二维变密度非齐次不对称流的拉格朗日方法_肖烁发.pdf

第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202340二维变密度非齐次不对称流的拉格朗日方法*肖烁发，徐海燕（广东工业大学数学与统计学院，广东广州510520）摘要：二维变密度非齐次不对称流模型用于刻画一类悬浮在粘性介质中的刚性的、随机分布的流体的运动规律，目前在生物数学领域内主要被用于刻画血液流经血管的运动过程。本文主要利用拉格朗日方法研究模型的柯西问题，我们不仅要求初始值在?RB2 102,()的乘子空间，还增加了一个小性条件，如此通过连续两次应用压缩映射定理，我们最终证明了此柯西问题在临界函数空间中的大初值的局部适定性。关键词：柯西问题；适定性；拉格朗日方法中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2023)01-0040-071基本介绍我们首先引入如下不可压非齐次不对称流方程（1）+=+-+=+-tttuuuuucurlwwuw(),()(),()02()(),(,)|ccwcccdivwwcurludivuu waddat+-+-+=00420(,),000u w|其中=(,)t x 0是变密度，u，w和分别表示速度场，流体微团的旋转角速度和压强。常数,c c cad0刻画了流体的各向同性性。其中,c c cad0是正数，并且cccda0+。该模型用于刻画一类悬浮在粘性介质中的刚性的、随机分布的流体的运动规律，它最早由Condiff导出1，它还可用于血液流经血管的建模2-3。令,c c cad0为 1，u x tu x t ux t(,)(,),(,),),=120w x tw x t(,)(,(,)=0 03，得到如下二维不可压非齐次不对称流体方程（2）+=+-+=+tttuinuuuucurlwwu(),(),()0222RRw wwwcurludivuu wu wt-+=|=24200000,(,)|(,)本文将主要致力于研究模型（2）的适定性。对于模型（1），已知弱解的存在性4-7和强解的存在性8-10，以及在初始速度和初始旋转角速度具有小性条件时的存在性11-12。文献 13 还研究了不对称流的消失粘性问题。对于拉格朗日方法，读者可参考文献11,14-16，包括非齐次变密度可压和不可压 Navier-Stokes 方程存在的收稿日期：2023-01-06*基金项目：国家自然科学基金青年项目（11901117）通讯作者：第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202341唯一性结果。我们将用拉格朗日方法来证明模型（2）的局部大初值的存在唯一性。我们先从形式上来导出模型（2）的拉格朗日方程。设(,)u w 是模型（2）的解，Xu是向量场u所生成的流，即Xt yyuXy dutu(,)(,(,)=+0（3）由刘维尔公式得到divuDXu=01|（4）(,):(,(,),(,):(,(,),(,):(,(t yt Xt yu t yu t Xt yw t yw t Xtuuu=,),(,):(,(,),yt yt Xt yu=于是(,)t 0，且(,)u w 满足010222-+=-tyuuyuyutyuuyudivA AuAAwwdivA Aw(),()(),(),(,)|(,),+=|=420000wdivA udivA uu wu wyuyut其中=-(,)yy21，uuu=-(,)21，AD Xuyu=-()1。2主要定理和引理我们在如下函数空间中求解模型（2）：E Tu wu wCTBuuwwLbtt():(,):,(,);),=02 10221?(,);),02 10TB?其上的范数定义为?(,):,()(,);),u wu wuuwwE TLTBtt=+0222 10L LTB12 100(,);),?因为模型（2）的存在性并未证明，所以我们并不能直接考虑模型（5），但我们可引入（6）01022242-+=-+=-ttudiv AAuAAwwdiv AAwwdiv A(),()(u udiv Auu wu wt=|),(),(,)|(,),0000 此处(,),tu w 0是关于(,)t y的函数，ADXX t yyuy dt=+-()(,):(,),10以及如下主要结果：定理 1：设(,)(),u wB002 102?R使得divu00=，再设初始密度02 10M(),?B使得?102 10-M(),Bc，其中c是一个充分小的常数，于是存在T 0使得模型（6）在E Tu wE TDXu11():(,)():|=中存在唯一的局部解。注 1：由文献 15 的附录可知，若uCTBb(,);),02 10?tu D uLTB,(,);),212 100?，则当 T 充分小时，X t(,)是Rn上的C1微分同胚，于是X t yyXy dut(,)(,(,)=+0，其中u t xu t Xt x(,)(,(,)=-1，即X是u的流，我们将之记为Xt yu(,)，相应的A可重新记为Au。此时还有|DXdivuu=10。定 理 2：在 上 述 假 设 下，模 型（2）有 唯 一 的 局 部 解(,)u w，其 中+LB(;(),R?M2 10，第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202342(,)()u wE T。为证定理 1，先证以下两个模型的适定性，设：vCTBv D vLTBbt(,);),(,);),002 10212 10?（7）X t yyvy dADXt(,):(,),()=+=-01，引入如下两个模型：0102224-+=-+=-tvvvvtvvudiv A AuAAwwdiv A Aww(),()2 20000div A udiv A uu wu wvvt(),(),(,)|(,),=|（8）-+=-=ttuuf uwwwf uwdivug uu w2212(,),(,),(),(,*)|(,),tu w=|000（9）这里g udiv IdA uv()()*=-，f uwuIdAdiv A AIdutvvv10122(,)()()()*=-+-+-+A Awv-1*f uwwdiv A AIdwwdiv A utvvv201242(,)()()()*=-+-+。引理 1 设(,)(),u wB002 102?R使得divu00=，v满足（7），且|DXv1，若(,)()*uwE T，则模型（9）在E(T)中存在唯一解，且当T充分小时，我们有?(,)(,)()()(,u wu wDvE TBBL+-+00002 102 1011MT TBE TTuw);)*(),)(,)?2 1112+若初始密度02 10M(),?B且?102 10-M(),Bc，其中c是一个充分小的常数，则存在T 0使得模型（8）在E(T)中存在唯一的局部解，且有如下估计?(,)(,)(),u wu wE TB002 10。(10)本文将多次用到下面的引理。引理 215设uBpsn01?R,()，fLT Bpsn110(,;(),?R，其中ps,1 R，再设gTn:,0RR使得=gLT BgdivRpsnt110(,;(),?R，其中RLT Bpsn110(,;(),?R，有相容性条件gdivuxtn|,=00 R。于是模型(11)-+=tnnt tuuPft xTdivugt xTuux(,)(,)(,)(,)|,0000RR|Rn,存在唯一解(,)uP，使得uCTBpsn(,);(),01?R tpsnuuPLTB,(,);(),2110?R，且第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202343(12)?uuuPuLTBtLTBBpspsp+(,);)(,);),02001111 1110snppfg RLTB()(,);),R?+其中C与,T无关。利用引理 2，我们可得引理 1 的第一个结论，再用压缩映射定理即可得第二个结论。3定理 1 的证明证明：我们用压缩映射定理，首先引入F(T)的一个子集如下F TVQv rQF TDXv11():(,)(,)():|=(13)设(,)()VQF T1，易知v满足引理1的条件，引入映射:(,)(,)VQUP，由注1，X t y(,)可表为Xt yu(,)，其中u t xu t Xt x(,)(,(,)=-1。于是由div A uv()=0和引理A.2可知|DXu1，如此只需再证的压缩性即可知定理结论成立。给定(,),(,)()VQVQF T11221，并记(,):(,)(,):(,)UPVQUPVQ11112222=，设Xi是vi所生成的流，并且ADXiii=-(),11 2。(14)-+=|=ttUUPfdiv UgU20 00,|(,),此处UUUPPP:=-=-2121，ffff u wf u wf u wf u=|=-12122211112222:(,)(,)(,)(1 11,)w|gg ug u:()=-21。下面我们估计fffii11117,=，其中fut1101=-()，fdiv A AIdu12222=-()，fdiv132=,()A AA Au22111-，fIdA142=-()，fAw16212=-，fAAw17211112=-()。根据M(),?B2 10的定义，?fuLT BBtLT B1100012 102 1012 101(,;)()(,;),-M(15)根据引理（A.1），(A.7),(16)?fadj DXAIduLT BLT B12022012 1012 11(,;)(,;),()-D DvD uLT BLT B20012 1112 11?(,;)(,;),第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202344而由(A.8)，(A.10)，我们可算出?fD vDuLT BLT BLT B13001012 1012 1112 11(,;)(,;)(,;,)由(A.4)，(A.8)以及?BBB2 112 102 10,可算出?fDvDLT BLT BLT B14020012 1012 1112 10(,;)(,;)(,;,)，?fD vDLT BLT BLT B15001012 1012 1112 10(,;)(,;)(,;,)由(A.5)，(A.9)得?fDvD wLT BLT BLT B16020012 1012 1111(,;)(,;)(,;,()[phone] 1212012012,)(,;)()+?DvwwdLT BBTBt tDvTwwLT BLT BL()(,;)(,;)(,12012012012 112 101+?T T B;),?2 1212?fD vDwLT BLT BLT B17001012 1012 1112 10(,;)(,;)(,;,)(,;)(,;)(,;,?D vTwwLT BLT BLT B12 112 1010121012102 2 1212,)(17)?RvuLT BLT BLT B3001012 1022 1122 11(,;)(,;)(,;),(,)()(,;)(,;),vQuuF TLT BLT B?101210122 1012 12 对f2和g做类似的处理，由引理2我们知道?(,)()()()(,);),UPDvTF TBLTB-[phone]M?(,)(,()(,);),UPuuwuF TtLTB+1212110112 10 L LT BF TTVQ12 1201212(,;)(),)(,)?+令c，T充分小，可得(,)(,)()()UPVQF TF T12(18)的压缩性得证。4附录引理 A.1：给定Rn上的保测度的C1微分同胚X和向量场Hnm:RR。记H yHX y()()=，则div H xdivAHydiv adj D X Hyxyyy()()()()()=其中xX y=()，adj D Xy()是D Xy的伴随矩阵。引理 A.2：设v，w是两个与时间有关的向量场，其分量均属于LT C10 10(,;),，它们生成的流分别为Xv，Xw。记ADXADXvvww:():()=-11。我们定义xXyXyvvww=()()(A.1)。设|,()DXdiv A wvvv=10，其 中ww Xvv:=。于 是|DXw1，并 且 对 任 意 的C1向 量 场H，divH xDHAydiv A Hyvvvwww()(:)()()()=(A.2)，其中HHXHHXvvww:=。第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202345设vCTBv D vLTBbt(,);),(,);),002 10212 10?，并定义X t(,),d于是当T充分小时，X t(,)是Rn上的C1微分同胚，且有以下事实：引理 A.3：设v满足上述条件，A tDX t()()=-1则有?Idadj DX tDvBLt B(),(,);)2 1112 110(A.3)?IdA tDvBLt B(),(,);)2 1112 110(A.4)?IdAtDvBLt B102 1112 11(),(,);)(A.5)?tBorBBorBadj DXDv(),()()2 112 102 112 10(A.6)?Idadj DX ADvBLt B(),(,);)2 1112 110 (A.7)引理 A.4：设vv12,满足上述条件，vvv:=-21，则?AAD vLt BLt B21002 1112 11-(,);)(,);),(A.8)?AAD vLt BLt B2111002 1112 11-(,);)(,);),(A.9)?adj DXadj DXD vLt BLt B()()(,);)(,);),21002 1112 11-(A.10)?-tLt BLt Badj DXadj DXD v()()(,);)(,);,210012 11121 11)(A.11)?-tLt BLt Badj DXadj DXD v()()(,);)(,);,210022 10221 10)(A.12)其中ADXii=-()1，i1,2。参考文献1 Condiff D.W,Dahler J.S,Fluid mechanical aspects of antisymmetric stress.Phys.Fluids,1964,7(6):842854.2 Ferrari C,On lubrication with structured fluids.Appl.Anal.,1983,15:127146.3 Prakash J,Sinha P,Lubrication theory for micropolar fluids and its application to a journal bearing,Internat.J.Engrg.Sci.,13(1975)217323.4 Braz e Silva P,Santos E.G,Global weak solutions for variable density asymmetric incompressible fluids.J.Math.Anal.Appl.,2012,387:953969.5 Lukaszewicz G,Micropolar fluids:theory and applications.Springer Science&Business Media,(1999).6 Lukaszewicz G,On non-stationary flows of incompressible asymmetric fluids.Math.Methods Appl.Sci.,13(3)(1990)219232.7 Braz e Silva,P.,Cruz,F.,Rojas-Medar,M.,Santos,E.Weak solutions with improved regularity for the non-homogeneous asymmetric fluids equations with vacuum.J.Math.Anal.Appl.473,567586(2019).8 Boldrini J.L,Durn M,Rojas-Medar M.A,Existence and uniqueness of strong solution for the incompressible 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