概率典型例题.ppt

典型例题,一、离散型随机变量,（一）求概率分布,1.一批零件有９件合格品，３件次品，安装机器时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样方式a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的概率分布．,2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次，求试验次数Ｘ的概率分布．,3.抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0＜p＜1），设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。,1.一批零件有９件合格品，３件次品，安装机器时，从中任取一个，直到取到正品，就下列两种取样方式a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数Ｘ的概率分布．,解：a)放回取样Ｘ可取１，２，３，…，概率分布为：,b)不放回取样Ｘ可取１，２，３，４，概率分布为：,2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次，求试验次数Ｘ的概率分布．,解：Ｘ可取２，３，…，概率分布为,3.抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0＜p＜1），设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。,解：Ｘ可取２，３，…，概率分布为,（二）概率分布已知，相关问题的计算,４．设离散型随机变量Ｘ的概率分布为,求（１）α；（２）分布函数；（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝,解：(1)由得α＝0.25,（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝=Ｐ｛X=1}+P{X=3}=0.45,（三）分布函数已知，相关问题的计算,５．设离散型随机变量Ｘ的分布函数为,求（１）Ｘ的概率分布；（２）Ｐ｛１≤X＜５｝；,解：(1)P{X=0}=F(0)-F(0-0)=0.3-0=0.3P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0.5-0.3=0.2P{X=3}=F(3)-F(3-0)=0.9-0.5=0.4,,,P{X=5}=F(5)-F(5-0)=1-0.9=0.1,（２）Ｐ｛１≤X＜５｝=F(5-0)-F(1-0)=0.9-0.3=0.6,(四）几种重要分布,６．一射手对同一目标独立地进行４次射击，每次射击的命中率相同，如果至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率．,解：设该射手的命中率为p,命中次数为Ｘ，则Ｘ～B(4,p)由题意得P{X≥1}=80/81,所以P{X＝0}=1/81即(1-p)4=1/81,所以p=2/3,7.某商店订了１０００瓶饮料，设每个饮料瓶是否被打破相互独立，每个饮料瓶被打破的概率0.003，求商店收到破碎瓶子数分别是(１)恰有２只；(２)小于２只；(３)至少是１只的概率．已知e-3=0.0498,解：设收到的破碎瓶子数为Ｘ，则Ｘ～B(1000,0.003)由于n较大，p较小，可用泊松定理作近似计算λ＝np=3(1)P{X=2}≈(32/2!)e-3≈0.2241(2)P{X＜2}=P{X=0}+P{X=1}≈(30/0!)e-3+(31/1!)e-3=4e-3≈0.1992(3)P{X≥1}=1-P{X=0}≈1-e-3≈0.9502,二、连续型随机变量,（一）分布函数已知，相关问题的计算,１．设连续型随机变量Ｘ的分布函数为,求（１）Ａ和Ｂ；（３）随机变量Ｘ的概率密度；,,,解：(1)利用F(+∞)=1,及F(x)在x=0处的连续性得：,A=1A+B=0所以Ａ＝１，B=-1,=F(2),(二）概率密度已知，相关问题的计算；,２．设连续型随机变量Ｘ的概率密度为,求（１）Ａ；,,,解：由概率密度的性质得：,而,所以A=4,3.设连续型随机变量Ｘ的概率密度为,求分布函数Ｆ(x)．,,当0≤x＜1时，,当1≤x＜2时，,当x≥2时,,(三）正态分布的有关问题,４．某地外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为７２分，９６分以上占考生总数2.28％，求考生成绩在６０分至８４分之间的概率．,解：由题设知：外语成绩Ｘ近似服从正态分布X～N（μ,σ2）其中μ＝７２，σ2未知，由于,即：,查表得：,因此σ=12,所以,,,解因X～N（0，1），故X的密度函数为,记Y的分布函数FY(y)，由y=x2，则y∈[0，+∞）,当y≥0时，,当y<0时，FY(y)=0，,于是Y的概率密度为:,