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课时跟踪训练
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.
当a≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝an－1，
又a1＝1≠0，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)∵an＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，
得bn＋1－bn＝n－1.
当n≥2时，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3×n－1－1，
当n＝1时，上式成立，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝3×n－1－1.
2．(2014年全国大纲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由a1＝10，a2为整数知：等差数列{an}的公差d为整数．
又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，
于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.
解得－≤d≤－.
因此d＝－3.
数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
(2)bn＝＝.
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝
＝.
3．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4是a2与a8的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若an＋1≠an，求数列{2n－1·an}的前n项和．
解：(1)由a2＝4，且a4是a2，a8的等比中项可得a1＋d＝4，a＝a2a8，
即(4＋2d)2＝4(4＋6d)，化简得d2－2d＝0，
则d＝0或d＝2，
由于a2＝4，当d＝0时，an＝4；
当d＝2时，a1＝2，则an＝2n.
(2)∵an＋1≠an，∴an＝2n，则2n－1an＝2n－1·2n＝2n·n，∵Sn＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①
①×2得，2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②得，
－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
4．(2014年洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1＋2(n为正整数)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2a1＋log2＋…＋log2，求数列的前n项和Tn.
解：(1)在Sn＝2an－2n＋1＋2中，令n＝1，可得S1＝2a1－22＋2＝a1，∴a1＝2.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－2n，
∴an＝2an－1＋2n，∴＝＋1.
又＝1，∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
∴＝n，∴an＝n·2n.
(2)由(1)得＝2n，
∴bn＝log2 a1＋log2＋…＋log2＝1＋2＋…＋n
＝.
Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝2＝.
5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－a，n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．
(1)求a的值及数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{log an}的前n项和为Tn.求使Tn＞bn的最小正整数n.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.
∵{an}为等比数列，
∴2－a＝1，解得a＝1.
∴an＝2n－1.
设数列{bn}的公差为d，
∵b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列，
∴(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，
又b1＝3，
∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)，
解得d＝0(舍去)或d＝8.
∴bn＝8n－5.
(2)由an＝2n－1，得log an＝2(n－1)，
∴{log an}是以0为首项，2为公差的等差数列，
∴Tn＝＝n(n－1)．
由bn＝8n－5，Tn＞bn，得
n(n－1)＞8n－5，即n2－9n＋5＞0，
∵n∈N*，∴n≥9.
故所求n的最小正整数为9.
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