随机变量函数的分布.ppt

一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,2.4随机变量函数的分布,内容：已知X的概率分布，求其函数Y=g（X）的概率分布。,已知球的半径X的分布，考虑球的体积：Y=4/3πX3；,当X～N(μ,σ2)时，Y～N(0,1),一、X为离散型随机变量,二、X为连续型随机变量,如,2.4随机变量函数的分布,设y=g(x)为x的函数，X为随机变量,则Y=g(X)也是一个随机变量，且当X取值x时，Y取值y=g(x)。,若X是离散型的，则Y=g（X）也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g（xk），其分布可以直接由X的分布求得。,例1设随机变量X的概率分布为,求Y=2X+1和Z=X2,解将X所有可能的取值一一代入函数，求得Y相应的取值和概率为,一、离散型随机变量函数的分布,Z=X2可能取的值为0，1，4，9，相应的概率值为：,,,同理，,,,即Z的概率分布为,通过例题可总结出计算离散型随机变量函数的分布的方法：,首先将的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值,,如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为,,如果yi=(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在,,,则在Y的分布列中，取的概率为,使,,,一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)分两个步骤：,10根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y);,20由fY(y)=F(y)求出fY(y),例2设随机变量X的概率密度为fX(x)，求线性函数Y=aX+b(a,b是常数，且a≠0)的概率密度fY(y)。,1.分布函数法,二、连续型随机变量函数的分布,解FY(y)=,例2对数正态分布随机变量,,求Y=ex的分布,解当y>0时，,,当y≤0时,,,即Y的密度函数为,,则FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y},所以,于是,Y的分布函数为FY(y)，,解：设X的分布函数为F(x)，,求随机变量,的概率密度,概率密度为fY(y),例3：设随机变量X具有密度,二、连续型随机变量函数的分布,定理设连续型随机变量X的概率密度是fX（x），函数y=g（x）单调可导，其反函数x=h（y）满足h’(y)恒不为零。对于fX（x）＞0的x，y=g（x）的值域为[α，β]，则随机变量Y的概率密度为,2.公式法,由于y=sinx在（-π/2，π/2）是x的单调可导函数，其反函数x=arcsiny存在、可导且导数恒不为零。,而h(y)=arcsiny,h’(y)=,于是fY(y)=|h’(y)|fX[h(y)]=,例4设X～U(-π/2，π/2)，求Y=sinX的概率密度。,解X的概率密度为,例5设，求随机变量（a,b均为常数，且）的概率密度.,解:由于X～N(μ,σ2)，所以X的概率密度函数为,,显然函数y=g(x)=ax+b在区间(-∞,+∞)内单调、可导，且g’(x)=a．若a>0，则g(x)单调递增，若a<0，则g(x)单调递减.取α=min{g(-∞),g(+∞)}=-∞,β=max{g(-∞),g(+∞)}=+∞.,由于y=ax+b的反函数x=h(y)=(y-b)／a在(-∞,+∞)上单调、可导，且h’(y)=1／a，故随机变量Y=aX+b的密度函数为,即：,特别地，取a=1／σ,b=-μ／σ,则：,