贵州省七校联盟高三上学-期第一次联考数学试卷文科解析版.doc

贵州省七校联盟2015届高三上学 期第一次联考数学试卷（文科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B=，则A∩B的真子集个数为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

2．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3．（5分）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）
A． 4 B． C． D． ﹣4

4．（5分）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）

A． ①②⑥ B． ①②③ C． ④⑤⑥ D． ③④⑤

5．（5分）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于的概率为（）
A． B． C． D．

6．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）

A． f（x）=x﹣ B． f（x）= C． f（x）=﹣1 D． f（x）=

7．（5分）在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且，则的值等于（）
A． ﹣4 B． 0 C． 4 D． 8

8．（5分）以下四个命题中，真命题的个数是（）
①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg（a+b）=lga+lgb；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

9．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）
A． B． C． D．

10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2

11．（5分）一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则z=2x﹣5y的最大值是（）
A． 16 B． 18 C． 20 D． 36

12．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）

A． [0，] B． [2﹣3，+∞] C． [2﹣3，] D． [，]

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知扇形AOB（∠AOB为圆心角）的面积为，半径为2，则△ABC的面积为．

14．（5分）某高中共有学生1000名，其中2014-2015学年高一年级共有学生380人，2014-2015学年高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在2015届高三年级中抽取的人数等于．

15．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率是．

16．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围是．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a1=b1=1，且b3s3=36，b2s2=8（n∈N+）．
（1）求an和bn；
（2）若an＜an+1，求数列的前n项和Tn．

18．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求异面直线DF和BE所成角的大小；
（2）求几何体EF﹣ABCD的体积．

19．（12分）从某校2015届高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）若该校2015届高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分；
（2）若从[40，50）与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．

20．（12分）已知函数f（x）=alnx++1．
（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．

21．（12分）已知中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C1方程为：+=1（m＞n＞0），椭圆C2方程为：+=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．
（1）求证：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．

【选修4-4：极坐标与参数方程】
23．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为．
（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形
（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

【选修4-5：不等式选讲】
24．选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

贵州省七校联盟2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B=，则A∩B的真子集个数为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

考点： 子集与真子集．
专题： 集合．
分析： 根据集合的基本运算即可得到结论．
解答： 解：集合A={0，1，2，3，4}，B=={0，1，，，2}，
则A∩B={0，1，2}，
则A∩B的真子集个数23﹣1=7，
故选：C
点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题： 计算题．
分析： 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．
解答： 解：由已知z==[（m﹣4）﹣2（m+1）i]
在复平面对应点如果在第一象限，则
而此不等式组无解．
即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
故选A
点评： 本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应．

3．（5分）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）
A． 4 B． C． D． ﹣4

考点： 双曲线的标准方程．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，由已知得2=2×2，由此能求出结果．
解答： 解：∵双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，
虚轴长是实轴长的两倍，
∴2=2×2，
解得m=﹣．
故选：B．
点评： 本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．

4．（5分）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）

A． ①②⑥ B． ①②③ C． ④⑤⑥ D． ③④⑤

考点： 简单空间图形的三视图．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．
解答： 解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，
可得：四面体ABCD的正视图为①，
四面体ABCD的左视图为③，
四面体ABCD的俯视图为②，
故四面体ABCD的三视图是①②③，
故选：B
点评： 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，难度不大，属于基础题．

5．（5分）设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于的概率为（）
A． B． C． D．

考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 由题意知本题是一个几何概型，是常说的“约会”问题，解法同一般的几何概型一样，看出试验包含的所有事件对应的集合，求出面积，写出满足条件的集合和面积，求比值即可．
解答： 解：由题意知本题是一个几何概型，
∵两直角边都是0，1间的随机数，
设两直角边分别是x，y．
∴试验包含的所有事件是{x，y|0＜x＜1，0＜y＜1}
对应的正方形的面积是1，
满足条件的事件对应的集合{（x，y）|x2+y2＜9/16，x＞0，y＞0．}
这个图形是一个圆，面积是，
则斜边的长小于的概率P=，
故选A．
点评： 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．

6．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）

A． f（x）=x﹣ B． f（x）= C． f（x）=﹣1 D． f（x）=

考点： 函数解析式的求解及常用方法．
专题： 计算题．
分析： 选项A，B，当x→+∞时，函数值→+∞，与图象不符，故错误；选项C，函数为偶函数，图象应关于y轴对称，故错误；选项D，函数为奇函数，且完全符合题意，故正确．
解答： 解：选项A，当x→+∞时，函数值→+∞，与图象不符，故错误；
同理可得，选项B，当x→+∞时，函数值→+∞，与图象不符，故错误；
选项C，函数为偶函数，图象应关于y轴对称，故错误；
选项D，函数为奇函数，且完全符合题意，故正确．
故选D
点评： 本题考查函数的图象和解析式的关系，涉及函数的性质的应用，属基础题．

7．（5分）在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且，则的值等于（）
A． ﹣4 B． 0 C． 4 D． 8

考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题．
分析： 由已知中，根据向量垂直的充要条件，可判断出AD为△ABC中BC边上的高，结合△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，可求出向量的模及夹角，代入向量数量积公式，可得答案．
解答： 解：∵，
∴==0
即
故AD为△ABC中BC边上的高
又△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，
∴AD=2，∠BAD=60°
∴==2•4•=4
故选C
点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据已知分析出AD为△ABC中BC边上的高，进而结合已知求出向量的模及夹角是解答的关键．

8．（5分）以下四个命题中，真命题的个数是（）
①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg（a+b）=lga+lgb；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： ①，写出命题“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题，可举例判断①；
②，存在正实数a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg2+lg2；
③，写出“所有奇数都是素数”的否定，再举例说明，可判断③；
④，在△ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断④．
解答： 解：对于①，“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”，错误，如a=3≥1，b=﹣2，但a+b=1＜2；
对于②，存在正实数a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg22=2lg2=lg2+lg2成立，故②正确；
对于③，“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”，如：9是奇数，但不是素数，故③正确；
对于④，在△ABC中，A＜B⇔a＜b⇔2RsinA＜2RsinB⇔sinA＜sinB，故△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分必要条件，故④错误．
综上所述，②③正确，
故选：C．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查四种命题之间的关系、全称命题与特称命题之间的关系、充分必要条件的概念及其应用，考查分析、推理能力，属于中档题．

9．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）
A． B． C． D．

考点： 任意角的三角函数的定义．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用任意角的三角函数的定义可得tanθ=2，再利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．
解答： 解：由题意可得，tanθ=2，=sin2θ+cos2θ=•
=•=•=，
故选：D．
点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．

10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2

考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A，S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
解答： 解：执行程序框图，有
i=0，S=1，A=2
i=1，S=2，A=
不满足条件i＞2014，i=2，S=1，A=﹣1；
不满足条件i＞2014，i=3，S=﹣1，A=2；
不满足条件i＞2014，i=4，S=﹣2，A=；
不满足条件i＞2014，i=5，S=﹣1，A=﹣1；
不满足条件i＞2014，i=6，S=1，A=2；
…
故A值随i值变化并呈以3为周期循环，
当i=2015=671×3+2时，不满足退出循环的条件，故a=﹣1，
故选：A．
点评： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．

11．（5分）一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则z=2x﹣5y的最大值是（）
A． 16 B． 18 C． 20 D． 36

考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不平行四边形对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
解答： 解：∵平行四边形的三个顶点的坐标为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），
∴对应的平行四边形可能是EACB或者ABCD或ABFC，
平移直线z=2x﹣5y，
由图象可知当直线经过点D时，直线z=2x﹣5y的截距最小，此时z最大，
设D（x，y），
则满足，即（4，2）=（4﹣x，﹣2﹣y），
即4﹣x=4且﹣2﹣y=2，解得x=0，y=﹣4，即D（0，﹣4），
代入目标函数得z=﹣5×（﹣4）=20，
故选：C

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．，注意满足条件的平行四边形有3个．

12．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）

A． [0，] B． [2﹣3，+∞] C． [2﹣3，] D． [，]

考点： 椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．
专题： 向量与圆锥曲线．
分析： 利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．
解答： 解：设PA与PC的夹角为α，则|PA|=PB|=，
∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．
记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，
∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，
∴•的最大值为=，
∴•的范围为[2﹣3，]．
故选：C．
点评： 本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知扇形AOB（∠AOB为圆心角）的面积为，半径为2，则△ABC的面积为．

考点： 正弦定理．
专题： 计算题．
分析： 设扇形AOB的弧长为l，圆心角∠AOB的弧度数为φ，则S扇形AOB=l×2=，可求得l==2φ，从而可求φ，利用△AOB的面积公式即可．
解答： 解：设扇形AOB的弧长为l，圆心角∠AOB的弧度数为φ，则S扇形AOB=l×2=×2φ×2=，
∴φ=，
∴S△AOB=×2×2×sin=．
故答案为：．
点评： 本题考查扇形面积公式与正弦定理的应用，关键在于利用扇形面积公式求得圆心角∠AOB的弧度数φ，属于中档题．

14．（5分）某高中共有学生1000名，其中2014-2015学年高一年级共有学生380人，2014-2015学年高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在2015届高三年级中抽取的人数等于25．

考点： 分层抽样方法．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据2014-2015学年高二女生被抽到的概率，可以求出2014-2015学年高二女生人数，然后求出2015届高三学生人数即可得到结论．
解答： 解：∵高中共有学生1000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到2014-2015学年高二年级女生的概率为0.19，
∴2014-2015学年高二女生共有1000×0.19=190人，则2014-2015学年高二共有学生180+190=370人，
则2015届高三人数为1000﹣370﹣380=250人，
则采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在2015届高三年级中抽取的人数等于人，
故答案为：25．
点评： 本题主要考查分层抽样的应用，利用条件求出2014-2015学年高二女生人数是解决本题的关键，比较基础．

15．（5分）已知椭圆+=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率是﹣1．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由椭圆及抛物线的定义知，c=p，故点A（c，2c）；从而求离心率．
解答： 解：由椭圆及抛物线的定义知，c=p，
故点A（c，2c）；
则由A也在椭圆上知，
+=1，
即+=1；
解得，=﹣1；
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了圆锥曲线的定义及其应用，属于基础题．

16．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围是（1，+∞）．

考点： 函数零点的判定定理；分段函数的应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点；当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，可得：k＞；当x＞0时，函数f（x）=ex﹣1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．
解答： 解：∵函数f（x）=，
∴f（0）=ln1=0，
∴x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点，
当x＜0时，由f（x）=kx，
得﹣x2+x=kx，
即﹣x+=k，解得x=﹣k，
由x=﹣k＜0，解得k＞，
当x＞0时，函数f（x）=ex﹣1，
f'（x）=ex∈（1，+∞），
∴要使函数y=f（x）﹣kx在x＞0时有一个零点，
则k＞1，
∴k＞1，
即实数k的取值范围是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）
点评： 本题考查的知识点是函数零点及零点的个数，二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，难度中档．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a1=b1=1，且b3s3=36，b2s2=8（n∈N+）．
（1）求an和bn；
（2）若an＜an+1，求数列的前n项和Tn．

考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意，a1=b1=1，利用通项公式可 得 解出即可；
（2）由an＜an+1，可知d＞0．由（1）可知：an=2n﹣1．可得==，利用裂项求和即可得到Tn．
解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意，a1=b1=1，得
解得或．
所以，an=2n﹣1，或，．
（2）因为an＜an+1，所以d＞0，故an=2n﹣1．
所以，==，
故Tn==．
点评： 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键．

18．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求异面直线DF和BE所成角的大小；
（2）求几何体EF﹣ABCD的体积．

考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；
（2）利用几何体的体积V=VE﹣ABCD+VB﹣CEF，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．
解答： 解：（1）∵AD⊥DF，AD⊥DC，DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDF，∴AD⊥DE，又四边形CDEF为正方形，
∴AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线
分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），
∴，
得．
设向量夹角为θ，则=．
∵异面直线的夹角范围为，
∴异面直线DF和BE所成的角为；
（2）如图，连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，则BN⊥平面CDEF，且BN=2．

∵VEF﹣ABCD=VE﹣ABCD+VB﹣ECF===．
∴几何体EF﹣ABCD的体积为．
点评： 本题考查了异面直线所成角的求法，组合几何体体积的计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力，本题采用了向量法求异面直线所成的角，另外本题也可利用作平行线，证角，解三角形求角来求．

19．（12分）从某校2015届高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）若该校2015届高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分；
（2）若从[40，50）与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题： 概率与统计．
分析： （1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；
（2）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．
解答： （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以10×（0.05+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．
解得a=0.03．
根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.05+0.01）=0.85．
由于2015届高三年级共有学生640人，可估计该校2015届高三年级数学成绩不低于60（分）的人数约为640×0.85=544人．
可估计不低于60（分）的学生数学成绩的平均分为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74
（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．
点评： 本题考查了由频率分布直方图求频率、频数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是读懂频率分布直方图，应用相关数据进行准确计算．

20．（12分）已知函数f（x）=alnx++1．
（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=，
∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ），x∈（0，+∞）．
①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）
即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）
整理得ln（a+1）＞﹣1
∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求函数的最值是关键．

21．（12分）已知中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C1方程为：+=1（m＞n＞0），椭圆C2方程为：+=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （1）设椭圆C1方程为：（a＞b＞0），直线AB方程为：，F1（﹣1，0）到直线AB距离为d==，b2=a2﹣1，联立解得即可．
（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．对切线的斜率分类讨论：若切线m垂直于x轴，求得|MN|=2．若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．将y=kx+m代人椭圆C1方程，利用△=0，可得m2=4k2+3，记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．将y=kx+m代人椭圆C2方程，利用根与系数的关系、弦长公式、函数的单调性即可得出．
解答： 解：（1）设椭圆C1方程为：（a＞b＞0），
∴直线AB方程为：，
∴F1（﹣1，0）到直线AB距离为d==，化为a2+b2=7（a﹣1）2，
又b2=a2﹣1，
解得：a=2，b=．
∴椭圆C1方程为：．
（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．
①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，易求得|MN|=2．
②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．
将y=kx+m代人椭圆C1方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴△=48（4k2+3﹣m2）=0，即m2=4k2+3，（*）
记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
将y=kx+m代人椭圆C2方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴|x1﹣x2|===，
∴|MN|===
∵3+4k2≥3，∴，即，
综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为．
点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切相交问题转化为方程联立可得△及根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．
（1）求证：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．

考点： 圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；
（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．
解答： 解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴，
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）连接O1A，O2A，
∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）
点评： 本题主要考查了圆的切线的性质定理的证明、相似三角形的判定，考查计算能力和逻辑推理能力．

【选修4-4：极坐标与参数方程】
23．已知在一个极坐标系中点C的极坐标为．
（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形
（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

考点： 简单曲线的极坐标方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： （1）如图，设圆C上任意一点．由余弦定理得：，化简即可得出．
（2）利用圆的方程、中点坐标公式可得点M的参数方程，消去参数即可得到普通方程．
解答： 解：（1）