中心极限定理.ppt

对任意的x，有,E(Xk)=，D(Xk)=2，k=1,2,…,则随机变量,4.2中心极限定理,定理3（同分布中心极限定理）设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差，即：,的分布函数Fn(x)满足：,说明：（1）当n较大时，Yn近似地服从N(0,1)，即,（2）当n很大时，近似地服从N(n,n2),即不论Xi具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，当n很大时，其和就近似地服从正态分布。,定理4（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量n服从参数为n,p的二项分布(n=1,2,…,0＜p＜1)，则对于任意实数x,恒有,证由于服从二项分布的随机变量n可视为n个相互独立的、服从同一参数p的0-1分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和:,其中,由独立同分布中心极限定理可得,此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布．当n充分大时，服从二项分布的随机变量n的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算：,由于当较大n，且p较小时，二项式分布的计算十分麻烦，因此，若用上面的近似公式计算将是非常简洁的．,解设表示500辆的士中出事故的车辆数，则X服从n=500,p=0.006的二项分布,这时,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为,即事件{0≤X≤4},从而有,例1某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．,,可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.,例2设船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于6的概率为p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于的概率是多少？,解设X为90000次冲击中纵摇角度大于6的次数,则,由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得,例3现有一批良种率为0.6的种子，从其中任意抽出1000粒，试问在这1000粒种子中，良种所占的比例在2/5至4/5之间的概率是多少?,解抽一粒良种看成是一次随机试验，因此抽1000粒种子看作是1000重贝努里试验．若令X表示1000粒种子中的良种数，则X服从n=1000,p=0.6的二项分布，故由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理可得,例4在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？解设应抽查n件产品，其中次品数为Y．记,,由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得,则,要使,即,解得,即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．,解(1)设Xi表示第i次测量值，i表示第i次测量产生的随机误差(i=1,2,…,n),表示所测物理量的真值，则Xi=+i.由题设i~U(-1,1)，所以,例5独立地多次测量一个物理量，每次测量产生的随机误差，都服从(-1,1)内的均匀分布．(1)若取n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的差小于正数的概率；(2)计算当n=36,=1/6时概率的近似值；(3)要使上述概率不小于=0.95,应进行多少次测量?,由题设知X1,…,Xn独立同分布，而且,故当n很大时，由独立同分布的中心极限定理可知，随机变量,近似服从标准正态分布．于是，所求概率为,(2)当时,(3)由题意可知，现在要求n的值，使概率,令,,使,,,反查标准正,态分布表得：x=1.96。,因此,，即,．由此可知，,当,,时，要使概率不小于0.95，至少需增加10次测量．,时，所求概率为,