，也可以求出供给弹性、收益弹性，但是，这样我们只是求出了弹性函数，并且分析出当自变量变动时，因变量变化的强度，而在市场经济中，企业经营者关心的是商品涨价或降价对企业的总收入的影响程度.2.2.3 需求弹性与总收入的关系在经济学上总收入 边际总收入 （1）若时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时边际总收入大于零，即总收入函数为递增函数，也就是当价格上涨，总收入增加，价格下跌时，总收入减少；（2）若时，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时边际总收入等于零，即总收入在此时取得最大值；（3）若时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时边际总收入小于零，即总收入函数为递减函数，也就是当价格上涨，总收入减少，价格下跌，总收入增加.通过分析上述需求弹性与总收入的关系，可推导出涨价未必增收，降价未必减收，从而能够在市场经济中为企业或经营者提供有利的条件，为他们的决策提供了有利的分析方法和新思路.例2 设某商品的价格与需求量的函数关系为，当商品价格处于哪种价格时，厂商可以用适当降价或涨价的办法提高总收入.解 由，解出设需求弹性为，边际需求由需求弹性定义可知 再由需求弹性与总收入的关系可知（1）当时，此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即当价格上涨时，总收入增加，价格下跌，总收入减少.（2）当时，此时，此时没有影响.（3）当时，此时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即当价格上涨，总收入减少，价格下跌，总收入增加.由上述分析可知，若企业对该商品进行价格调整时，参照以上分析法，当时，通过提升价格来提高总收入，当时，通过降低价格来提高总收入.那么该企业则会获得较高的利润，不会因为盲目的降低价格而使企业的总收入降低.2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用在上述的分析中，我们只是对一元函数进行了探讨，但是在市场经济中，并不是由一种元决定商品的销售策略，有时由多种元素来决定，这就要我们对其多元函数来进行分析.2.3.1 边际经济量设某企业生产某种产品的产量取决于投资的资本和劳动力，一般满足生产函数由偏导数的定义可知，表示在劳动力投入保持不变的情况下，资本投入变化时，产量的变化率称为资本的边际产量.表示在资本投入保持不变的情况下，劳动力投入变化时，产量的变化率称为劳动力的边际产量.2.3.2 偏弹性由一元函数的弹性概念可知，为在点的弹性，由此可以推知在多元函数中的弹性.设二元函数，则函数对的偏弹性，表示若保持不变，的相对变化率.对的偏弹性，表示若保持不变，的相对变化率.设有和两种商品，并且它们的价格分别为和，它们各自的需求量为和，因此，它们的需求函数可表示为 需求的自身价格弹性，即 需求的交叉价格弹性，即 两种商品的相互关系当或时，则表示当两种商品中任意一个价格降低，都将使其一个需求量增加，另一个需求量减少，此时这两种商品就是替代商品，当或时，则表示当两种商品中任意一个价格降低，都将使其需求量和增加，则这两种商品为互补商品，当或时，则称这两种商品相互独立.例3 某一种数码相机的的销售量，除了与它自身的价格相关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，具体相关函数为求时（1）对的弹性；（2）对的交叉弹性.解 （1）对的弹性为 当时，（2）对的交叉弹性为当时，由上述例子反映了商品之间的相关性，当交叉弹性大于零时，这时这两种商品是替代商品，也就是这两种商品之间存在着竞争关系；当交叉弹性小于零时，这时这两种商品是互补商品，也就是说两种商品之间存在着互补的关系，不存在着竞争，这两种商品必须同时使用才能满足消费者的某种需求，这样的结果也为企业的经营者提供了有利的决策条件.2.3.3 偏导数求极值假设某公司生产的产品有许多种，那么如何进行生产，才能使公司获得最大利润以及成本最低，这就需要用到偏导数求极值与最值.例4 某能源公司同时销售煤气和电力，设每月销售煤气为，电力的总成本函数为其中满足，试求煤气和电力的销售量各为多少时，总成本最低？解 构造拉格朗日函数解方程组 由可知 再由可知 依题意的最小值存在，所以当煤气和电力的销售量分别为，时，可使总成本最低，且最低成本为2.4 积分在经济分析中的应用积分是微积分学的重要组成部分，同时在经济学中有着重要的作用，而且内容非常丰富，我们可以通过积分来解决有关的经济问题.2.4.1 边际函数求原函数积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出原函数.设某个经济应用函数 的边际函数为，则有则2.4.2 消费者剩余与生产者剩余 在经济管理中，一般来说，商品的价格越低，需求量越大；反之，商品的价格越高，需求量就越低，因此需求函数是有关价格的单调递减函数.同时商品的价格越低，生产者就不愿意生产，导致供给量也就减少；反之，商品的价格越高，生产者就愿意生产，导致供给量增加，因此供给函数是有关价格的单调递增函数.由于和两者都是单调函数，故两者都存在反函数，需求函数的反函数也是需求函数，供给函数的反函数也是供给函数.需求函数和供给函数的交点称为平衡点，在此点表示生产者愿意卖、消费者愿意买的价格.若消费者因以平衡价格购买了某种商品而没有以比他们本来打算的价钱较高的价格购买这种商品而节省下来的钱的总数称之为消费者剩余.若生产者因以平衡价格出售了某种商品而没有他们本来打算比较低一些的售价售出这些商品而获得的额外收入称之为生产者剩余.假设所有消费者都是以他们打算支付的最终价格购买某种商品，其中包括所有打算以比高的价格支 付商品的消费者确实支付了他们所情愿支付的，那么，现考虑区间，如上图，选取，消费者的消费量.消费者消费总量到之间需求曲线下的面积.现在，如果所有商品都以平衡价格出售，那么消费者实际上的消费额为，为两条坐标轴及直线围成的矩形的面积.于是消费者的剩余可以从下面的公式计算出来.消费者剩余需求曲线以下直线以上的面积.同理是生产者实际售出商品的收入总额， 是生产者愿意售出商品的收入总额，因此，生产者剩余如下：生产者剩余=供给函数与直线之间区域的面积.例5 已知某蔬菜市场的需求函数为，供给函数为，求消费者剩余与生产者剩余.解 先求出市场的均衡价格和均衡产量：由由消费者剩余和生产者剩余公式可知消费者剩余生产者剩余2.4.3 收益流的现值与未来值复利计息方式的基本思想：利息收入自动计入下一期的本金，就像常说的“利滚利”.定义4 设初始本金为（元），银行年利率为，第一年末的利息为，本利和为第二年末的利息为，本利和为 以此类推，可知，第年末的本利和为这就是以年为期的复利计算公式.定义5 由于资金周转过程是不断连续进行的，若一年中分期计算，年利率仍为，则一年后的本利和为则由此可知年后的本利和为 如果计息期数时，即每时每刻计算复利（称为连续复利），则年后的本利和为这就是连续复利公式.由连续复利的公式可知，若以连续复利率计息，一笔元人民币从现在起存入银行，则年后的价值（将来值）若有一笔收益流的收益流量为（元/年），考虑从现在开始（）到年后这一段时间段.利用元素法，在区间内，任取一小区间，在内将近似看做常数，则所应获得的金额近似等于（元）.从现在（）算起，这一金额是在年后的将来而获得，因此在，收益流的现值从而总现值在计算将来值时，收入在以后的年期间获息，故在内，收益流的将来值将来值例6 一位城镇居民想要购买一栋别墅，现在价值为300万元，假若以分期付款的方式，必须每年付款21万元，并且还必须在20年内付清，并且银行的存款年利率为4%，若按照连续复利的方式计息，请你帮这位购房者提供一个决策：是采用一次付款合算还是分期付款合算？解 将20年分期付款总量的现值与别墅现价相比较，即可作出选择. 由于每年分期付款为21万元，所以收益流的变化率，于是分期付款的现值为所以分期付款合算.2.5 实际问题探索在市场经济分析中，我们经常会解决一些 “产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等问题.除了这些以外，我们经常把现实生活中的问题抽象简化为一个简单的数学问题来进行解决.2.5.1 经济批量问题例7 某商场每年销售某商品件，分为批采购进货.已知每批采购费用为元，而未售商品的库存费用为元年件.设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？（，为常数且，）.解 显然，采购进货的费用为因为销售商品是均匀的，所以平均库存的商品数应为每批进货的商品数的一半，因而商品的库存费用总费用 令得.又所以为的一个最小值.从而当批数取一个接近于的自然数时，才能使采购与库存费用之和最省.2.5.2 净资产分析对于一个公司来说，它的资产的运营，大致简单的可以分为两个方面.一方面，它的资产可以像银行的存款一样获得利息；另一方面，它的资产用于发放职工工资.显然，当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营状况将越来越糟，而当利息的盈取超过付给职工的工资总额时，公司将维持良好的经营状况.若假设利息是连续盈取，并且工资也是连续支付的.例8 假设某一公司的净资产在营运过程中，像银行的存款一样.以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加，同时，公司必须每年连续的支付200百万元人民币为职工的工资.列出描述公司净资产的微分方程假设公司的初始净资产为，求公司的净资产.描述当分别为3000,4000,5000时公司的情况.解 若存在一个初值，使公司的净资产不变，则利息盈取的速率=工资支付的速率即因此，如果净资产为4000，那么此时的净资产不变，此时达到一个平衡，则4000是一个平衡解.但是若，则利息盈取超过工资支付，净资产增加，此时利息也会增长的快，从而净资产也会增长的快；若，则利息盈取低于工资支付，公司的净资产将减少，利息的盈取也会减少，从而净资产减少的速率越来越快，这样一来，在不久的将来公司将面临破产的危险.净资产的增长速率=利息盈取的速率-工资支付的速率建立微分方程有 即 两边同时积分，得出 依照题意知，令，得出平衡解.由当时，代入中可得则若，则为平衡解，并且此时净资产不变.若，则，此时净资产是增加的.若，此时净资产是减少的，并且当时，这说明，该公司在28年后将破产.2.5.3 核废料的处理若干年以前，美国原子能委员会决定将放射性核废料在密封的圆桶里面扔到水深的的海底（圆桶的质量,体积，海水的密度为）.当时的一些科学家是持反对意见的.科学家们用实验得出结论：圆桶下沉所受的阻力与圆桶的方位无关，而与圆桶的速度成正比，并且比例系数为；圆桶到达海底时的速度如果超过，那么圆桶就会因碰撞而破裂，进而引起核污染.但是美国原子能委员会却不认为存在上述可能性，那么圆桶到达海底时的速度为多少呢？这是一个我们值得探究的问题.如果设海平面为轴，轴的正向沿铅直向下.设在时间圆桶的位置为，速度为，进而得知.圆桶在下沉过程中所受的重力为圆桶所受海水的浮力为海水的阻力为圆桶在下沉过程中所受的合力为由于加速度为，根据牛顿第二定律可知，即又由于故分离变量得出两边同时积分可得由，可得此时可得方程为若假设此时速度为临界速度，则此时的圆桶的位置由方程可得说明此时还没有到达海底.但是问题是海水的阻力会不会使其减速呢？由于加速度如果海水的阻力使其减速，那么它的加速度就会小于零，假设，那么此时，即，此时，也就说只能在时才能减速，那么当时也就说圆桶的速度大约每秒提升约，到海底还有约需要近，因此必定会在左右碰壁而破裂.3结束语本文前面部分先给出了有关微积分的发展历史，然后介绍了微分在经济学的应用的边际分析以及弹性分析，再讨论了多元微分学在经济中的应用，之后又给出了积分在经济学上的应用，紧接着又利用研究的结果应用到现实中的生活实际问题进行了探索与研究.使微积分在现实生活中更有意义，不再是一门枯燥的学科，所得的结论也具有十分重要的理论意义和很高的应用价值，并且为某些企业经营者提供了很好的有利决策.参考文献1 苏德矿，金蒙伟.微积分M.北京：高等教育出版社，2004.7.2 张琳，马祥玉主编.经济应用数学M.上海：上海交通大学出版社，2015.3 黎诣远主编.经济数学基础M.北京：高等教育出版社，1998.7.4 林益，刘国钧，徐建豪等.微积分M.武汉：武汉理工大学出版社，2006.5 吴传生主编.经济数学微积分M.北京：高等教育出版社，2003.6.6 贾晓峰.微积分与数学模型（上）M.北京：高等教育出版社，1999.8.7 张银生，安建业.实用微积分M.北京：中国人民大学出版社.8 张又林主编.微积分典型题解析及自测试题M.西安：西北工业大学出版社，2000.8.9 上海交通大学数学系微积分课程组编.大学数学微积分M.北京：高等教育出版社，2010.致 谢我的毕业论文（设计）撰写工作自始至终都是在张庆老师全面、具体的指导下进行的.张庆老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘.老师严谨的治学态度和对工作兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作.感谢我的指导教师张庆对我的关心、指导和教诲！感谢分析组老师们的关心和帮助！感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助！The Application of Calculus in EconomicsWu Yanan Directed by Prof.Zhang QingAbstract This paper from the marginal analysis , elastic analysis, the application of multivariate function partial derivative and integral in economic analysis, actual problem exploration five aspects to discuss the application of calculus in economics . The actual problem exploration is to solve practical problems by making full use of calculus, which is the key point of this paper.Key words calculus marginal analysis elastic analysis the actual problem 19