考虑桩土非完全粘结及桩底土...应的浮承桩纵向振动特性研究_孟坤.pdf

第 36 卷第 2 期2023 年 4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol.36 No.2Apr.2023考虑桩土非完全粘结及桩底土波动效应的浮承桩纵向振动特性研究孟坤1，2，崔春义1，许成顺3，姚怡亦1，辛宇1，梁志孟1（1.大连海事大学土木工程系，辽宁 大连 116026；2.山东科技大学交通学院，山东 青岛 266590；3.北京工业大学城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室，北京 100124）摘要:为合理考虑浮承桩纵向振动问题中桩端土作用及桩-土界面相对位移条件，同时引入动力 Winkler模型和虚土桩模型，建立了一种适用性更广的浮承桩纵向振动特性研究方法。引入分离变量法对三维土体位移控制方程进行求解，结合土体表面及基岩处边界条件得到三维土体位移基本解；通过将动力 Winkler模型相关参数考虑为桩-土界面边界条件在频域内解析求解了桩纵向振动特性，并将所得频域解析解拓展到时域，采用离散傅里叶逆变换方法（IFT）求解了桩顶速度时域响应；开展参数化分析探讨了桩-土界面非完全粘结条件及虚土桩参数对浮承桩动力响应的影响，计算结果表明：桩-土界面完全耦合假定会过高估计桩侧土对桩的约束作用，无法合理评估桩基的抗振性能，并会对桩基抗振防振设计及桩底反射信号识别产生不利影响；另外，针对浮承桩纵向振动问题，采用虚土桩模型描述其桩底土作用具有合理性和必要性。关键词:桩底土；虚土桩；桩-土相对滑移；动力阻抗；解析解中图分类号:TU473.1 文献标志码:A 文章编号:1004-4523（2023）02-0435-10 DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.02.015引 言桩基础作为一种承载性好、沉降小的深基础，在近几十年的众多重点工程建设中被广泛采用。实际工程中，桩基础的受力情况一般较为复杂，不仅有静荷载，还承受各类竖向动荷载作用，例如交通荷载；而桩-土纵向振动理论方法作为研究竖向动荷载作用下桩基础振动特性的基石，引起越来越多的关注1-5。已有针对该理论方法的研究主要从桩侧土和桩底土模型两方面展开。对于桩侧土振动模型而言，从 Winkle模型6到 Novak 平面应变模型7，再到理论上更为严谨的三维连续介质模型8-10，发展已逐渐完善。在桩底土模型方面，端承桩仅采用固端支撑模拟桩底土作用即可满足桩基纵向振动特性的计算精度11-13。由于浮承桩振动效应受桩底土影响显著，其采用的桩底土模型对于此类问题研究的合理性与准确性显得尤为重要。桩底黏弹性支撑模型因其物理概念清晰、简便等优点，在浮承桩振动问题中得到广泛应用14-18，但该模型作为一种离散的弹簧-阻尼器元件，相关系数取值多依赖经验方法，主观性较强且无法合理考虑桩底土体波动效应的影响。基于此点考虑，Muki等19最早提出了弹性半空间模型引入桩底土波动效应，并结合虚拟杆叠加法对浮承桩纵向振动特性进行求解。该方法虽可在一定程度上弥补桩底黏弹性支撑假设的不足，但其仅适用于桩底基岩埋深较大的情况。为解决这一问题，杨冬英等20通过将桩底土体考虑为与实体桩等直径的虚拟土柱，提出了一种理论上更为严格的虚土桩模型，建立了桩侧土-桩-虚土桩-桩底土完全耦合动力相互作用体系，并对浮承桩纵向振动特性影响因素进行了系统分析。上述针对桩-土纵向动力相互作用问题的研究均基于界面完全耦合假定，即忽略桩-土间的相对滑移。然而当桩顶激振作用较强时桩-土界面会产生明显的相对位移，该现象对于浮承桩更加显著，此时仍采用该假定将会引起不可避免的误差21。因此，如何合理考虑桩-土界面效应，对于桩-土纵向振动问 题 而 言 尤 为 重 要。Nogami 等22-23和 EI Naggar等24最 早 提 出 了 包 括 远 场 和 近 场 两 部 分 的 动 力Winkler 模型，其中远场模型模拟桩侧土作用，近场模型则描述桩-土间的相对滑移，推导得出了桩-土动力相互作用的时域解。栾茂田等25则基于三维连续介质模型考虑桩侧土波动效应，并采用动力 Win-kler模型模拟桩-土界面非完全粘结，不考虑桩底边界条件，解析求解了桩纵向振动问题。在此基础上，收稿日期:2021-08-30；修订日期:2021-12-07基金项目:国家重点研发计划资助项目（2021YFB2601102）；国家自然科学基金面上项目（52178315，52108326）。振 动 工 程 学 报第 36 卷李强等26-27分别将桩底考虑为固定和黏弹性支撑，对非完全粘结条件下桩的纵向振动特性进行了求解。综上所述，已有研究在考虑桩-土界面非完全粘结条件对浮承桩纵向振动特性进行分析时，或未考虑桩底边界条件的影响，或仅采用简化的固端支撑或黏弹性支撑模拟桩底土作用，理论上均不够严格。鉴于此，本文同时引入桩-土界面动力 Winkler 模型和桩底虚土桩模型，建立三维轴对称连续介质中非完全粘结浮承桩纵向振动体系，提出了一种适用性更广的浮承桩纵向振动特性研究方法。1力学模型与定解问题1.1力学模型基于桩侧土三维连续介质、桩底土虚土桩（Fic-titious Soil Pile，FSP）模型和桩-土界面动力 Win-kler 模型建立的简化力学模型如图 1 所示。图中 H为基岩上土层总厚度，HP和HFSP分别为桩侧土（桩长）和桩底土（虚土桩桩长）厚度，桩顶作用激振力q(t)，r0为桩径，1(z，t)和2(z，t)分别为相应位置处的剪应力。本文建立的力学模型所采用的基本假定如下：（1）土体为均质黏弹性介质，桩侧土与桩底土相互作用以弹簧和阻尼器并联元件模拟，其中弹簧刚度系数为kS，阻尼系数为cS；（2）桩侧土表面无应力，桩底土底部固定；（3）本文仅针对桩侧和桩底土层总体较均匀情况；（4）实体桩和虚土桩为均质等截面黏弹性 Eul-er-Bernoulli杆，仅适用于长径比大于 5的细长桩，实体桩和虚土桩界面完全耦合；（5）采用动力 Winkler模型考虑桩-土界面效应，其刚度和阻尼系数分别为kf和cf。1.2定解问题三维连续介质土体控制方程可写为：(j+2Gj)2wjz2+Gj(1rwjr+2wjr2)+jt2wjz2+jt(1rwjr+2wjr2)=j2wjt2（1）式中 wj为土体纵向位移；j，Gj，j和j分别为土体拉梅常数、剪切模量、黏性阻尼系数和密度，j=1，2（j=1时相应参数对应桩底土，j=2时相应参数对应桩侧土）。基于 Euler-Bernoulli一维波动理论建立的虚土桩和实体桩控制方程为：EFSP2uFSPz2+FSP3uFSPtz2-FSP2uFSPt2-2r0AP1=0（2）EP2uPz2+P3uPtz2-P2uPt2-2r0AP2=0（3）式中 uFSP和uP分别为虚土桩和实体桩纵向位移；EFSP=E1=1(1+1)(1-21)1为 桩 底 土 弹性模量；1为桩底土泊松比；FSP=1；FSP=1；EP，P，P和AP分别为桩弹性模量、阻尼系数、密度和面积；AP=r20。该定解问题的边界条件如下：（1）桩底土E1w1z|z=HP=(kSw1+cSw1t)|z=HP（4）图 1 力学简化模型图Fig.1 Simplified mechanical model436第 2 期孟坤，等：考虑桩土非完全粘结及桩底土波动效应的浮承桩纵向振动特性研究w1|z=H=0（5）（2）桩侧土E2w2z|z=HP=-(kSw2+cSw2t)|z=HP（6）w2z|z=0=0（7）式 中 E2=2(1+2)(1-22)2为 桩 侧 土 弹性模量，其中2为桩侧土泊松比。（3）实体桩与虚土桩|uPzz=0=-q(t)EPAP（8）|uFSPz=H=0（9）|uPz=HP=|uFSPz=HP（10）EP|uPzz=HP=EFSP|uFSPzz=HP（11）（4）桩-土界面w1(r0，z，t)=uFSP(z，t)（12）2=-(kfu+cfu?)（13）式中 u=uP-w2为桩-土相对位移。2定解问题求解2.1土体振动问题求解对式（1）进行 Laplace变换后可得：(j+Gj)2Wjz2+(Gj+js)2Wj=js2Wj（14）式中 Wj为wj的拉普拉斯变换；s=i，i=-1为虚数单位；为激振圆频率。令Wj=Rj(r)Zj(z)，并将其代入式（14）可得：d2Rj(r)dr2+1rdRj(r)dr-j2Rj(r)=0（15）d2Zj(z)dz2+2jZj(z)=0（16）式中 j和j满足如下关系：2j=(j+2Gj+js)2j+js2Gj+js（17）求解方程（15）和（16）后可得到：Rj(r)=AjK0(jr)+BjI0(jr)（18）Zj(z)=Cjsin(jz)+Djcos(jz)（19）式中 Aj，Bj，Cj和Dj为待定系数；I0和K0分别为第一类和第二类贝塞尔函数。鉴于土体位移在径向无限远处为有限值，则可得Bj=0。对式（4）和式（5）进行 Laplace 变换，并令z=z-HP进行坐标变换后可得：E1W1z|z=0=(kS+scS)W1|z=0（20）W1|z=HFSP=0（21）当j=1时，把式（19）代入式（20）和（21）可得：tan(1HFSP)=-E11kS+scS（22）对 式（22）进 行 求 解 可 得1的 n 个 特 征 值1n（n=1，2，3，），进一步将1n代入式（17）可得1n，则桩底土纵向振动位移可写为：W1(r，z，s)=n=1A1nK0(1nr)sin(1nz+1n)（23）式 中 A1n为 一 系 列 待 定 系 数，1n=arctan(E11nkS+scS)。由此可得桩底土剪应力为：1=(G1+1s)n=1A1n1nK1(1nr0)sin(1nz+1n)（24）对式（6）和（7）进行 Laplace变换后可得：E2W2z|z=HP=-(kS+scS)W2|z=HP（25）W2z|z=0=0（26）当j=2时，把式（19）代入式（25）和（26）可得：tan(2HP)=kS+scSE22（27）对 式（27）进 行 求 解 可 得2的 n 个 特 征 值2n（n=1，2，3，），进一步将2n代入式（17）可得2n，则桩侧土纵向振动位移可写为：W2=n=1A2nK0(2nr)cos(2nz)（28）式中 A2n为一系列待定系数。由此可得桩侧土剪应力为：2=(G2+2s)n=1A2n2nK1(2nr0)cos(2nz)（29）2.2桩振动问题求解对虚土桩振动方程式（2）进行 Laplace 变换，然后将式（24）代入，式（2）可写为：(VFSP)2(1+FSPEFSPs)2UFSPz2-s2UFSP-2r0FSPAP(GFSP+FSPs)n=1A1n1nK1(1nr)sin(1nz+1n)=0（30）式中 VFSP=EFSPFSP为虚土桩压缩波波速。方程（30）的通解和特解分别为：437振 动 工 程 学 报第 36 卷UFSP#=MFSPcos(FSPz)+NFSPsin(FSPz)（31）UFSP=n=11nsin(1nz+1n)（32）式中 MFSP和NFSP为待定系数，FSP=-s2(VFSP)2 1+(FSPs)EFSP，1n=-2r0(GFSP+FSPs)A1n1nK1(1nr0)FSPAP(1nVFSP)2(1+FSPEFSPs)+s2。则方程（30）的解可写为：UFSP=MFSPcos(FSPz)+NFSPsin(FSPz)+n=11nsin(1nz+1n)（33）令z=z-HP，对边界条件式（12）进行 Laplace变换，并将式（23）和式（33）代入可得如下关系式：MFSPcos(FSPz)+NFSPsin(FSPz)=n=1A1n1nsin(1nz+1n)（34）式中 1n=K0(1nr0)+2r0(GS1+S1s)1nK1(1nr0)/S1AP(1nVSP)2(1+S1ES1s)+s2。12MFSP|cos 1n-cos(1n+FSP)HFSP+1n1n+FSP+cos 1n-cos(1n-FSP)HFSP+1n1n-FSP|-12NFSP|sin(1n+FSP)HFSP+1n-sin 1n1n+FSP-sin(FSP-1n)HFSP-1n+sin 1nFSP-1n|=A1n1nL1n（35）式中 L1n=0HFSPsin2(1nz+1n)dz。至此，虚土桩的位移可写为：UFSP=MFSP cos(FSPz)+n=11nsin(1nz+1n)+NFSP sin(FSPz)+n=11nsin(1nz+1n)（36）式中1n=1n|cos(1n+FSP)HFSP+1n-cos 1n1n+FSP+|cos(1n-FSP)HFSP+1n-cos 1n1n-FSP，1n=1n|sin(1n+FSP)HFSP+1n-sin 1n1n+FSP-|sin(FSP-1n)HFSP-1n+sin 1nFSP-1n，1n=(G1+1s)1nK1(1nr0)1r0(1nVFSP)2(1+1E1s)+s2 1nL1n。引入局部坐标系，然后对边界条件式（9）进行Laplace变换，将式（36）代入后可得：MFSPNFSP=-sin(FSPHFSP)+n=11nsin(1nHFSP+1n)cos(FSPHFSP)+n=11nsin(1nHFSP+1n)（37）由此可得虚土桩桩顶处的阻抗函数为：ZFSPEFSPAP=-MFSPNFSPn=11n1ncos 1n+FSP+n=11n1ncos 1nMFSPNFSP|1+n=11nsin 1n+n=11nsin 1n（38）对桩振动方程式（3）进行 Laplace 变换，并把桩侧土剪应力式（29）代入后可得：(VP)2(1+PsEP)2UPz2-s2UP-2r0(GS+Ss)r0Pn=1A2n2nK1(2nr0)cos(2nz)=0（39）式中 VP=EPP为实体桩一维压缩波波速。方程（39）的通解和特解分别为：UP#=MPcos(Pz)+NPsin(Pz)（40）UP=n=12ncos(2nz)（41）式中 MP和NP为待定系数，P=-s2(VP)2 1+(Ps)EP，2n=-2r0(GS+Ss)A2n2nK1(2nr0)PAP(2nVP)2(1+PEPs)+s2。则方程（39）的解为：UP=MPcos(Pz)+NPsin(Pz)+n=12ncos(2nz)（42）438第 2 期孟坤，等：考虑桩土非完全粘结及桩底土波动效应的浮承桩纵向振动特性研究对桩-土界面条件式（13）进行 Laplace 变换，并将式（28），（29）和（42）代入可得：MPcos(Pz)+NPsin(Pz)=n=1A2n2ncos(2nz)（43）式中 2n=K0(2nr0)+2r0(GS2+S2s)2nK1(2nr0)PAP(2nVP)2(1+PEPs)+s2+(GS2+S2s)2nK1(2nr0)kf(1+Dfs)，Df=cfkf。在 式（34）两 边 同 时 乘 以cos(2nz)，并 在 0，HP上积分后可得：12MPsin(2n+P)HP2n+P+sin(P-2n)HPP-2n-12NPcos(2n+P)HP-12n+P-cos(P-2n)HP-1P-2n=A2n2nL2n（44）式中 L2n=0HPcos2(2nz)dz。进一步地，实体桩位移可写为如下形式：UP=MP cos(Pz)+n=12ncos(2nz)+NP sin(Pz)+n=12ncos(2nz)（45）式中 2n=2nsin(2n+P)HP2n+P+sin(P-2n)HPP-2n，2n=2ncos(2n+P)HP-12n+P+cos(P-2n)HP-1P-2n，2n=-r0(G2+2s)2nK1(2nr0)PAP2nL2n(2nVP)2(1+PEPs)+s2。对式（10）和（11）进行 Laplace变换并将式（36），（38）和（45）代入后可求得：MPNP=-Pcos(PHP)+n=12n2nsin(2nHP)+ZFSPEPAP sin(PHP)-n=12ncos(2nHP)-Psin(PHP)-n=12n2nsin(2nHP)+ZFSPEPAP cos(PHP)+n=12ncos(2nHP)（46）则桩顶位移阻抗函数可写为：ZP=-EPAPPMPNP(1+n=12n)-n=12n（47）桩顶复刚度可写为：Kd=ZP=Kr+iKi（48）式中 Kr和Ki分别为桩顶动刚度和等效阻尼。桩顶位移频响函数可进一步写为：Hu(i)=1ZP=-MPNP(1+n=12n)-n=12nEPAPP（49）则桩顶速度频响函数可表示为：Hv(i)=-i MPNP(1+n=12n)-n=12nEPAPP（50）最终，结合卷积定理和 IFT 方法可得半正弦脉冲激励下桩顶速度：V(t)=IFT iT(1+e-iT)2-T22MPNP(1+n=12n)-n=12nEPAPP（51）式中 V(t)为桩顶速度；T为脉冲宽度。3算例分析后续算例分析基于三维连续介质和虚土桩模型建立的考虑桩-土界面非完全粘结的浮承桩纵向振动简化力学模型，采用上述推导所得相关解析和半解析解答。如无特殊说明，桩-土参数按如下取值26：HP=15 m，r0=0.5 m，HFSP=r0=0.5 m，P=2500kg/m3，VP=3800 m/s，j=2000kg/m3，j=0.4，Vj=Gjj=100 m/s，Ej(kS+scS)=1.0，kf=1 107N/m3，cf=1 105N s/m3。3.1合理性验证李强26考虑桩-土界面滑移解析求解了饱和土中桩端固定时桩顶动力阻抗解析解；王奎华等28基于桩-土完全耦合假定，利用虚土桩模型考虑桩底土作用推导得出桩纵向振动特性解析解。将基于本文所建力学模型解析求解的桩顶动力阻抗解答退化到端 承 情 况（HFSP 0）和 桩-土 界 面 完 全 耦 合 情 况（kf），分别与文献 26 和文献 28 已有解对比如图 2和 3所示。由图可见，本文退化解与已有解答吻合情况良好。439振 动 工 程 学 报第 36 卷3.2桩土界面非完全粘结条件对桩动力响应的影响分析图 4 和 5 所示分别为桩-土界面动力 Winkle 模型的刚度和阻尼系数对桩顶动力阻抗的影响。综合图 4 和 5 可见，桩-土界面动力 Winkle 模型的刚度图 4 桩振动特性随 Winkler模型刚度系数的变化规律Fig.4 Variation of vibration characteristics of pile with stiff-ness of Winkler model图 5 桩振动特性随 Winkler模型阻尼系数的变化规律Fig.5 Variation of vibration characteristics of pile with damping of Winkler model图 2 本文端承退化解（HFSP 0）与李强单相退化解对比Fig.2 Comparison of present solution with Li s solution图 3 本文退化解（kf）与王奎华等已有解对比Fig.3 Comparison of present solution with Wang s solution440第 2 期孟坤，等：考虑桩土非完全粘结及桩底土波动效应的浮承桩纵向振动特性研究和阻尼系数的增大，会使得动刚度和等效阻尼曲线的共振幅值减小，即桩的抗振性能会随桩侧土约束的增强而增强。这就说明，针对存在明显桩-土相对滑移的浮承桩纵向振动问题，若采用桩-土界面耦合假定则会高估桩侧土的约束效应，无法合理评估桩基的抗振性能，并会对桩基抗振防振设计产生不利影响。此外，相对于桩-土界面阻尼系数而言，桩-土界面刚度系数对桩顶动力阻抗影响更显著。桩顶动力响应曲线随桩-土界面刚度系数和阻尼系数的变化情况分别如图 6 和 7 所示。由图 6 可见，桩-土界面约束越强，波在传播过程中的耗能也就越多，这种规律在桩顶动力响应上表现为：桩顶速度频响振幅及桩底速度反射信号幅值均随着桩-土界面动力 Winkle 模型的刚度和阻尼系数的增加而减小。该现象表明，在对桩顶动力响应进行分析时，采用桩-土界面完全耦合假定会使得桩底反射信号幅值降低，这对于识别桩底反射信号是不利的。对比图 6和 7可知，相对于桩-土界面刚度系数而言，桩-土界面阻尼系数对桩顶动力响应的影响则可忽略。3.3虚土桩参数对桩动力响应的影响分析图 8和 9所示分别为桩底土层厚度，即虚土桩长度对桩纵向振动特性及速度响应的影响。由图 9（b）可见，HFSP 0时桩底反射信号与入射信号反相，这与端承桩反射信号特征相符，而采用虚土桩模型图 6 桩速度频域和时域响应随 Winkler模型刚度系数的变化规律Fig.6 Variation of velocity response of pile in frenquency and time domin with stiffness of Winkler model图 7 桩速度频域和时域响应随 Winkler模型阻尼系数的变化规律Fig.7 Variation of velocity response of pile in frenquency and time domin with damping of Winkler model图 8 桩振动特性随虚土桩模型HFSP的变化规律Fig.8 Variation of vibration characteristics of pile with HFSP441振 动 工 程 学 报第 36 卷（HFSP=r0）计算所得桩底反射信号与入射信号同相，符合浮承桩反射信号特征。此外，由图 8和 9（a）可见，HFSP 0的桩动力阻抗和速度导纳（频域）曲线上波峰与HFSP=r0时对应曲线上波谷频率相同，这是典型的端承桩与浮承桩振动特性的差异，而HFSP 0代表端承桩，也就是说采用虚土桩模型可以很好地反映浮承桩的振动特性。综上所述，可以说明虚土桩模型在应用到浮承桩纵向振动问题时的合理性，且其可退化到端承桩情况（HFSP 0），即虚土桩模型对于桩土纵向振动问题具有更广泛的适用性。4结 论本文通过建立浮承桩理论模型并求解其解析解，探讨了桩-土界面非完全粘结条件和虚土桩参数对桩振动特性和速度响应的影响规律，计算结果表明：（1）针对存在明显桩-土相对滑移的浮承桩纵向振动问题，若采用桩-土界面耦合假定会高估桩侧土的约束效应，无法合理评估桩基的抗振性能，并会对桩基抗振防振设计产生不利影响。（2）桩-土界面约束越强，波在传播过程中的耗能也就越多，这种规律在桩顶动力响应上就表现为：桩顶速度频响振幅及桩底速度反射信号幅值均随着桩-土界面动力 Winkle 模型的刚度和阻尼系数的增加而减小。该现象表明，在对桩顶动力响应进行分析时，采用桩-土界面完全耦合假定会对桩底反射信号的识别产生不利影响。（3）基于桩端固定模型与虚土桩模型所得桩动力响应解均呈现出典型的端承桩与浮承桩振动特性的差异，说明了采用虚土桩模型描述浮承桩桩底土体的合理性与必要性。此外，桩底土层厚度达到一倍桩径后再继续增加，其对桩纵向振动特性的影响则可忽略。参考文献:1Varghese R，Boominathan A，Banerjee S.Stiffness and load sharing 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