福建省福州市届月高三综合质量检测数学理试题含答案WORD版.doc

2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测
理科数学能力测试
（完卷时间：120分钟；满分：150分）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知全集为R，集合,，则
（A） （B） （C） （D）
2、复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3、函数（）在处取得最小值，则
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）是奇函数 （D）是偶函数
4、在中，,，则
（A） （B） （C） （D）
5、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率如下表所示：
降水量X

工期延误天数Y
0
5
15
30
概率P

在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率为
（A） （B） （C） （D）
6、若满足约束条件且目标函数取得最大值的点有无数个，则的最小值等于
（A） （B）
（C） （D）
7、执行右面的程序框图，若输入值为4，则输出的结果为
（A）8 （B）21
（C）34 （D）55
8、的展开式中，的系数为
（A）45 （B）60
（C）90 （D）120
9、正项等比数列满足,，则下列结论正确的是
（A）， （B），
（C）， （D），
10、双曲线的左、右焦点分别为,，是左支上一点，，直线与圆相切，则的离心率为
（A） （B） （C） （D）
11、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于
（A） （B）
（C） （D）
12、设，函数．若存在使得成立，则
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13、知函数若为偶函数，则实数 ．
14、所有棱长均为的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．
15、抛物线的准线与轴交于点，过焦点作倾斜角为的直线与交于两点，则= ．
16、数列的前项和为．已知,，则________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）
的内角,,所对的边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若边上的中线，高线，求的面积．

18、（本小题满分12分）
为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．

（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；

优分
非优分
总计
男生

女生

总计

50

（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学
科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

．

19、（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥的底面是梯形，且,平面，是中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的大小．

20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）已知直线分别交直线于点，轨迹在点处的切线与线段交于点，求的值．

21、（本小题满分12分）
已知，函数的图象与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，内接于圆O，是的中点，∠的平分线分别交和圆于点,．
（Ⅰ）求证：是外接圆的切线；
（Ⅱ）若,，求的值．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．

2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C
（7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）因为，所以， 2分
即，
因为，，
所以， 4分
又因为，所以． 5分
（Ⅱ）由是中点，得，
即，
所以，① 7分
由，
得，即，② 9分
又根据余弦定理，有，③ 10分
联立①②③，得，
解得．
所以△的面积． 12分
（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：

优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50

2分
假设：该学科成绩与性别无关，
的观测值，
因为，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． 6分
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率视作概率． 7分
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为，则服从二项分布， 9分
所求概率．
12分
（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．
因为，所以． 1分
因为平面，平面，
所以．
又因为，
所以平面． 3分
因为点是中点，
所以，且． 4分
又因为，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面． 6分
（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，
因为平面，平面，
所以，所以． 7分
因为，由（Ⅰ）知，
又因为，所以，
所以
所以为正三角形，所以，
因为平面，平面，
所以．
又因为，所以平面． 8分
故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，
所以，，， 9分
设平面的法向量，
则 所以
取，则， 10分
设与平面所成的角为，
则， 11分
因为，所以，
所以与平面所成角的大小为． 12分
（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）设点坐标为，则
直线的斜率（）；
直线的斜率（）． 2分
由已知有（）， 3分
化简得点的轨迹的方程为（）． 4分
（注：没写或扣1分）
（Ⅱ）设（），则． 5分
直线的方程为，令，得点纵坐标为； 6分
直线的方程为，令，得点纵坐标为； 7分
设在点处的切线方程为，
由得． 8分
由，得，
整理得．
将代入上式并整理得，解得， 9分
所以切线方程为．
令得，点纵坐标为．
10分
设，所以，
所以． 11分
所以．
将代入上式，，
解得，即． 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设（），则． 5分
直线的方程为，令，得点纵坐标为； 6分
直线的方程为，令，得点纵坐标为； 7分
设在点处的切线方程为，
由得． 8分
由，得，
整理得．
将代入上式并整理得，解得， 9分
所以切线方程为．
令得，点纵坐标为．
10分
所以， 11分
所以为线段的中点，即． 12分
（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ），设切点为， 1分
依题意，即
解得 3分
所以．
当时，；当时，．
故的单调递减区间为，单调递增区间为． 5分
（Ⅱ）令，．
则，
令，则， 6分
（ⅰ）若，
因为当时，，，所以，
所以即在上单调递增．
又因为，所以当时，，
从而在上单调递增，
而，所以，即成立． 9分
（ⅱ）若，
可得在上单调递增．
因为，，
所以存在，使得，
且当时，，所以即在上单调递减，
又因为，所以当时，，
从而在上单调递减，
而，所以当时，，即不成立．
纵上所述，的取值范围是． 12分
请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
（22）选修：几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）设外接圆的圆心为，连结并延长交圆于点，连结，
则，．
因为平分∠，所以，所以， 2分
所以，
所以，所以是外接圆的切线． 5分
（Ⅱ）连接，则，所以是圆的直径，
因为，，
所以． 7分
因为平分∠，所以∽,
所以，所以,
因为，所以∽，从而，
所以，
所以． 10分
（23）选修；坐标系与参数方程
本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，
即， 2分
将代入，得， 4分
所以的极坐标方程为． 5分
（Ⅱ）将代入得，
所以的方程为． 7分
的极坐标方程为，所以．
又，
所以． 10分
（24）选修：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解：（Ⅰ）由得，
或 2分
解得．
依题意． 5分
（Ⅱ）因为，
当且仅当时取等号， 7分
因为关于的方程（）有实数根，
所以． 8分
另一方面，，
所以， 9分
所以或． 10分