Hecke群的同余子群及相关问题的开题报告.docx

Hecke群的同余子群及相关问题的开题报告1. 研究背景及意义Hecke群是一类特殊的离散群，在模形式和自守表示的研究中扮演着重要的角色。Hecke群的同余子群是一类特殊的子群，其有助于研究模空间的几何、算术以及结构。因此研究Hecke群的同余子群及其相关问题既有理论上的意义，也有实际应用价值。2. 研究内容及方法本课题主要包括以下两方面内容：（1）Hecke群的同余子群研究。主要是研究同余子群对Hecke算子的几何和算术性质的影响，以及同余子群对整个Hecke群结构、模空间及自守表示的影响。（2）相关问题的研究。包括Hecke算子的表示论、Hecke算子的谱和自旋L-函数的研究、Hecke群的共轭类及其代表元的分类等问题。研究方法主要是基于群论、代数几何、表示论和自守表示等方法，使用基本的数学工具如同余子群、高维代数几何、李代数等进行研究分析。3. 预期研究结果预期研究结果包括：（1）构造一些新的Hecke群的同余子群，并研究它们的性质。（2）研究同余子群对Hecke算子谱的影响，推广已有的一些结论。（3）研究Hecke算子的表示论，发现一些新的性质。（4）分类Hecke群的共轭类及其代表元，发现其中的一些模式与模曲线理论的一些重要问题相联系。4. 参考文献1 Diamond F, Shurman J. A first course in modular formsM. Springer, 2005.2 Serre J P. Congruences et formes modulaires(Modular forms and congruences)M. Les presses de luniversit de Montral, 1984.3 Katz N M. Serre-Tate local moduliM /Surveys in differential geometry. Springer, 1999.