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Hecke群的同余子群及相关问题的开题报告
1. 研究背景及意义
Hecke群是一类特殊的离散群，在模形式和自守表示的研究中扮演着重要的角色。Hecke群的同余子群是一类特殊的子群，其有助于研究模空间的几何、算术以及结构。因此研究Hecke群的同余子群及其相关问题既有理论上的意义，也有实际应用价值。
2. 研究内容及方法
本课题主要包括以下两方面内容：
（1）Hecke群的同余子群研究。主要是研究同余子群对Hecke算子的几何和算术性质的影响，以及同余子群对整个Hecke群结构、模空间及自守表示的影响。
（2）相关问题的研究。包括Hecke算子的表示论、Hecke算子的谱和自旋L-函数的研究、Hecke群的共轭类及其代表元的分类等问题。
研究方法主要是基于群论、代数几何、表示论和自守表示等方法，使用基本的数学工具如同余子群、高维代数几何、李代数等进行研究分析。
3. 预期研究结果
预期研究结果包括：
（1）构造一些新的Hecke群的同余子群，并研究它们的性质。
（2）研究同余子群对Hecke算子谱的影响，推广已有的一些结论。
（3）研究Hecke算子的表示论，发现一些新的性质。
（4）分类Hecke群的共轭类及其代表元，发现其中的一些模式与模曲线理论的一些重要问题相联系。
4. 参考文献
[1] Diamond F, Shurman J. A first course in modular forms[M]. Springer, 2005.
[2] Serre J P. Congruences et formes modulaires(Modular forms and congruences)[M]. Les presses de l'université de Montréal, 1984.
[3] Katz N M. Serre-Tate local moduli[M] //Surveys in differential geometry. Springer, 1999.